Équation aux différences entre les racines de deux polynômes

Piteux_gore
Modifié (10 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Un petit exercice retrouvé dans mes tablettes.
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$P_m(X), Q_n(X)$ sont deux polynômes de degrés $m, n$ ; donner une méthode permettant de former l'équation polynomiale de degré $mn$ dont les racines sont les différences entre les racines de $P$ et les racines de $Q$.
Application : $P(X) = X^2 - 3X + 2$ et $Q(X) = X^3 - X^2  + X - 1$.
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À tantôt...
Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

Réponses

  • Bonjour,
    Éliminer $Y$ entre $P(X+Y)$ et $Q(Y)$ (autrement dit, calculer leur résultant par rapport à Y).
  • Piteux_gore
    Modifié (11 Apr)
    Première méthode
    On élimine $x$ et $y$ entre les trois équations $P(x) = 0, Q(y) = 0, z = x - y$ ou, ce qui revient au même, on élimine $y$ entre les deux équations $P(y+z) = 0, Q(y) = 0$ ; l'équation $R(z) = 0$ ainsi obtenue est l'équation cherchée.
    Seconde méthode
    On utilise les sommes de Newton.
    Commentaires
    Le nombre de racines nulles de $R$ indique le nombre de racines communes à $P$ et $Q$.
    Si $P = Q$, alors l'équation de degré $n^2$ obtenue est presque l'équation aux différences des racines de $P$ : il faut diviser ce résultat par $x^n$ pour avoir une équation de degré $n(n - 1)$ excluant les différences nulles.
    Exemple
    L'équation cherchée est $x^6 - 7x^5 + 21x^4 - 33x^3 + 28x^2 - 10x = 0$.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Que veut dire "On utilise les sommes de Newton" ? (Je sais ce que sont les sommes de Newton.)
  • Piteux_gore
    Modifié (11 Apr)
    On calcule les sommes $S''$ de Newton d'indice $1, 2, ..., 6$ du polynôme cherché à partir des sommes de Newton $S, S'$ des deux polynômes donnés :
    $S''_p = mS_p\ – \ pS_{p - 1}S'_1 + p(p - 1)S_{p - 2}S'_2/2 \ – … + (-1)^{p - 1}pS_1S'_{p - 1} + (-1)^pnS'_p$.
    Connaissant les sommes de Newton, on peut déterminer les coefficients du polynôme cherché... Le calcul est un peu lourd.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • D'accord, merci.
    C'est effectivement plus fatigant que
    R.<x,y,z> = PolynomialRing(QQ,"x,y,z")
    I = R.ideal([x^2-3*x+2, y^3-y^2+y-1, z-x+y])
    J = I.elimination_ideal([x,y])
    J.gens()[0]

    z^6 - 7*z^5 + 21*z^4 - 33*z^3 + 28*z^2 - 10*z
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