Conjecture ordinaux

J'aimerais essayer de forcer la notion d'ordinal sur des ensemble qui ont un peu moins qu'un bon ordre, je conjecture le résultat suivant vrai mais je ne sais pas si j'arriverai à le démontrer ou à trouver un contre-exemple. Soit (E,<=) un ensemble dénombrable totalement ordonné dont chaque élément a un successeur (càd pour tout x les majorants stricts de x sont minores) alors considérons A = { o ordinal, tq il existe X C E  et f o -> X strictement croissante}, conjecture : A a un maximum.

Si on prend Z ça l'air vrai avec max =  ω, sur Z² muni de l'ordre lexicographique ça a aussi l'air vrai avec ω² mais ça reste des cas gentils

edit:  X C E et non dans X C P(E) woops

Réponses

  • Ben $A$ est une section commençante de la classe des ordinaux et tous les ordinaux de $A$ ont un cardinal majoré par celui de $E$, donc c'est bon, non ?
  • EtNonLesShills
    Modifié (10 Apr)
    Je n'ai pas les connaissances pour comprendre, je ne sais pas ce qu'est une section commerçante, j'étais en train de faire ma construction à la dure :smile:
    Je regarde ce qu'est une section commerçante et tu le dis le théorème que tu utilises dessus, merci.
    edit. Bon alors je viens de lire la définition et je ne vois pas trop comment tu conclues, Oui A est une section commerçante enfin je pense, oui il est majoré, par exemple A ensemble des ordinaux finis répond à ces 2 critères mais un tel A n'a pas de maximum (il a une borne sup comme toute partie des ordinaux mais pas de maximum).
    Ou alors je n'ai pas compris.
  • Bonjour, (Je ne sais pas qui a placé le fil dans Shtam mais, en l'état, la question ne semble pas convenir pour cette catégorie)
    @Georges Abitbol : le problème n'est pas tant de majorer $A$ que de montrer qu'il ne s'agit pas d'un ordinal limite.
  • marco
    Modifié (10 Apr)
    Soit $E=\Z \times \Q$. 
    On ordonne $E$ par $(a,b) <(c,d)$ si $b<d$, ou si $b=d$ et $a<c$
    Supposons que $A$ admet un maximum $\alpha$.
    Soit $u$ une fonction strictement croissante de $\Q^+$ dans $[0,1] \cap \Q$ par exemple $q \mapsto \frac{q}{q+1}$.
    Soit $f: \alpha \to E$ strictement croissante.
    Soit $g:\alpha \cup \{\alpha\} \to E$ qui à $x \in \alpha$ associe $(a,b)$ si $f(x)=(a,b)$ avec $b<0$, et $(a,u(b))$ si $f(x)=(a,b)$ avec $b\geq 0$.
    Si $x= \alpha$, $g$ lui associe $(0,2)$.
    Alors $\alpha\cup \{\alpha\}=\alpha+1 \in A$, car $g$ est strictement croissante.
    Donc $\alpha$ n'est pas le maximum.
  • Heuristique
    Modifié (10 Apr)
    EDIT : je n'avais pas vu la réponse précédente (ce qui suit est donc inutile)
    S'il fallait proposer une idée, je dirais que c'est vrai après avoir désespérément tenté de construire un contre-exemple sans succès (mais il y a vraiment des ensembles ordonnés foireux donc méfiance).
    Si $A = \lambda$ est limite, on peut considérer, pour tout $\alpha < \lambda$, une fonction $f_{\alpha} : \alpha \rightarrow E$ strictement croissante. L'idée est alors de construire une fonction $f_{\lambda}$ à partir des fonctions $f_{\alpha}$. Problème : la suite $(f_{\alpha})_{\alpha < \lambda}$ n'est pas nécessairement une suite croissante de fonctions. Pourrait-on se ramener à ce cas, quitte à utiliser un coup d'axiome du choix (ou plus précisément de Zorn) ? Par exemple, en considérant l'ensemble $B = \{(\alpha,f) \mid f : \alpha \rightarrow E \text{ strictement croissante}\}$ muni de l'ordre produit $(\alpha,f) \leqslant (\beta,g)$ ssi $\alpha \leqslant \beta$ et $f \subset g$, l'ensemble $B$ ne serait-il pas inductif sous les hypothèses de l'énoncé ?
  • EtNonLesShills
    Modifié (10 Apr)
    @marco ton exemple ne vérifie pas la condition  de successeur imposé sur E il me semble
    edit : ah si peut-être bien... je viens de comprendre.
     Dans la preuve que je suis en train d'écrire il faut un minimum sur E pour entamer les constructions j'espère que ça annule l'idée du contre-exemple.
    Je me demandais si l'hypothèse était vraiment nécessaire bah maintenant au moins je suis sûr qu'il la faut pour avoir une chance d'être vraie.
    @heuristic je pars sur l'idée de fonction à croissance minimale relativement à la relation d'ordre sur E quotientée par le fait que 2 éléments sont équivalents ssi on passe de l'un à l'autre en un nombre fini de successions ou d'antécédants. Pour tout ordinal je montre qu'il y a alors une fonction croissant moins vite que toute les autres définie sur cet ordinal, je montre que ces fonctions évaluées en un même ordinal donnent toutes des éléments équivalents, de suite je fusionne tout pour faire une fonction sur l'union des ordinaux et c'est bon.  Faut le rédiger ^^ mais j'ai espoir. Si çne marche pas je viendrai pleurer ici.
  • marco
    Modifié (10 Apr)
    @EtNonLesShills : le successeur de $(a,b)$ est $(a+1,b)$.
    Si on veut que $E$ ait un minimum, on peut choisir $E=\N \times \Q^+$. Le minimum est $(0,0)$. On construit $g$ de la même façon que dans mon précédent message.
  • EtNonLesShills
    Modifié (10 Apr)
    mouai c'est ce que j'étais en train de regarder, bien joué, je vais regarder ce qui ne va pas dans mon idée.
    Edit : je vois ce qui va pas, si on essaye de construire une fonction croissante minimale sur ω+1
    en ordonnant ça donne: (0,0), (0,1), (0,2) ... (a,0) et je peux prendre n'importe quel a çne sera jamais une croissance minimale car je pourrais toujours prendre a/2 et (a,0), ne s'obtient pas de (a/2, 0) en un nombre fini de successions, donc elle n'est même pas minimale à quotientage par nombre de successions finis. Merci.
  • EtNonLesShills
    Modifié (13 Apr)
    Je suis parvenu a un résultat dans l'esprit que je voulais (preuve a l'appuis).
    Notation: maj_str désigne les majorants stricts.





    Th: Soit $E$ totalement ordonne possédant un minimum et tel que $\forall A \subset E$ majoré: min(maj_str($A$)) existe alors $A$ ordinal.

    C'est l'hypothèse du théorème initial sauf que le  min(maj_str( . )) existe pour toutes les parties au lieu des singletons.


    preuve: Soit $A$ dans $E$,
    $B$ les minorants stricts de $ A$.
    Evacuons de suite le cas $B$ vide, min($E$) n'étant pas un minorant strict de $A$, c'est donc un minimum de $A$.

    Sinon posons $m=$ min(maj_str($B$)) qui existe car $B$ est majoré.
    * si $m \in A$ mettons $ \exists$ $  m'<m \in A$   ,  $m'$ étant dans $A$,$ m'>B$ donc $ m' \in$ maj_str($B$) donc $m'\geq $ min(maj_str($B$)) $= m$
    contradiction donc $m=$ min$ A$
    * si $m$ n'appartient pas a $A$. $m$ est dans maj_str($B$) et maj_str($B$) $\cap$ $B$ = $\emptyset$ donc $m$ n'est pas dans $B$ soit:
    non ($\forall a \in A,  m<a$) donc $\exists a\in A$ tel que: $m \geq a$ et donc par hypothèse de départ $\exists a\in A$ tq $m>a$.
    c'est a dire $a<$ min(maj_str($B$)) donc $a$ n'est pas un maj_strict de $B$, cad il existe $b\in B$ tel que $b \geq a$ faux car $B<A$

    Donc seul le premier cas et sa conclusion $m=$ min$ A$ est possible.
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