Question de débutant sur l'implication

Lirone93
Modifié (10 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour,
au risque de paraitre ridicule tellement cette question vous semblera sans doute simple et évidente, est-ce que vous pourriez me donner un exemple le plus simple, et à mon avis très banal, et naïf mais au moins concret et bien étayé d'une théorie avec une proposition vraie dans cette théorie devenant fausse (et inversement), si on apporte à la table de vérité de l'implication logique :
(\\ avec $A$ implique $B$ noté $A \implies B$) $\begin{array}{|c|c|c|}\hline A & B & A \implies B \\ \hline \dots & \dots & \dots \\ 0 & 1 & 1 \\ \dots & \dots & \dots \\ \hline \end{array}$
la modification suivante ? :$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A & B & A \implies B \\ \hline \dots & \dots & \dots \\ 0 & 1 & \textbf{0} \\ \dots & \dots & \dots \\ \hline \end{array}$
Je vous remercie.
« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».

Réponses

  • gerard0
    Modifié (10 Apr)
    Bonjour.
    Acceptes-tu ce résultat traditionnel où $x$ est un réel  $x\ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 0$ ?
    Alors, ta modification le rend inacceptable, puisque $x$ peut très bien valoir -2.
    En fait la règle de logique "faux implique vrai" est essentiellement l'idée que pour prouver une implication on n'a pas besoin de se tracasser des cas où la prémisse est fausse. Sans cette idée, la vie deviendrait compliquée, il faudrait penser à tout instant à ce qui aurait pu être mais qui n'est pas.
    Cordialement.
  • Notamment, la définition de ta "nouvelle implication" est la table logique de l'équivalence $\Leftrightarrow$
  • Je ne sais pas. Ce n'est pas clair dans ma tête. Je me suis fait une raison, mais un jour je comprendrai peut-être... :)
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Exemple naïf. Soit A : "0=1" et B : "0=0".
    Si 0=1 alors en multipliant membre à membre par 0 on en déduit 0=0. On a ainsi montré $A\implies B$.
  • Il y a l’exercice assez classique où l’on retourne des cartes « quelles sont les cartes à retourner au minimum pour … ? ». Ça permet de se fixer les idées. 
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Ok merci mais il faut que je réflechisse à comment re-formuler ma question plus précisemment car je me rends compte que j'ai du mal à « rebondir » sur vos réponses.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Exemple qu'un de mes profs d'informatique avait donné un jour s'il peut t'éclairer. Si je vous dis que s'il neige demain, alors je donne 20 à toute la classe, alors y aura aucun problème si je ne donne pas 20 à la classe s'il ne neige pas demain. $A \implies B$ ne dit quelque chose que si $A$ est vrai, si $A$ est faux (il ne neige pas), alors peu importe ce qu'on fait (le prof met ou ne met pas 20 à tout le monde), l'implication sera vraie.
  • C’est ici que j’ai retrouvé l’exercice ultra classique. 




    Cet exercice est court, essaye de le chercher quand tu auras le temps. 
    D’ailleurs peut-être que cette page toute entière est profitable. 

    N’hésite pas à recentrer ta question. Moi-même j’ai peut-être ajouté trop de choses, ça ne me dérange pas qu’on me le dise. Dis-nous où tu veux aller quand tu auras mis un peu d’ordre dans tes idées. 
  • Foys
    Modifié (11 Apr)
    Exo pour @Lirone93 (édité: je pense que cette version est mieux mai j'ai mis l'ancienne en 2° question de la nouvelle):
    Trouver toutes les fonctions $F$ de $\{0,1\}^2$ dans $\{0,1\}$ non constantes, et telles que pour tous $x,y,z \in \{0,1\}$, $F\left ( \left (F(x,y) \times F(y,z) \right ), F(x,z) \right) = 1$.

    2°) (subsidiaire): même question que dans 1°) mais cette fois avec la condition: pour tous $x,y,z \in \{0,1\}$, $F(F(x,y), F(F(y,z), F(x,z))) = 1$.

    NB: il y a $16$ fonctions en tout de $\{0,1\}^2$ dans $\{0,1\}$ et $8$ combinaisons de $\{0,1\}^3$ à tester pour chacune soit $16 \times 8 = 128$ cas à examiner pour résoudre l'exo (ce que des intervenants avaient choisi de faire avec un programme informatique la dernière fois que je l'avais posé). Mais la solution est trouvable entièrement à la main (avec un raisonnement ad-hoc et non pas du brute force, hein). On peut bien sûr  employer la méthode que l'on veut.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (11 Apr)
    Bonjour
    Je ne comprends ni la question, ni les réponses, sauf celle de Heuristique que je cautionne.
    Foys, ton exercice a piqué ma curiosité. 
    [edit]J'ai supprimé un raisonnement faux[/edit]
  • J’ai mis un certain temps également. 
    La question relève de ce qui suit : 
    •on regarde les quatre lignes de la table de vérité de A=>B. 
    •que se passe-t-il si l'on change la seule ligne « $faux\Rightarrow vraie$ » en $faux$ au lieu de la laisser en $vraie$ ?
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Oui c'est ça @Dom a bien compris : en quoi ca sert de dire que « faux ($A$) implique vrai ($B$) » est vrai ($A\implies B$), puisque de toute façon on sait dores et déjà que quand $A$ est faux, ça ne sert à rien de continuer dans cette « voie », avec $\implies$.

    Dans mon esprit, on pourrait même définir un symbôle qui exprime sémantiquement que dès qu'on rencontre « $\text{faux }\implies \text{ vrai}$ » on peut s'arrêter de poursuivre : $\triangle$ signifiant « $\text{faux } \implies \text{ vrai}$ » est $\triangle=$ « la validité de toute démonstration où apparait $\text{faux } \implies \text{ vrai}$ » est inchangée par rapport à la validité de cette même démonstration que l'on aurait tronquée à partir de justement là où apparait ce « $\text{faux } \implies \text{ vrai}$ ».

    J'ai le « reflexe de pensée » de dire que poser et penser $\triangle = \text{ faux }$. Mais, sans que je saisisse encore pourquoi, ça ne convient pas.

    J'essaie donc de comprendre, quelle est l'utilité, puisqu'il y en a une, de poser « $\triangle = \text{ vrai}$ ».

    Je pense (mais pas sûr non plus) avoir besoin d'un exemple de démonstration écrite exclusivement en langage formel pur, et donc sans aucun mot de langage naturel (car ça m'obscurcit la vision et donc la compréhension du coté formel sur lequel porte justement ma question) pour bien réussir à identifier cette utilité de manière, si possible, évidente ou même flagrante.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • GaBuZoMeu
    Modifié (11 Apr)
    Bonjour,
    Gérard t'a déjà répondu, dès la deuxième intervention de ce fil.
    Je reprends. Tu es bien d'accord avec l'affirmation :
    " Pour tout réel x,   $x\leq -2 \implies  x^2 \geq 4$ "
    Qu'est-ce que ça veut dire ? Que chaque fois que l'on remplace $x$ par un nombre réel, l'implication est vraie, n'est-ce pas ? C'est bien la signification de la vérité d'une quantification universelle, n'est-ce pas ?
    Maintenant, remplace $x$ par $0$. Que vois-tu ?
    Remplace $x$ par $3$. Que vois-tu ?
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Je sais et ce que j'ai repondu après, répondait aussi au message de Gérard, et donc à priori, à ton message aussi.

    Comme j'ai dit dans mon message précédent, il y a beaucoup trop de mots du langage courant pour moi.

    Et c'est donc pour moi trop évolué, riche sémantiquement, ça m'éloigne « intellectuellement » de mon besoin circonstantiel, de voir concrètement (pour moi) ce qu'il se passe, et donc (de mon besoin) de la traduction purement formelle de la chose. 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • C’est ce que je disais. Si on a mis trop de choses dans ce fil. Reste sur les choses qui te parlent. 
    GaBuZoMeu, que je salue 😀, vient de recentrer la discussion. Au boulot. 
  • Je ne sais pas si j'ai compris la question mais essayons autre chose.
    (0=0 et 0=1) implique 0=0.
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    GaBuZoMeu a dit :
    Gérard t'a déjà répondu, dès la deuxième intervention de ce fil.
    Je reprends. Tu es bien d'accord avec l'affirmation :
    " Pour tout réel x,   $x\leq -2 \implies  x^2 \geq 4$ "
    Qu'est-ce que ça veut dire ? Que chaque fois que l'on remplace $x$ par un nombre réel, l'implication est vraie, n'est-ce pas ?
    En l'état je ne vois qu'une formule. Pourquoi serait-elle vraie ?
    C'est bien la signification de la vérité d'une quantification universelle, n'est-ce pas ?
    Heu... ??
    Maintenant, remplace $x$ par $0$. Que vois-tu ?
    Que la formule devient « $0 \leq -2 \implies 0^2=0 \geq 4$ » et qu'il est faux que $0 \ge 4$.
    Remplace $x$ par $3$. Que vois-tu ?
    Que la formule devient « $3 \leq -2 \implies 3^2=9 \geq 4$ »
    et qu'il est vrai que $9 \ge 4$.

    Et donc ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    JLT a dit :
    Je ne sais pas si j'ai compris la question mais essayons autre chose.
    (0=0 et 0=1) implique 0=0.
    Oui et alors, quoi ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Dom a dit :
    Reste sur les choses qui te parlent. 
    Oui merci ces choses sont dans ce message : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2475153#Comment_2475153.
    Je m'en excuse mais sur ce point, je ne sais pas « travailler » autrement, tout en étant, par là même, je dirais, efficace.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Bon je ne sais pas quoi répondre. J'ai dû mal comprendre la question.
  • Anecdote bien connue : 

    On demande à Bertrand Russell : 

    « Vous pourriez démontrer que si 2 + 2 = 5 alors, vous êtes le pape ? ».

    Bertrand Russell réfléchit un instant puis répond :

    « Si 2 + 2 = 5, j’en déduis en soustrayant 3 à chaque membre que 1 = 2. Le pape et moi sommes deux, donc nous sommes un. Donc, je suis le pape ! »

    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Foys
    Modifié (11 Apr)
    @PetitLutinMalicieux @Lirone93 bon je viens de retrouver le véritable exo (!!!), il est ici: https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1370226/equation-fonctionnelle-dans-z-2-z#latest

    et la version ci-dessus ne marche pas ou plutôt, il admet d'autres solutions.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Congru
    Modifié (11 Apr)
    @Foys pour ton exercice, je trouve que nécessairement on aura $F00=1\wedge F11=1$ et c'est tout ce que j'arrive à trouver, je me suis arrêté là.
    @Lirone93, dire que $A\implies B$ est vrai, c'est équivalent à dire que la valeur de vérité de $A$ est inférieure à celle de $B$ ce qui intuitivement signifie que $A$ entraine $B$ ce qui est une traduction littérale (en français) de $A\implies B$. J'espère que c'est plus clair.
    @gerard0 avait déjà répondu correctement.
  • Congru
    Modifié (11 Apr)
    Reformulation de la question
    As-t-on $( A\implies B )\iff ( A\iff B )$ pour toutes formules $A$ et $B$ ?
    N.B: j'utilise la remarque de @Heuristique
  • gerard0
    Modifié (11 Apr)
    Bon, je ne comprends plus ce que cherche Lirone ! On dirait qu'il cherche une preuve logique que la logique a raison ... ça n'existe pas ! Si la logique a tort, ses preuves ne prouvent rien.
    Et ses phrases du style "En l'état je ne vois qu'une formule. Pourquoi serait-elle vraie ?" sont assez inquiétantes, c'est en gros "parle toujours, tu m'intéresse !", l'impolitesse classique de celui qui ne veut pas comprendre. Mais c'est lui qui pose une question !
  • La question que pose sûrement Lirone qui est la même que se posent tous ceux qui bloquent avec l'implication est sûrement la suivante : "En quoi la définition mathématique de l'implication (purement arbitraire en soi) correspond à l'implication naïve telle qu'on l'utilise depuis que nous sommes tout petit ?"
  • Congru
    Modifié (11 Apr)
    @Cyrano c'est l'implication matérielle que j'utilise depuis que je suis tout petit.
    Et franchement, je ne trouve pas sa table de vérité arbitraire, je trouve au contraire qu'elle est intuitive. Mais je comprends qu'il y a beaucoup de gens qui pensent que c'est arbitraire, j'aimerais avoir, si possible, une explication de ce pourquoi les gens pensent cela.
    Notons $\mathcal V$ une fonction qui à nos formules closes (langage supposé donné) associe leurs valeurs de vérité, alors la négation de $\mathcal V A \leq \mathcal V B$ est équivalente à $\mathcal V A =1 \wedge  \mathcal V B =0$.
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Gérard comme je l'ai dit j'ai besoin que ça soit hyper « primaire » comme exemple, donc et pour la possibilité d'être le plus formel possible.

    Si tu veux en langage un peu moins près de l'assembleur... la formule de GBM (dont j'apprécie toujours les réponses, je précise et avec qui je suis pour cette raison suffisamment en confiance pour ne pas tourner autour du pot, désolé si pour cette raison, je suis apparu impoli) est vraie.

    Mais que l'implication est vraie, c'est vrai intuitivement, ce que je n'ai pas l'impression d'avoir contesté d'ailleurs, et en plus, il y a un pour tout x qui m'embrouille alors qu'à priori justement pour cette raison, je m'étais placé dans le cadre de la logique propositionnelle, justement sans quantificateur pour bien circonscrire ma question et les réponses, et pour qu'il y ait le moins d'interférences dans mon esprit avec d'autres concepts. Excuse moi sur ce forum de mathématique, de privilegier la clarté de ma question par rapport à des interprétations que c'est de l'impolitesse et sur laquelle certains adorent se jeter dessus...
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Heu... Je ne fais que dire ce que je ressens... 
  • Lirone93
    Modifié (11 Apr)
    Tu as bien raison, je suis à cran dès que quelque chose m'échappe. Je sais et m'excuse. Tu m'as bien cassé quand même.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • #!/usr/bin/python3
    
    def b(i,r):
      return list(map(int,bin(i)[2:].rjust(r,"0")))
    
    for i in range(16):
      n=b(i,4)
      def f(x,y):
        return n[2*x+y]
      for j in range(8):
        x,y,z=b(j,3)
        if f(f(x,y),f(f(y,z),f(x,z)))==0:
          break
      else:
        print(n)
    Ce qui renvoie :
    [1, 0, 0, 1]
    [1, 1, 0, 1]
    [1, 1, 1, 1]
    

    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Foys
    Modifié (11 Apr)
    Bravo à @nicolas.patrois pour cette solution programmatique élégante (code court et limpide)!

    Bon le problème intéressant était avec la fonction $\forall x, y, z \in \{0,1\}, f((f(x,y) \times f(y,z)), f(x,z)) = 1$
     mais ça c'est votre serviteur qui s'est trompé en recopiant l'exo original 😳
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Modifié (11 Apr)
    @Cyrano en fait le présent fil est une suite de celui-ci où @Lirone93 posait la même question: https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2474270#Comment_2474270

    Au risque de me répéter "L'implication de quand on était tout petit" est bien souvent un énoncé traduisible en $\forall x, \left ( F(x) \Rightarrow G(x)\right)$ et c'est cette quantification implicite mais présente dans le discours qui fait que l'implication en question ne peut pas s'exprimer en logique propositionnelle.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci à @Foys et @GaBuZoMeu pour ieur grande pédagogie.
    Vos réponses sont, je pense, celles que j'attendais.
    Je vais reprendre tout ça au clair calmement.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Math Coss
    Modifié (12 Apr)
    Voici une autre façon de motiver cette définition (en logique classique, i.e. avec le tiers exclu). Comment peut-on démontrer une assertion « $\newcommand{\ou}{\ \mathrm{ou}\ }A\ou B$ » ? Il est suffisant de montrer que si $A$ est fausse, $B$ est vraie. Cela justifie l'équivalence entre « si $\newcommand{\non}{\mathrm{non}}\non(A)$ alors $B$ » et « $A\ou B$ ». De là, il n'y a plus qu'un pas à faire (remplacer $A$ par la négation de $P$ et $B$ par $Q$) pour arriver à l'équivalence entre « si $P$ alors $Q$ » et « $\non(P)\ou Q$ », qui sert de définition à « $P\implies Q$ ».
    En passant, vu que $A$ et $B$ jouent des rôles symétriques au début, on se convainc que « $A\ou B$ » doit être équivalent à « si $\non(B)$ alors $A$ », ou mieux, « $\non(B)\implies A$ », ce qui donne « $\non(Q)\implies\non(P)$ » après le même « changement de variables ».
  • Math Coss
    Modifié (12 Apr)
    La « bonne » variante de l'exercice de @Foys.
    #!/usr/bin/python3
    
    def b(i,r):
      return list(map(int,bin(i)[2:].rjust(r,"0")))
    
    for i in range(16):
        n = b(i,4)
        def f(x,y):
            return n[2*x+y]
        def teste(j):
            x, y, z = b(j,3)
            return f(f(x,y)*f(y,z),f(x,z)) == 1
        if all(teste(j) for j in range(8)):
            print(n)
    
    Sortie :
    [1, 1, 0, 1]
    [1, 1, 1, 1]
    
    Interprétation : il y a deux façons d'avoir la transitivité de l'implication : assigner la valeur « vrai » à toutes les assertions et la définition habituelle de l'implication.
  • Bonjour,
     
    La vidéo suivante semble être en lien avec la question initiale.

    https://www.youtube.com/watch?v=8vILfrmG_gg


    En espérant que cela pourra aider.

    Cordialement.


  • Lirone93
    Modifié (10 May)
    En effet, mais les réponses précédentes ont aussi bien répondu aussi à mon interrogation.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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