Recherche d'autres méthodes éventuelles pour un exercice

stfj
Modifié (12 Apr) dans Géométrie
Bonjour,
L'exercice est le suivant 

$DCBA$ est un parallélogramme, $E\in DA$ et $G\in AB$. $H=DG\cap EB$
 Soit $F$ le point de $BC$ tel que $DF\parallel EB$.
Prouver que $\color{red}GF\parallel HC$
___________________________________________
J'ai résolu l'exercice ici en me ramenant à un carré dans $\mathbb C$.
Sans doute y a-t-il une méthode plus rapide et j'aimerais bénéficier de vos lumières à ce sujet.
Cordialement,
Stéphane.
«1

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,

    En barycentrique affine:
    % Stfj - 12 Avril 2024 - Recherche d'autres méthodes éventuelles pour un exercice
    
    clc, clear all, close all
    
    A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
    BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1];  % Côtés du triangle ABC
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms u v w real
    
    H=[u; v; w]; D=[1; -1; 1];
    G=Wedge(Wedge(D,H),AB); % G=[u-w; v+w; 0]
    E=Wedge(Wedge(B,H),Wedge(D,A)); % E=[u; -w; w]
    DF=Wedge(D,Vecteur(E,B)); % DF=[-u, w - u, w]
    F=Wedge(DF,BC); % F=[0; w; u-w]
    
    GF=Wedge(G,F); % GF=[v+w, w-u, w]
    HC=Wedge(H,C); % HC=[v, -u, 0]
    
    P=Wedge(GF,HC) % P[u; v; -u-v]
    
    % P est de somme nulle, donc à l'infini, (GF) et (HC) sont alors parallèles
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour et merci, @Rescassol. Mais je dois t'avouer que je n'arrive pas à lire tout en particulier les mots anglais (syms, Wedge). J'étudie cependant ta réponse. C'est l'occasion pour moi de me mettre aux "cobars" :). C'est bien comme cela qu'on dit ?
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    Comme je découvre, je vais écrire des bêtises. Mais, si je comprends bien, on se place d'abord dans $(B,\vec {BA}, \vec {BC})$ autrement dit dans le repère affine $\{A,B,C\}$. Dans ce repère, $A=B+1\vec{BA}$, ce qui s'écrit plus joliment $A=B+A-B+0.\vec{BC}=1.A+0.B+0.C$ , ce qu'on écrit plus simplement $$A[1;0;0],\quad B[0;1;0],\quad C[0;0;1]$$C'est cela ?
  • Bonjour,

    $syms$ permet de déclarer les variables réelles $u,v,w$.
    $Wedge(M,N)$ est le produit vectoriel des deux triplets de coordonnées $M$ et $N$.
    Si $M$ et $N$ sont des points, on obtient la droite $(MN)$.
    Si $M$ et $N$ sont des droites, on obtient leur point d'intersection.
    Un point est un triplet $[x; y; z]$ avec un point-virgule comme sépérateur (en colonne).
    Une droite est un triplet $[p, q, r]$ avec une virgule (ou une espace) comme séparateur (en ligne).

    cordialement,
    Rescassol


  • Bonjour stfj, Rescassol fait référence (même si en barycentrique) à des méthodes dont on avait parlé il y a quelques temps https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2405668/#Comment_2405668
    Je me permets ce léger hors sujet pour savoir si tu as essayé avec tes sixièmes pour la version soft et quel en a été ton ressenti ? Ce retour m'intéresse beaucoup si tu veux bien me le partager.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    C'est un programme informatique ? ou un langage mathématique où on remplacerait $$\text{Soit }u,v,w \in \mathbb R$$ par $$\text{syms } u,v,w \text{ real}$$Je suis perdu.
  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,

    Je ne me suis pas placé dans un repère affine, mais dans le repère barycentrique $(A,B,C)$, ce qui signifie que quand 'écris $H=[u;v;w]$, celà signifie  $u\overrightarrow{HA}+v\overrightarrow{HB}+w\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    ok @Rescassol, j'avais prévenu que j'allais écrire des bêtises. Dans le repère barycentrice $(A,B,C)$, tout point $M$ du plan peut être envisagé comme le barycentre de $\{A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\}$ pour $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R$ tels que $\alpha+\beta+\gamma=1$. Ces trois nombres réels $\alpha,\beta, \gamma $ sont alors déterminés de façon unique et on écrit alors $$M=[\alpha;\beta; \gamma]$$ce qui signifie que $M$ est l'unique point du plan tel que $$\alpha \vec{MA}+\beta \vec{MB}+\gamma \vec{MC}=0$$ J'espère ne pas abuser de votre temps en vous demandant à nouveau si j'ai bien corrigé. Sinon, laissez tomber.
  • Dom
    Dom
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,
    dans le repère $(D,DC,DA)$ on peut exprimer les coordonnées des points mis en jeu. On écrit alors des équations de droites, des intersections et on regarde les coefficients directeurs des droites supports des segments rouges.

    J’ai choisi $E(0;v)$ et $G(u;1)$ pour démarrer. 
    Tout le reste fonctionne. Il n’y a pas trop de calculs. 
    La pente rouge est : $\frac{v}{u-1}$. [Édit : correction du signe]

    Question : est-ce qu’une symétrie centrale (en ajoutant un ou deux points) ne pourrait pas plier cela en trouvant un bon parallélogramme ? Je ne sais pas faire ça rapidement…

  • stfj
    Modifié (12 Apr)

    Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel. Je ne sais pas encore si cela va m'aider à mieux comprendre la solution proposée par @Rescassol.

    Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

    $(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$ 

    Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
    __________________________
    Je crois que j'aurais bien besoin de tenter de maîtriser cela pour poursuivre ma lecture laborieuse d'un certain livre sur les formes quadratiques et la géométrie chez Calvage et Mounet que je me suis procuré à grands frais mais pour lequel je ne regrette aucun des euros dépensés ;).
  • Bonjour,
    Les vecteurs $\vec{DC}$ et $\vec{DA}$ sont non colinéaires donc $\{D;\vec{DC},\vec{DA} \}$ est un repère du plan.
    Dans ce repère, on a pour $\lambda, \mu \in ]0;1[$  :
    $D(0;0), \quad C(1;0), \quad A(0;1), \quad B(1;1),\quad E(0;\lambda), \quad G(\mu;1), \quad H[\dfrac{\lambda \mu}{1-\mu+\lambda \mu};\dfrac{\lambda}{1-\mu+\lambda \mu}), \quad F(1; 1-\lambda).$
    La droite $GF$ a pour équation réduite $y = \dfrac{-\lambda}{1-\mu}x +\dfrac{\lambda \mu+1-\mu}{1-\mu}.$
    La droite $HC$ a pour équation réduite $y=\dfrac{-\lambda}{1-\mu}x +\dfrac{\lambda^2 \mu+\lambda(1-\mu)}{1-\mu+\lambda \mu}.$
    Les deux droites $GF$ et $HC$ sont parallèles puisqu'elles ont la même pente.
    Cordialement
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    Ainsi, avec le dessin donné plus haut, on a $$P\ni H=[u;v,w]\iff u\overrightarrow{HA}+v\overrightarrow{HB}+w\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\text{ avec }u+v+w=1$$ $$\iff u(A-H)+v(B-H)+w(C-H)=0$$ $$\iff uA+vB+wC=(a+v+w)H=H$$ $$\iff H=uA+vB+wC$$
    Les calculs étant entendus dans $\widehat{P}$, le "complété projectif de" $P$, le plan affine dans lequel je tente de comprendre la solution alternative proposée. Que dites-vous?... C'est inutile?... Je le sais! Mais on se bat pas dans l'espoir du succès! Non! non, c'est bien plus beau lorsque c'est inutile! ;)

  • Bouzar, c’est ce que je disais plus haut (sans les détails). Ça pourrait être un bon exercice pour des 3e même si l’esprit des programmes n’est plus trop comme ça. 
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    $ABCD$ est un parallélogramme, autrement dit
    \begin{align*}
    D-C=A-B&\iff D=1A-1B+1C\\&\iff D=[1;-1;1]
    \end{align*}
  • Soit $H=[u;v;w]$. Je ne vois pas trop pourquoi le calculer mais pourquoi pas ? $$\text{wedge}(D,H):=D\times H=\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}u \\v \\w
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-w-v \\-w+u \\v+u\end{pmatrix}$$sauf erreur. A quoi cela sert-il de calculer $D\times H$, @Vassillia?
  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,

    $D\times H$ que tu viens de calculer est la droite $(DH)$ dont tu as besoin pour calculer son point d'intersection $G$ avec $(AB)$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • $H$ n'est pas vraiment calculé, c'est le choix de paramétrisation avec $u, v, w$ qui peuvent varier pour donner n'importe quel point. Il permet de calculer la droite $(DH)$ puis grâce à elle le point $G$ en calculant le wedge entre $(DH)$ et $(AB)$.
    J'adore ce genre de méthode et quand je t'en avais parlé dans le lien mis plus haut, tu avais dit que tu essaierais avec tes sixièmes, je voulais savoir ce qu'il en était, d'où ma question.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    Qu'est-ce que "wedge"? J'ai demandé à google traduction.  La machine répond un "coin". J'en ai déduit que cela correspond à notre "produit vectoriel".
  • Oui, Rescassol l’avait dit plus haut. 
  • Certes mais je pense qu'il ne faut pas le "voir" comme un produit vectoriel surtout pour le présenter au collège, je te suggère de lire https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/727099/geometrie-projective-pour-agregatifs#latest pour en savoir plus.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • @Bouzar, @Casagrande, merci pour vos réponses. Pour l'instant, je me démène comme je peux avec celle de @Rescassol. J'étudierai avec plaisir vos réponses plus tard.
  • Réponse inutile...
    # calculs dans le repère (A, AB, AD)
    var('g e x y')
    A = (0,0)
    B = (1,0)
    D = (0,1)
    C = (1,1)
    G = (g,0)
    E = (0,e)
    
    def droite_pv(M,v):
        """équation de la droite passant par M et dirigée par v"""
        return (x-M[0])*v[1]-(y-M[1])*v[0]
    
    def droite(M,N):
        """équation de la droite passant par les points M et N"""
        return droite_pv(M, vector(N)-vector(M))
    
    def intersecte(e1, e2):
        """intersection des droites d'équations e1 et e2"""
        di = solve([e1,e2],[x,y],solution_dict=True)[0]
        return (x.subs(di), y.subs(di))
    
    H = intersecte(droite(D,G),droite(B,E))
    F = intersecte(droite_pv(D,vector(B)-vector(E)),droite(B,C))
    Matrix(2,2,list(vector(C)-vector(H))+list(vector(F)-vector(G))).det().numerator()
    Sortie :
    0

  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    @Rescassol : je vais être direct. Ce que l'on appelait autrefois "géométrie projective (réelle)" consiste à traduire les résultats de l'algèbre linéaire (sur $\mathbb R$) suivant le vocabulaire "point"=droite vectorielle, "droite projective"= plan vectoriel... (Je ne risque pas de me tromper en écrivant cela)  Bref, je voudrais que tu sois explicite  : quand tu dis "$wedge(D,H)$, c'est la droite $DH$", tu veux signifier que tu assimiles dans l'espace vectoriel $\mathbb R^3$ dans lequel nous avons plongé notre plan $P$ où l'on cherche à résoudre un exercice, tu assimiles un plan vectoriel (ici $\color{red}{ODH}$) autrement dit une droite projective, à un vecteur orthogonal à ce plan(ici $\color{red}{D\times H})$. Est-ce que mathématiquement, c'est ce que tu signifies ? (réponse utile)
  • Dans ce cas, je comprendrais enfin ce que tu appelles "côté BC" dans ton OP$$BC:=B\times C=(0,1,0)\times (0,0,1)=(1,0,0)$$noté $$[1,0,0]$$avec des virgules. Franchement, à part pour les happy few, c'était difficile à décrypter.
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    $$CA:=A\times C=[0,1,0]$$ $$AB:=A\times B=[0,0,1]$$Réponse devenue inutile
  • Bienvenue chez les happy few  ;)
    Rescassol fait cela tout le temps donc il ne réexplique pas tout systématiquement, d'où le lien pour en savoir plus. Le titre pour agrégatifs est une légère provocation de l'auteur, c'est très accessible en fait.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • "G=Wedge(Wedge(D,H),AB)"
  • NicoLeProf
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,
    je détaille la démarche de Rescassol avec des variantes (je fais des modifications) pour voir si je m'en souviens bien et pour aider stfj à comprendre la méthode en barycentriques qui est très agréable à manipuler bien que très calculatoire ( :D ) d'où l'intérêt de disposer d'un programme informatique comme Rescassol (mais rien n'empêche avec beaucoup d'huile de coude de faire à l'ancienne comme je le fais ci-dessous lol  :D ) : 
    je me place dans le repère $(A,B,C)$.
    On a : $A(1,0,0)$ (car $A=bary\{(A,1),(B,0),(C,0)\}$) ; $B(0,1,0)$ et $C(0,0,1)$.
    De plus, $D(1,-1,1)$ car $D=bary\{(A,1),(B,-1),(C,1)\}$.
    $G \in [AB]$ donc il existe $u \in \mathbb{R}$ (et même $u \in [0,1]$ en fait) tel que $G(u,1-u,0)$.
    $E \in [AD]$ donc il existe un réel $v$ tel que $E=bary\{(A,v),(D,1-v)\}$ donc $E(1,v-1,1-v)$ (homogénéité et associativité du barycentre).
    Ensuite, j'ai trouvé une équation barycentrique des droites qui m'intéressent :
    $(DG) : D \wedge G$ (produit vectoriel : le fameux "wedge") soit $(DG) : (u-1)x + uy+z=0$.
    $(EB) : (v-1)x+z=0$.
    Comme $H=(DG) \cap (EB)$, les coordonnées barycentriques de $H$ se déterminent en calculant : $(DG) \wedge (EB)$.
    On trouve ainsi, $H(u,v-u,-u(v-1))$.
    Ensuite, $F \in [BC]$ donc il existe un réel $w$ tel que $F(0,w,1-w)$.
    Puis, $(EB) // (DF)$ se traduit par "la somme des coefficients de $(EB) \wedge (DF)$ est nulle" (*).
    Je détermine une équation de $(DF) : -x+(w-1)y+wz=0$.
    Puis, (*) donne : $v+w-1=0$ (après calculs et simplifications).
    Enfin, (on va y arriver ! :D) :
    $(GF) : (1-u)(1-w)x-u(1-w)y+uwz=0$.
    $(HC) : (v-u)x-uy=0$.
    Il faut maintenant vérifier que la somme des coefficients de $(GF) \wedge (HC)$ vaut bien $0$ (roulement de tambours) sans oublier (*) qui donne $w=1-v$ :
    \begin{align*}
    u^2w+uw(v-u)-u(1-u)(1-w)+u(1-w)(v-u)&=u^2-u^2v+u(1-v)(v-u)+(1-w)(-u+u^2+uv-u^2)\\
    &=u^2-u^2v+u(1-v)(v-u)-uv(1-v)\\
    &=u^2-u^2v+(1-v)(uv-u^2-uv)\\&
    =u^2-u^2v-(1-v)u^2\\
    &=u^2-u^2v-u^2+u^2v=0
    \end{align*}(youpiii !!! :D:D:D).
  • Question idiote pour @Vassilia : soit $u$ un vecteur orthogonal à $ODH$ et $v$ orthogonal à $OAB$ , pourquoi $u\times v$ dirige-t-il la direction de $ODH\cap OAB$?
  • $\begin{pmatrix}-w-v \\-w+u \\v+u\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0 \\0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-w+u \\w+v \\0\end{pmatrix}$
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    @Rescassol : j'ai compris ta solution alternative. Merci. Par contre, tu n'as pas répondu à la question : "s'agit-il d'un programme informatique qui fait du calcul formel?" ou alors as-tu fait tous les calculs à la main ? D'où la présence des instructions bizarres "clc, clear all, close all,..."
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,
    en considérant l'hexagone sectoriel CDFGBHC de frontières (CB) et (DG), nous pouvons conclure...
    https://web.archive.org/web/20231001233048/https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Une reverie de Pappus.pdf  p. 3-6.
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour
    Quand je dis qu'une droite $(D)$ est égale à $[p,q,r]$, ça signifie que son équation barycentrique est $px+qy+rz=0$, c'est-à-dire qu'elle est l'ensemble des points barycentres de $A,B,C$ avec les coefficients $x,y,z$ vérifiant cette équation.
    Par exemple $BC=[1; 0; 0]$ signifie que la droite $(BC)$ est l'ensemble des points $M=[x; y; z]$ tels que $1x+0y+0z=0$, c'est à dire $x=0$, ou encore $M=[0; y; z]$.
    En $\LaTeX$ le symbole $\wedge$ s'appelle wedge, c'est donc naturellement que j'ai appelé Wedge la fonction qui calcule le produit vectoriel de deux triplets de nombres réels.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Vassillia
    Modifié (12 Apr)
    Tu n'as pas lu le lien stfj, certes c'est un peu long, mais je ne te le conseille pas pour rien donc je cite la partie qui répond à ta question
    D'un point de vue avancé, l'équation d'une droite s'écrit par un déterminant et l'opérateur wedge est la factorisation universelle de cet opérateur multilinéaire:\[ \left|\begin{array}{ccc} x_{A} & x_{B} & x\\ y_{A} & y_{B} & y\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=\left(\left(\begin{array}{c} x_{A}\\ y_{A}\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} x_{B}\\ y_{B}\\ 1\end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1\end{array}\right)\] Certes. Il n'en reste pas moins que la méthode des produits en croix est un moyen pratique et rapide pour calculer des droites et des intersections, et que l'on peut exposer et faire utiliser bien avant toute théorie sur les déterminants de grande taille. Il en va de même de l'algorithme de la division décimale ordinaire, que l'on peut exposer et faire utiliser bien avant toute théorie sur les développements limités d'un quotient de séries uniformément convergentes.
    Si je dis qu'il ne faut pas le "voir" comme un produit vectoriel j'ai une raison.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Yes, plusieurs personnes du forum dont Rescassol et JLT avaient pris le temps de m'expliquer ces notions intéressantes ! Je les remercie chaleureusement, j'ai gardé des copies d'écran de ce qui me semblait très important et si je retrouve cette discussion, je peux partager le lien ! :)
    Mon post ci-dessus montre que je m'en souviens, j'en suis très content ! :)<3
  • @Casagrande : Hexamy (Hexagramme "magique" de Pascal)
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    @Vassillia : je suis quelqu'un de très laborieux, je ne peux pas à la fois m'efforcer de comprendre la solution de @Rescassol, consulter un lien, reprendre un débat qui s'est avéré stérile... :) Je le ferais peut-être néanmoins car tout cela m'intéresse vivement, comme tu t'en doutes.
  • @Bouzar : j'ai compris ta solution alternative. Merci
  • stfj
    Modifié (12 Apr)
    @Casagrande : si je comprends bien tes deux messages elliptiques, nous venons de prouver le théorème de Pappus. Qui ne dit mot consent. Champagne pour tous. :)
  • NicoLeProf
    Modifié (12 Apr)
    Un grand merci à la modération pour les "begin{align*}" et "end{align*}" de mon post long et calculatoire ci-dessus !!! C'est très joli comme ceci ! :)
    Un grand merci à la modération pour son travail sur le forum et sa grande patience de manière générale !!! :)<3
  • Je compte sur toi alors stfj pour en discuter une prochaine fois (même si je ne t'en voudrais pas si tu m'oublies). 
    Ce sera l'occasion de prouver plein de choses facilement et de boire à nouveau du champagne avec la modération mais avec modération bien sûr ;)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour;

    Mes calculs sont bien sûr faisables à la main avec un peu d'obstination, mais comme je suis "légèrement" paresseux, mon message initial est un programme Matlab à destination de mon esclave numérique.
    C'est très facilement traduisible en Python.
    Les parties de ligne commençant par un caractère $\%$ (pour-cent) sont des commentaires indiquant en général ce que le cacul précédent trouve.

    Cordialement,
    Rescassol

  • cailloux
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour à tous,
    Une question pour @Rescassol :
    À un moment donné, il faut établir l'équation barycentrique de la droite $(DF)$ parallèle à $(EB)$ passant par $D$.
    J'y suis parvenu par des moyens détournés et plus ou moins laborieux.
    Mais notre ami @Rescassol écrit ceci :
    DF=Wedge(D,Vecteur(E,B)); % DF=[-u, w - u, w]

    D'où ma question : à quoi correspond Vecteur(E,B) dans son code ?

  • Rescassol
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,

    Vecteur(E,B) calcule les coordonnées barycentriques du vecteur $\overrightarrow{EB}$, ce qui donne $[-1, w/u + 1, -w/u]$.
    Pour celà, on normalise les deux points $E$ et $B$, puis on calcule $B-E$.
    On a donc $\overrightarrow{EB}=\dfrac{B}{sum(B)}-\dfrac{E}{sum(E)}$, où sum(M) calcule la somme des coordonnées du point $M$.
    Il reste ensuite à remettre le résultat en ligne, car les vecteirs comme les droites sont des lignes alors que les points sont des colonnes.
    Remarque: un vecteur est toujours un triplet de somme nulle.
    Enfin, le Wedge d'un point $M$ et d'un vecteur $\overrightarrow{V}$ donne la droite passant par $M$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{V}$.

    Cordialement, 
    Rescassol


  • cailloux
    Modifié (12 Apr)
    Merci @Rescassol : c'est très clair.
    [Edit] Décidément l'opérateur Wedge est la bonne à tout faire !
  • Bonsoir stfj,

    Il s'agit effectivement du "théorème de Pappus" et, pour certains, de "l'axiome de Pappus", dans la mesure où il revient (en plus des axiomes d'incidence) à postuler la commutativité du corps de base...

    C'est dire qu'on peut se demander si autant de calculs sont justifiés pour le "démontrer".



    par Thalès (bleu clair) : OG / OD = OB / OC et par Thalès (vert) OH / OD = OB / OF,

    donc OG / OH = OF / OC ...

    Cordialement
    Casagrande
  • Pas mal !
    On reste en 3e et c’est faisable en 2024. La seule délicatesse est cette « transitivité » à établir. 
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