Équation cubique et triangle (X 1907)

Piteux_gore
Modifié (10 Apr) dans Algèbre
Un petit exercice sympa :smile:
Former l'équation du troisième degré qui admet pour racines les longueurs des côtés d'un triangle, connaissant
le périmètre $2p$, la somme des trois hauteurs $2h$ et l'aire $S$.
Buenas noches !...
Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

Réponses

  • bisam
    Modifié (11 Apr)
    On utilise les fonctions symétriques élémentaires en les côtés $a,b,c$.
    On a $\sigma_1=a+b+c=2p$ avec le périmètre, $\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{h}{S}$ avec les hauteurs et avec la formule de Héron \[16S^2=-a^4-b^4-c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=-\sigma_1^4+4\sigma_1^2\sigma_2-8\sigma_1\sigma_3\] si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.
    Il reste à tirer $\sigma_2$ et $\sigma_3$ de ces deux dernières équations et à conclure.
    On trouve le polynôme : \[X^3-2pX^2+\frac{h(S^2+p^4)}{p(hp-S)}X-\frac{S(S^2+p^4)}{p(hp-S)}\]
    Cependant, je ne vois pas comment justifier facilement que $hp-S$ est toujours strictement positif.
    [Edit. J'avais oublié de diviser par 2 dans le calcul de l'aire du triangle : "base fois hauteur divisé par 2".
    Il fallait juste remplacer tous mes $2h$ par $h$, ce que j'ai corrigé ci-dessus.]
  • Sauf erreur de ma part, on a
    $a + b + c = 2p$ et $2S/a + 2S/b + 2S/c = 2h$ et $p(p - a)(p - b)(p - c) = S^2$
    $a + b + c = 2p$ et $S(ab+bc+ca)/abc = h$ et $p[p^3 - (a+b+c)p^2 + (ab+bc+ca)p - abc] = S^2$
    $a + b + c = 2p$ et $(ab+bc+ca)/abc = h/S$ et $p[-p^3 + (ab+bc+ca)p - abc] = S^2$
    $a + b + c = 2p$ et $ab + bc + ca = h(S^2+p^4)/p(hp - S)$ et $abc = S(S^2+p^4)/p(hp - S)$.
    L'équation est donc $p(hp - S)x^3 - 2p^2(hp - S)x^2 + h(S^2+p^4)x - S(S^2+p^4) = 0$.

    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Rescassol
    Modifié (11 Apr)
    Bonjour,

    $a+b+c=2p$  et  $h_a+h_b+h_c=2h$

    $4hp = (h_a+h_b+h_c)(a+b+c)=h_aa + ... + h_a(b+c) + ... = 6S+h_a(b+c) + ...$
    $4hp-2S = 4S + h_a(b+c) + ...$
    $2(hp-2S) = 4S + h_a(b+c) + ... > 0$

    Cordialement,
    Rescassol

  • Ah, j'ai trouvé la justification qui me manquait.
    Par inégalité triangulaire, $a,b,c$ sont tous les trois plus petits que $p$.
    Par conséquent, $\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac hS>\frac3p$ donc $hp>3S>S$.
  • JLapin
    Modifié (11 Apr)
    Cependant, je ne vois pas comment justifier facilement que hp−S est toujours strictement positif.
    La relation $hp-S = \dfrac{pabc}{S(S^2+p^4)}$ ne suffit-elle pas ? Mais je reconnais que j'ai pu louper quelque chose...
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