Ensemble de points

B2Olomophe

Bonjour à tous
J'espère que vous allez bien, voilà un problème de géométrie du plan et sa solution (aidé par JLT) : $ABC$ est un triangle isocèle rectangle tel que $AB = AC = 6 cm$. On note $I$ le milieu de $[AB]$
Montrer que, pour tout point $M$ du plan, on a : $MA^{2}+AB.MC = MI^{2}-9$

On a $\mathrm{MI}^2=(\mathrm{MA}+\mathrm{Al})^2=\mathrm{MA}^2+2 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{Al}+\mathrm{Al}^2$
Or, $A I=3=1 / 2 A B=1 / 2 A C$ puisque $A B=A C$ ( rectangle et isocèle)
$D^{\prime}$ où $\mathrm{MI}^2=M \mathrm{~A}^2+\mathrm{MA} \cdot \mathrm{AB}+9$
Soit $\mathrm{MI}^2-9=M A^2+M A \cdot A B .($ Pas $M C \cdot A B$ du coup)
Sauf que $MA.AB = MC+CA.AB = MC.AB$ par $AB$ et $CA$ sont perpendiculaires.

Remarque : Comme l'a précisé JLT j'ai oublié les flèches au dessus des vecteurs.

JLT

J'imagine qu'il y a des flèches au-dessus et que ce sont des produits scalaires. Ici on a $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{AB}$ donc pas de problème.

B2Olomophe

Merci ! C'est corrigé pour les autres membres

NicoLeProf

Bonjour B2Olomophe,

la relation $MI=MA+AI$ est fausse si $A$ n'appartient pas au segment $[MI]$. Ainsi, la relation que tu écris limite grandement les possibilités. (Souviens-toi de l'inégalité triangulaire : lorsque tu as $3$ points non alignés donc qui forment un triangle dans le plan, toute longueur d'un des côtés est inférieure ou égale à la somme des deux autres).

En plus, tu n'utilises pas le fait que $ABC$ est rectangle en $A$ ensuite.

Je te propose de modifier ta preuve au niveau lycée en écrivant que : $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}$ (relation de Chasles : vectoriellement, c'est bon !), de développer ceci au carré et de gérer le produit scalaire $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AI}$ en faisant apparaître du $\overrightarrow{MC}$ grâce à la relation de Chasles.

B2Olomophe

J'ai oublié les flèches mais $MI = MA + AI$ est la relation de chasles. Donc pas de souci, et j'utilise le fait que $ABC$ est rectangle en $A$ à la fin quand je dis $MA.AB = MC + CA . AB = MC.AB$.

Toutefois je serai ravi de voir votre preuve! J'avoue que sans les flèches la mienne est pas très jolie.

Chaurien

Si $A,B,C$ sont des points quelconques d'un espace affine euclidien $\mathcal E$, et $I$ milieu de $AB$, alors pour $M \in \mathcal E$ le scalaire  $\phi(M)= MA^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MC}-MI^2$ est constant, indépendant de $M$.

On a : $\phi (M)=\frac 14 AB^2 +\frac 12 AC^2-\frac 12 BC^2$, qui donne bien $-9$ dans le cas particulier envisagé au début.

B2Olomophe

Merci Chaurien pour votre réponse, je ne suis pas sûr de comprendre si cette reformulation donne lieu à une nouvelle preuve.

NicoLeProf

Justement, sans les flèches, la preuve perd totalement son sens. Non, la relation $MI=MA+AI$ n'est pas la relation de Chasles et n'est valable en termes de distances si et seulement si $A$ appartient au segment $[MI]$ (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire).

En mathématiques, il faut être précis sur les notations et la rédaction.

Je rédige au niveau lycée :

Soit $M$ un point quelconque. On part de la relation : $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}$ (relation de Chasles).

Alors, $\overrightarrow{MI}^2=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI})^2=\overrightarrow{MA}^2+2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}^2=||\overrightarrow{MA}||^2+2 \times \dfrac{1}{2} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+||\overrightarrow{AI}||^2$ (en utilisant le fait que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$).

$\overrightarrow{MI}^2=MA^2+(\overrightarrow{MC+CA}).\overrightarrow{AB}+AI^2$. Puis, on obtient (par linéarité à gauche du produit scalaire et parce que $AI=3$) :

$||\overrightarrow{MI}||^2=MA^2+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}+9=MA^2+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}+9$ (puisque $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=0$ vu que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$).

On obtient finalement : $MA^2+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}+9=MI^2$ soit $MA^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MC}=MI^2-9$. Ce qui n'est pas la relation annoncée par l'OP : bien garder en tête qu'il y a un produit scalaire dans la relation que l'on veut prouver !

Ce qui prouve également le joli résultat annoncé par Chaurien ci-dessus qui est une reformulation plus générale et parfaitement rigoureuse de l'exercice.

Enfin, toujours pour B2Olomophe, tu écris : $MA.AB = MC+CA.AB$, c'est faux, il manque des flèches et des parenthèses donc je ne comprends pas ton égalité.

Quand tu dis "pas de souci" pour l'absence des flèches ou que ce n'est pas très joli, je ne suis pas d'accord, c'est surtout faux et c'est un contresens important sur les objets utilisés auquel il faut remédier. Il ne faut pas confondre les objets utilisés et faire preuve de rigueur quand on rédige une preuve mathématique ! Je te compte sur tes efforts pour y remédier et ainsi progresser !  

B2Olomophe

Merci NicoLeprof ! 

Chaurien

On peut aussi rédiger au niveau lycée (du moins je présume) la solution que j'ai proposée, ce n'est pas plus difficile. La stratégie consiste à écrire tous les vecteurs avec la même origine, par exemple $A$, au moyen de la relation de Chasles, et à appliquer la bilinéarité du produit scalaire.

On note d'abord que : $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}$.

Ensuite, on écrit : $\phi (M)=MA^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MC}-MI^{2}=AM^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})-(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})^{2}$.

En effectuant, il vient : $\phi (M)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}AB^{2}$, qui est bien indépendant de $M$.

Si l'on veut $\phi (M)$ en fonction des distances $AB, BC, AC$, on part de : $BC^{2}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, et il vient :
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2})$, d'où : $\phi (M)=\frac 14 AB^2 +\frac 12 AC^2-\frac 12 BC^2$.

L'application au triangle isocèle rectangle du problème initial est immédiate.

J'ai écrit que c'était valable dans n'importe quel espace affine euclidien parce que la dimension de l'espace ambiant n'intervient pas, mais cette observation ne complique rien. On peut rester dans le plan si l'on s'y sent mieux, ou dans l'espace de dimension $3$. Il y aura toujours un espace de dimension $3$ qui contiendra tous les protagonistes de cette affaire : $A,B,C,I,M$.

gai requin

@Chaurien : Il y a un carré en trop dans ta formule de polarisation.