Exo topologie

Mar0wwa

Bonjour, svp je ne sais pas comment procéder pour la première question, comment montrer que O est un ouvert ??

Math Coss

Soit $x$ dans $O$ et $\epsilon>0$. Il existe un point $a$ de $A$ tel que $d(x,a)\le d(x,A)+\epsilon$. Pour $x'$ proche de $x$, $d(x',a)$ ne peut pas être très différent de $d(x,a)$ et $d(x',A)$ ne peut pas être beaucoup plus grand que $d(x,a)$. On peut faire en sorte que $d(x',A)$ soit strictement plus petit que $r$.

raoul.S

Une inégalité souvent pratique à connaître est la suivante : pour tout $x,y\in X$, $|d(y,A)-d(x,A)|\leqslant d(x,y)$. Ceci permet de résoudre l'exo différemment en montrant que l'application $f:X\to \R, x\mapsto d(x,A)$ est continue et que par conséquent $O=f^{-1}(]-\infty,r[)$ est un ouvert.

Chaurien

Un corollaire facile et intéressant, c'est le théorème de séparation d'Uryhson.  Si $A$ et $B$ sont deux parties fermées non vides disjointes d'un espace métrique $E$, il existe deux ouverts disjoints $U$ et $V$ tels que  $A\subset U$ et $B\subset V$.

stfj

Mon professeur de topologie de L3 nous parlait d' "évidences" quant à la plupart des concepts topologiques qu'il enseignait. Grâce aux fractalistes, c'est vrai que c'est évident. Sauf erreur, les fractalistes notent $$O=:A+r:=\{x\in X\mid d(x,A)<r\}$$et le nomment le $r$-épaississement de $A$. Cette notion est fondamentale pour définir la distance $h$ de Hausdorff entre deux compacts et justifier l'existence des attracteurs de familles de contraction comme par exemple, un célèbre, le triangle de Sierpinski.

raoul.S

Il est vrai que dans ce cas il serait dommage de passer à côté d'un dessin.

PS : jolis dessins d'ailleurs

stfj

@raoul.S : je pense que la réponse que tu proposes était celle attendue par la personne qui a posé l'exercice à OP, étant entendu qu'OP devait avoir dans son cours la continuité de $x\mapsto d(x,A)$.

raoul.S

À dire vrai la solution de Math Coss est plus intuitive je trouve. Lors d'un cours avec un dessin comme le tien, j'opterais en priorité pour la sienne.

zeitnot

Par curiosité je regardais la propriété de séparation dont parle Chaurien. Il y a une petite faute dans la position du h, c'est Urysohn.

Edit : je me permets juste un hors-sujet, car je suis tombé là-dessus, à propos de ce mathématicien.
https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/batz-sur-mer-44740/un-celebre-mathematicien-russe-repose-dans-lancien-cimetiere-2946680

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je n'ai pas vu (mais peut-être ai-je mal regardé) dans les réponses l'argument suivant

$$d(x,A) < r \quad\Leftrightarrow\quad \exists a\in A ,\ \ d(x,a) < r \quad\Leftrightarrow\quad x\in \bigcup_{a\in A} B(a,r)$$

où $B(a,r)$ est la boule ouverte de centre $a$ de rayon $r$.

La première équivalence vient de la définition de $d(x,A)$ comme le plus grand des minorants de $\{d(x,a)\mid a\in A\}$.

NicoLeProf

Bonjour,

chacun ses goûts mais perso je préfère largement la méthode de raoul.S pour aborder cet exercice.

Voici donc un début de preuve avec des indications pour l'inégalité de raoul.S afin d'aider @Mar0wwa à commencer car le début n'est pas naturel lol, bienvenue en topologie :

soient $x, y \in X$ et $a \in A$. Alors $d(y,A) \leq d(y,a)$.

Or, d'après l'inégalité triangulaire, $d(y,a) \leq d(y,x)+d(x,a)$ donc $d(y,A) \leq d(y,x)+d(x,a)$.

Dès lors, $d(x,a)  \geq d(y,A)-d(x,y)$.

Cette dernière inégalité étant valable pour tout $a \in A$ (puisque j'ai considéré $a$ quelconque dans mon raisonnement ci-dessus), que peut-on dire de l'expression $d(y,A)-d(x,y)$ pour l'ensemble : $\{d(x,a)\mid a\in A\}$? Quelle inégalité peut-on ainsi établir avec $d(x,A)$ ? Conclure ensuite sans les valeurs absolues !

Le même procédé sera à faire pour $d(y,A)$. Courage Mar0wwa, n'hésite pas si tu as des questions !!!

GaBuZoMeu

Des goûts et des couleurs ...

Perso, je préfère un argument qui tient en une ligne.

Chaurien

En effet, c'est Pavel Urysohn mort par noyade à 26 ans. Triste fin prématurée.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavel_Urysohn

Merci à @Zeitnot pour la correction (on ne fait jamais trop attention), et pour la photo de la tombe.

Chaurien

Moi j'aime bien la démonstration de @raoul.S. Dans un espace métrique, les démonstrations du caractère fermé ou ouvert de certaines parties se font plus aisément, à mon avis, avec un tel argument d'image réciproque, qu'en tripatouillant des $\varepsilon$. Et il est utile en soi de savoir que l'application $x \mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne.

Pour le théorème d'Urysohn dont j'ai parlé, si $A$ et $B$ sont deux fermés non vides disjoints dans un espace métrique $E$, soit $U=\{x \in E | d(x,A)<d(x,B\}$ et $V=\{x \in E | d(x,A)>d(x,B\}$. Le fait que $U$ et $V$ sont ouverts découle immédiatement du même argument d'image réciproque. Il reste à prouver que pour un fermé $A$ on a :  $x\in A\Leftrightarrow d(x,A)=0$, et tant qu'à faire, que pour toute partie $A$ de $E$ on a : $x\in \overline{A}\Leftrightarrow d(x,A)=0$. Ce n'est pas difficile.

Bonne après-midi.

Fr. Ch.

raoul.S

Effectivement, l'argument de GaBuZoMeu est le plus expéditif.

Ceci dit, l'inégalité $|d(y,A)-d(x,A)|\leqslant d(x,y)$ est toujours utile à connaître.

NicoLeProf

Oui, je suis d'accord pour l'argument de GaBuZoMeu : c'est rapide et brillant mais voilà, il faut suivre quoi. Pédagogiquement parlant, la preuve de raoul est peut-être plus pertinente car l'inégalité en question est un résultat à connaître et la topologie nécessite du temps et du travail avant de pouvoir être à l'aise dessus (donc d'être guidé(e) dans nos raisonnements) !

A présent, je tiens à grandement remercier @Chaurien pour son corollaire. Très honnêtement, j'avais commencé à chercher autour des voisinages vu que dans ton exo, $\overline{A}=A$ et $\overline{B}=B$ mais je n'aboutissais pas à grand chose. Puis, j'ai essayé de me rapprocher de l'exercice de l'OP : toujours avec peu de succès. 

Avec tes indications et les éléments donnés, j'arrive à rédiger une solution correcte je pense :  

Soient $U$ et $V$ tels que $U=\{x \in E | d(x,A)<d(x,B)\}$ et $V=\{x \in E | d(x,A)>d(x,B)\}$.

On remarque que : $U=f^{-1}(]-\infty;0[)$ où $f : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ qui à $x \in E$ associe $d(x,A)-d(x,B)$. L'application $f$ est continue sur $E$ en tant que différence de deux applications continues sur $E$.

Dès lors, $U$ est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue donc $U$ est ouvert.

Le même raisonnement montre que $V$ est ouvert également.

De plus, il est clair que $U$ et $V$ sont disjoints.

Il reste seulement à montrer que $U$ contient $A$ et que $V$ contient $B$.

On va donc prouver le résultat général suivant annoncé par Chaurien : pour toute partie $A$ de $E$, on a : $x \in \overline{A} \Leftrightarrow d(x,A)=0$.

$d(x,A)=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists a \in A \text{ } | \text{ } d(x,a) < \varepsilon \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ (tout voisinage de $x$ rencontre $A$ ou encore : tout ouvert contenant $x$ rencontre $A$ : ce qui est une caractérisation de l'adhérence). Conclusion :  $d(x,A)=0 \Leftrightarrow x \in \overline{A}$.

Dès lors, comme $A$ est fermé, on a  : $A = \overline{A}$ et on montre facilement maintenant grâce à ce que l'on a fait avant que $A \subset U$.

En effet, soit $x \in A$, alors $d(x,A)=0$. Comme $A$ et $B$ sont disjoints, $x \notin B$ et ainsi, $d(x,B) >0$ donc $d(x,B)>d(x,A)$ et ainsi, $x \in U$. Ce qui conclut.

On raisonne exactement de la même manière pour prouver que $B \subset V$.

GaBuZoMeu

Chaurien a dit :

.. en tripatouillant des $\varepsilon$

Aucun tripatouillage de $\varepsilon$ dans l'argument d'une ligne que j'ai écrit.

raoul.S

@NicoLeProf   bientôt tu vas passer du côté topologique de la force... 

NicoLeProf

Hahahaha très très drôles tes gif @raoul.S et merci pour tes posts toujours bienveillants, positifs, encourageants et pédagogues, c'est toujours un grand plaisir de te lire !!!

GaBuZoMeu

Étape suivante, pas très dure : il existe une fonction continue $X\to \mathbb R$ telle que $f$ est constante égale à $0$ sur $A$ et constante égale à $1$ sur $B$.

NicoLeProf

La fonction : $X \rightarrow \mathbb{R}$ qui à $x$ associe $\dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ semble convenir. Évidemment en restant dans le cas où $A$ et $B$ sont fermés et disjoints : on est sûr que le dénominateur ne s'annule pas !

Cette fonction est bien continue sur $X$ en tant que quotient de fonctions continues sur $X$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $X$.

Et bien sûr, $f$ est constante égale à $0$ sur $A$ et égale à $1$ sur $B$.

GaBuZoMeu

Bravo !