Majoration des zéros d'un polynôme cubique

Piteux_gore
Modifié (12 Apr) dans Algèbre
Bonjour,
Si les zéros de $X^3 - pX^2 + qX - r$ sont réels, alors ils sont majorés par $\sqrt {p^2 - 2q}$.
A Tantale !...
Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

Réponses

  • Bonjour,
    Soit $a,b,c$ les racines réelles de $\displaystyle X^3-pX^2+q X-r $ alors $\displaystyle p=a+b+c, q+ab+bc+ca, r=abc$. On calcule $p^2-2q=a^2+b^2+c^2 \geq 0.$ Soit $\displaystyle a \leq b \leq c$ et par simple minoration $\displaystyle \sqrt{p^2-2q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq |c| \geq c=\max(a,b,c).$
  • Piteux_gore
    Modifié (12 Apr)
    Farpait...
    La majoration n'est plus vraie si le polynôme a une seule racine réelle.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

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