Quelques triangles

Bonsoir,

Un autre problème vu sur le site de Tauraso, de K. Egamberganov:
On a un quadrilatère $ABCD$.
Chacun des quatre triangles $AKB, BLC, CMD, DNA$ est rectangle et indirectement semblable avec le suivant.
$E$ et $F$ sont les milieux des diagonales $[AC]$ et $[BD]$.
$P$ est le point d'intersection des droites $(KM)$ et $(LN)$.
Montrer que les droites $(PE)$ et $(PF)$ sont orthogonales.
J'ai une solution en complexes.

Cordialement,
Rescassol

Réponses

  • jelobreuil
    Modifié (9 Apr)
    Bonne nuit à tous,
    Merci, Rescassol !
    Une piste possible serait de montrer que le point P se trouve sur le cercle de diamètre EF. En voyez-vous d'autres ?
    Bien amicalement, JLB
    PS : Rescassol, est-ce que les triplets de points (A, D, M) et (C, D, N) sont alignés, ou est-ce seulement un artefact sur ta figure ?
  • Rescassol
    Modifié (11 Apr)
    Bonjour,

    Jélobreuil, je viens seulement de voir la modification de ton message:
    > est-ce que les triplets de points (A, D, M) et (C, D, N) sont alignés, ou est-ce seulement un artefact sur ta figure ?

    Non, ce ne sont pas des alignements, ce sont des hasards, pas facile de faire une figure la plus quelconque possible.
    Voilà une figure que j'espère moins ambigüe.

    Cordialement,
    Rescassol

    PS: Je joins le fichier Géogébra (pdf à renommer en ggb) où on peut bouger $A,B,C,D$, et le point $K$ sur le cercle de diamètre $[AB]$.

  • jelobreuil
    Modifié (11 Apr)
    Merci, @Rescassol, de ces précisions !
    Il est vrai qu'il est souvent malaisé de faire une figure sans petits problèmes de ce genre ...
    Bien amicalement, JLB
  • Bonsoir,

    Considérons d'abord la partie nord-est de la figure : 


    Soit S la similitude directe de centre D qui envoie M sur C et soit S' la similitude directe de centre B qui envoie C sur L. S envoie F sur F' et S' envoie F' sur F. La composée est manifestement une rotation de centre F, d'angle 2𝛼, qui envoie M sur L.

    En s'intéressant à la partie sud-ouest de la figure on voit que la même rotation envoie K sur N... on conclut donc : 

    " LN est l'image de MK par une rotation de centre F et d'angle 2𝛼 "



    En s'intéressant ensuite aux parties nord-ouest et sud-est de la figure, on vérifie de même que : 

    " MK est l'image de NL par une rotation de de centre E et d'angle 2ß "

    Il reste à remarquer que cela implique que PE et PF sont les deux bissectrices de l'angle (NL, KM)... et c'est gagné.

    Cordialement
    Casagrande


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