Algébricité d'une extension

Blanc
Modifié (9 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Merci de me donner un coup de pouce pour ce qui suit.

Réponses

  • $F$ est algébrique sur $K(b_1,\ldots,b_p)$ donc a fortiori sur $K(b_1,\ldots,b_p,c_1,\ldots,c_q)$.
  • Bonjour JLT,

    oui mais pourconclure avec F(c) en appelant c la base de transcendance de L/F,  j'aimerais pouvoir dire que F(c) est algébrique sur F, ce qui n'est pas vrai. C'est donc que quelque chose m'échape pour passer à F(c) à partir de ta remarque.
  • zygomathique
    Modifié (9 Apr)
    Salut
    c'est quoi une base de transcendance ?

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Soit  $M=K(b_1,\ldots,b_p,c_1,\ldots,c_q)$. Alors $F$, ainsi que les $c_i$, sont algébriques sur $M$ donc $F(c)$ également.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (9 Apr)
    Bonjour, Il suffit d'ajouter à la remarque de JLT :  
    "$F$ est algébrique sur $K(b_1,\ldots,b_p)$ donc a fortiori sur $K(b_1,\ldots,b_p,c_1,\ldots,c_q)$"
    le fait que $c_1,\ldots,c_q$ sont algébriques sur $K(b_1,\ldots,b_p,c_1,\ldots,c_q)$.
  • Merci JLT
    J'avais oublié une propriété élémentaire.

    Pour Zygomatique


  • Blanc
    Modifié (9 Apr)
    Bonsoir
    J'ai recherché une démonstration pour Justifier le résultat final moyennant les 2 remarques de Gabuzomeu et de  JLT et je n'arrive toujours pas à montrer que F(c) est algébrique sur K(b,c) avec b base de transcendance de F/K et c base de transcendance de  L/F.
  • L'ensemble des éléments algébriques est un corps. Il contient F et c donc F(c).
  • Blanc
    Modifié (11 Apr)
    Bonsoir JLT
    Je ne savais pas que l'ensemble des éléments  algébriques est un corps. 
    Ce résultat n'a rien d'évident.  ( résultant ?) 
  • NicoLeProf
    Modifié (9 Apr)
    Si je comprends bien (ces notions sont toutes nouvelles pour moi et assez difficiles mais c'est passionnant et fascinant), cela donne la preuve suivante:
    $F/K$ admet comme base de transcendance $(b_1,...,b_p)$ donc $b_1,...,b_p$ sont algébriquement indépendants sur $K$ et $F$ est une extension algébrique du corps $K(b_1,...,b_p)$. Donc $F$ est une extension algébrique de $K(b_1,...,b_p,c_1,...,c_q)$.
    De plus, $L/F$ admet comme base de transcendance : $(c_1,...,c_q)$ donc $c_1,...,c_q$ sont algébriquement indépendants sur $F$ et $L$ est une extension algébrique du corps $K(c_1,...,c_q)$. Ainsi, $c_1,...,c_q$ qui sont des éléments de $L$ sont algébriques sur $K(c_1,...,c_q)$ donc sur $K(b_1,...,b_p,c_1,...,c_q)$.
    Or, l'ensemble des éléments algébriques de $K(b_1,...,b_p,c_1,...,c_q)$ est un sous-corps de $L$ contenant $F$ et $c_1,...,c_q$. De plus, $F(c_1,...,c_q)$ est le plus petit sous-corps de $L$ contenant $F$ et $c_1,...,c_q$ donc le corps des éléments algébriques de $K(b_1,...,b_p,c_1,...,c_q)$  contient $F(c_1,...,c_q)$.
    Est-ce correct? :D
  • Barjovrille
    Modifié (10 Apr)
    Bonjour, @NicoLeProf je pense que c'est bon. Sauf cette phrase : "Donc $F$ est une extension algébrique de $K(b_1,...b_p,c_1,...,c_q)$" qui je crois n'est pas justifié (c'est la partie "extension" qui me dérange).
    Sinon vu la définition fournie par blanc de base de transcendance, je pense que le point clé à détailler c'est si $(b_1,...,b_p)$ est une base de transcendance de $F$ sur $K$ selon la définition plus haut alors $F$ est algébrique sur $K(b_1,...,b_p)$. ( Après je ne manipule pas souvent ces choses la je ne suis pas le plus fiable).
    @Blanc pour la démonstration les éléments algébriques forment un corps tu peux regarder ici : http://gilles.dubois9.free.fr/fieldext-alg.html la démonstration n'est pas très longue et je trouve que c'est bien fait.
  • Blanc
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour NicoleLeprof,

    Ta démonstration est correcte. Les définitions qui sont en pièce jointe ne sont pas celles sur lesquelles j'ai travaillées qui impliquent ce que tu as écrit.  

     J'ai découvert la théorie des bases de transcendance dans  " Théorie de Galois de Gozard édition Ellipse ) cela te passionnerait sûrement.

    J'en profite au passage pour remercier Poirot qui m'a si souvent aidé dans l'étude de la théorie de Galois.


    Bonjour Barjovrille,

    Merci pour la référence.

     Je remercie aussi les personnes chargées de la correction des fautes d'orthographe de se vouer à cette tâche avec une indulgence infinie.
  • Poirot
    Modifié (10 Apr)
    Il n'y a pas besoin d'utiliser le résultant pour montrer que la somme et le produit de deux nombres algébriques sont algébriques. Il suffit, par exemple, d'observer que $F(\alpha + \beta) \subset F(\alpha)(\beta)$ et puisque $F(\alpha)$ et $F(\beta)$ sont de dimension finie sur $F$, alors $F(\alpha)(\beta)$ l'est aussi, et enfin $F(\alpha + \beta)$ également, ce qui suffit à caractériser le fait que $\alpha + \beta$ est algébrique sur $F$.
    Là où l'utilisation du résultant peut être utile est lorsque l'on veut montrer que la somme et le produit de deux entiers algébriques restent des entiers algébriques.
  • Ou bien le résultant est utile si on veut déterminer un polynôme annulateur explicite de $\alpha+\beta$ connaissant des polynômes annulateurs de $\alpha$ et $\beta$.
  • NicoLeProf
    Modifié (10 Apr)
    Intéressantes tes remarques Barjovrille !
    Effectivement, la phrase "Donc $F$ est une extension algébrique de $K(b_1,...b_p,c_1,...,c_q)$" est une erreur après réflexion car $c_1,...,c_q$ ne sont pas forcément des éléments de $F$ mais seulement des éléments de $L$. Il aurait fallu écrire : "Donc $F$ est algébrique sur $K(b_1,...b_p,c_1,...,c_q)$".
    Pour ton autre remarque, j'ai lu effectivement en faisant des recherches sur internet que lorsque $(b_1,...,b_p)$ est une base de transcendance de $F/K$, alors $b_1,...,b_p$ sont algébriquement indépendants sur $K$ et $F$ est une extension algébrique du corps $K(b_1,...,b_p)$.
    C'est vrai que le passage de "$(b_1,...,b_p)$ est une base de transcendance de $F/K$" à "$F$ est algébrique sur $K(b_1,...,b_p)$" n'a pas l'air si immédiat si l'on utilise la définition donnée par Blanc plus haut (qui n'est pas celle de son livre). Je ne sais pas s'il est possible de démontrer cela aisément avec la définition ci-dessus. Il faudrait que j'y réfléchisse posément mais je manque de recul sur ces notions qui sont toutes nouvelles pour moi ! ^^'
  • Barjovrille
    Modifié (10 Apr)
    Un indice si $(b_1,...,b_p)$ est une base de transcendance de $F/K$ alors pour tout $x \in F$, $b_1,...,b_p,x$ sont algébriquement dépendants sur $K$
  • Ah ! Je crois que ça se débloque, merci pour ce bel indice très éclairant je crois bien :
    soit $x \in F$. Alors, $b_1,...,b_p,x$ sont algébriquement dépendants sur $K$. En effet, si ce n'était pas le cas alors $(b_1,...,b_p)$ serait contenue dans une famille algébriquement indépendante de $L$ : $(b_1,...,b_p,x)$, ce qui contredirait le fait que $(b_1,...,b_p)$ est une base de transcendance de $F/K$ !
    Donc il existe un polynôme non nul $P(X_1,...,X_{p+1})$ à coefficients dans $K$ tel que $P(b_1,...,b_p,x)=0$.
    Comme $b_1,...,b_p$ sont algébriquement indépendants, le corps engendré par cette famille : $K(b_1,...,b_p)$ est le corps des fractions d'un anneau de polynômes à $p$ indéterminées et à coefficients dans $K$.
    Par suite, il existe alors un polynôme non nul $P(X)$ à coefficients dans $K(b_1,...,b_p)$ tel que $P(x)=0$ donc $x$ est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $K(b_1,...,b_p)$ ainsi $x$ est algébrique. Par suite, $F$ est algébrique sur $K(b_1,...,b_p)$.
    Pas sûr du tout au final surtout sur le passage d'un polynôme en $p+1$ indéterminées en un polynôme à $1$ indéterminée : ça me semble logique et il me semble que c'est ce que l'on veut prouver mais c'est peut-être une grosse erreur de compréhension de ma part sur les objets que je tente de manipuler aussi...
  • Je pense que tu as fait trop compliqué, pas besoin de parler de corps des fractions ici. Tu as un polynôme $P$ tel que $P(b_1,...,b_p,x)=0$.
    A partir de ce $P$ trouve un polynôme $Q \in K(b_1,...,b_p)[X]$ tel que $Q(x)=0$, il n'y a plus grand chose à faire il faut penser à une petite manip.
  • Peut-être en disant que comme $P$ s'écrit sous la forme $P=\displaystyle \sum_{j=1}^m P_j X_{p+1}^j$ avec $P_j \in K[X_1,...,X_p]$ et que $P(b_1,...,b_p,x)=0$, il suffit de poser $Q(X)=\displaystyle \sum_{j=1}^m P_j(b_1,...,b_p) X^j$. Le polynôme $Q$ est bien un polynôme en une indéterminée, à coefficients dans le corps $K(b_1,...,b_p)$ et qui vérifie $Q(x)=0$ ou alors je ne comprends plus grand chose (ce qui est possible aussi ! :# )
  • Barjovrille
    Modifié (10 Apr)
    Oui voilà! Informellement tu regardes le polynôme $X\mapsto P(b,X)$ (tu figes les $p$ premières variables). De façon plus abstraite (c'est plus important de saisir la première idée que cette remarque) ta nouvelle écriture de $P$ rappelle une des constructions de l'anneau des polynômes à plusieurs indéterminées. C'est-à-dire pour construire l'anneau des polynômes à deux indéterminées (par exemple) tu construis l'anneau des polynômes sur un anneau des polynômes ($K[X,Y]$ c'est pareil que $K[X][Y]$ où la deuxième écriture signifie les polynômes en $Y$ à coefficient dans $K[X]$).
  • Je te remercie pour tes commentaires très intéressants et éclairants Barjovrille !!!
    Tout ceci est vraiment passionnant et effectivement, je fais le lien avec une des constructions de l'anneau des polynômes à plusieurs indéterminées car cela correspond à mes recherches notamment sur Wikipédia pour pouvoir participer à ce fil de discussion !
    Je vais sans doute me plonger dans les extensions de corps ainsi que sur la théorie de Galois cet été ! :)
  • De rien, bon courage et à bientôt peut-être :).
  • Blanc
    Modifié (12 Apr)
    Bonjour,

    Il me semble qu'en considérant la fermeture algébrique de M,  ce à quoi je n'ai pas pensé, que le tour était joué car Gozard montre dans son livre
     " théorie de Galois " que la fermeture algébrique (ensemble des éléments de L algébriques sur K) est un sous-corps de L contenant K.

    Pour Barjovrille

    Poirot a suggéré la bonne idée pour démontrer que si x et y sont algébriques alors x+y et xy sont algébriques.

    Utiliser le résultant, c'est comme vouloir abattre une mouche avec un marteau pilon.
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