Matrice et polynôme

OShine
Modifié (9 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Soit $\phi$ un endomorphisme de $\R^n$ et $B$ la base canonique.
Soit $P$ un élément de $\R[X]$.
Je bloque sur la relation : $Mat_B (P(\phi))=P( Mat_B (\phi))$.

Réponses

  • Montre-nous tes tentatives de résolution.
  • zygomathique
    Modifié (9 Apr)
    Salut
    inutile d'alourdir les notations par un indice $B$ car $B$ peut être n'importe quelle base ...
    ensuite évidemment on travaille dans cette base et n'importe quelle base devient la base canonique quand on la prend pour base de référence ...
    si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes et $M_f$ et $M_g$ leur matrice dans une base $B$ alors on a appris et on sait que : 
    $M_{kf} = kM_f$  et  $M_{f + g} = M_f + M_g$  et  $M_{fg} = M_f \times M_g$  donc  $M_{f^k} = (M_f)^k$
    ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • OShine
    Modifié (9 Apr)
    Ok merci je vais écrire ce que j'ai tenté.
    J'ai vu cette relation dans un corrigé d'une épreuve de Mines Ponts MP.
  • C'est évident si on utilise des "gros mots" : lorsque une base $B$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est fixée, l'application qui à un endomorphisme $\phi$ de $E$ associe sa matrice dans la base $B$ est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres de $(\mathcal{L}(E)\, , +\, ,\cdot\, , \circ)$ dans $(M_n(\mathbb{K})\, ,+\, ,\cdot\, ,\times)$.
  • OShine
    Modifié (9 Apr)
    Merci @bisam j'ai compris, je connais cette propriété du cours de sup en plus, que j'ai plusieurs fois utilisée mais ici je n'y avais pas pensé.
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