Opérateur compact

Besma bissan

Salut
J'ai rencontré le mot "completely continuous" dans des livres et des articles en anglais et j'ai rencontré plusieurs définitions.



La première définit cette terme comme un opérateur continu et envoie les parties bornées aux parties relativement compactes.
La deuxième  définition : un opérateur qui envoie les parties bornées aux parties compactes.

La question est : est ce que ces définitions son équivalentes ?

Pour cela j'ai commencé par le sens direct l'image d'une partie bornée est bornée car $f$ est continue aussi d'après l'hypothèse l'image de tout partie bornée est relativement compacte   (est-ce que borné + relativement compact= compact ?)

La deuxième implication (sens indirect)  est facile car compact implique relativement compact, mais le problème se pose pour la continuité de l'opérateur comment on peut la déduire ?  

gebrane

Si tu travailles avec des opérateurs linéaires, être borné ou continu revient au même
Tu peux répondre par toi même à cette question est-ce que borné + relativement compact= compact ?, non?

Extra ! Connais les définitions dans la littérature française de ce que veut dire exactement
Operateur compact ou quasi-compact ou relativement compact ou faiblement compact ou séquentiellement compact ou précompact ou dénombrablement compact   Bon raoul peut rajouter )

Ajout, je commence :
1- Un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y
Ajout2  ( une gentillesse de ma part :m )

Un opérateur est complètement continue s'il  envoie une suite faiblement convergente dans une suite convergente.

Tout opérateur compacte est complètement continue mais la réciproque est fausse. Pourquoi?

Titi le curieux

Bonsoir, 
Une partie relativement compacte a surtout besoin d'être fermée pour être compacte. La deuxième définition me paraît fantaisiste, franchement à part des trucs triviaux comme des fonctions constantes, on peut difficilement trouver des fonctions par lesquels toute image de partie bornée est compacte. Même une définition qui enverrait tous les fermés bornés vers des compacts me semblerait a priori trop forte dans le cas général (c'est à dire quand il ne suffit pas d'être un fermé borné pour être compact, sinon, il suffit d'être continu). 
Par ailleurs, je ne vois pas trop comment démontrer le théorème, mais il y a un truc qui me choque dans l'énoncé, il ne précise pas la condition $\epsilon (f) \neq \emptyset$ alors qu'on trouve facilement des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dont l'image par $\epsilon$ est vide

gebrane

J'ai donné la bonne définition d'un operateur complètement continu qu'on connait aujourd'hui . la première définition que donne Basma est celle d'un operateur compact qu'on adopte aujourd'hui. La confusion est historique 

Titi le curieux

Salut,

Je réagissais seulement au message d'ouverture de Besma Bissan et particulièrement à ceci :

La deuxième  définition : un opérateur qui envoie les parties bornées aux parties compactes.

 Le sens de ma remarque étant en substance que la seule utilisation du sens critique permet de rejeter une telle proposition.

Besma bissan

@gebrane
Oui, j'ai déjà rencontré cette définition, merci beaucoup.

Mais il existe un chevauchement dans l’utilisation de ces termes : compact, complètement continu, compact et continu pour les operateurs.
Regarder cette remarque concernant ce problème adapter du livre :" Akhmerov, R. R., Kamenskii, M. I., Potapov, A. S., Rodkina, A. E., and Sadovskii, B. N., Measures of noncompactness and condensing operators (Vol. 55). Basel: Birkhäuser. (1992)."

Dans mon domaine d'études, d'après les références que j'ai consultées, elles se limitaient aux deux définitions précédentes que j'ai évoquées. La définition que vous avez présentée dans votre réponse, je crois, n'est pas liée à la théorème de Leary Schauder, mais plutôt à la La deuxième définition est voulue et elle est tirée du livre"  Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, 2003  ", tandis que de nombreuses autres références adoptent la première définition pour de telles théorèmes. C'est ce qui m'a confus.

Besma bissan

@Titi le curieux Je peux peut-être expliquer cela, mais je ne suis pas suffisamment sûr que ma réponse soit correcte.

Je pense que l’ensemble vide peut être considéré comme un ensemble borné.

Dans le cas de $\epsilon(f)$ est vide, la fonction accepte un point fixe.

Je ne pense pas que le fait que l'ensemble soit vide ou non n'affecte pas du tout la construction de théorème.

Besma bissan

Titi le curieux a dit :

 Le sens de ma remarque étant en substance que la seule utilisation du sens critique permet de rejeter une telle proposition.

Cela signifie-t-il que la première proposition est vraie ?

  Bien que la deuxième hypothèse ait été copiée d'un livre célèbre " Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, 2003"

Titi le curieux

Bonsoir, 
Concernant le $\epsilon$ vide prenons dans $\mathbb{R}$ la fonction $f$ définie pour tout x par $f(x)=x^2+1$. $\epsilon$ est vide et il n'y a pas de point fixe. 
Concernant la définition, je pense qu'il serait préférable que tu donnes la citation précise, il y a deux possibilité: 
- elle signifie que l'image par la fonction de toute partie bornée est contenue dans un compacte : c'est la même que la première. 
- elle signifie effectivement que l'image de toute partie bornée est un compact : là oui, c'est une erreur. 

Besma bissan

@Titi le curieux Concernant votre exemple, \epsilon (f) $ n'est pas vide totalement.

Pour $1>\lambda> \frac{1}{2}$ $\epsilon(f)$ est vide, mais

pour $0<\lambda\leq \frac{1}{2}$ $\epsilon(f)$ n'est pas vide de plus il est non borné car:

$\epsilon(f)=\Big\{ \dfrac{1-\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda}, \dfrac{1+\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda}\Big\}$

On remarque que $ \lim\limits_{\lambda \to 0} \dfrac{1+\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda}=\infty$

Titi le curieux

Ah oui, en effet, j'ai mal lu l'énoncé, j'ai interprété $F(x) = \lambda x$ au lieu de $x =\lambda F(x)$ , désolé.