Sommes de carrés et sommes exponentielles

biguine_equation
Modifié (8 Apr) dans Arithmétique
Bonjour

Soient $A$ un entier positif impair et $B$ un entier positif pair avec $A^2+B^2=p$, $p$ premier.
Si $g$ est une racine primitive modulo $n$, les puissances de $g$ engendrent le groupe des unités modulo $n$. Pour tout élément $b$ de ce groupe, il existe un unique $k$ entre $1$ et $\varphi(n)$ tel que 
\begin{equation}
g^k \equiv b \pmod n
\end{equation}
On appelle $k$ l’$\textbf{indice}$ de $b$ (en base $g$) modulo $n$ mais $k$ est aussi, sauf erreur, l’autre nom du $\textbf{logarithme discret}$.
Par exemple, avec la racine primitive $g=2$ modulo $n=11$, l’indice de $b=5$ est $k=4$. Si $b=10$, $k=5$. L’indice n’existe pas pour tous les modules mais il peut être défini pour les nombres composés. Par exemple pour $n=10$, $g=3$, $b=7$, on trouve $k=3$ puisque
\begin{equation}
3^3 \equiv 7 \pmod {10}
\end{equation}
On démontre que $A$ et $B$ sont respectivement la partie réelle et imaginaire de la somme suivante (The mathematical monthly, vol.68) dans laquelle $a$ est un résidu quadratique modulo $p$ fixé.

Or, je ne vois pas la base $g$ (certainement sous-entendue) dans cette somme $S$. De plus, l’expression $ind(x^4+a^4)$ n’est pas définie. J’imagine qu’elle désigne l’indice et que la somme $S$ est valide pour toute racine primitive modulo $p$. Est-ce que ça vous paraît possible ?
En vous remerciant…

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (8 Apr)
    Salut,
    oui, je pense que c'est ça : vu que $\exp(\frac12\pi i)\!=\!i$ est d'ordre 4, tout ce qui compte dans tes indices, c'est leur résidu modulo 4 et si tu passe d'un générateur $g$ (du groupe multiplicatiof ${\mathbb F}_p^*$) à un autre $g'$, c'est que $g'\!=\!g^d$ avec $d$ premier avec $p\!-\!1$ donc $d$ impair et les indices en base $g$ vont être égaux à $d$ fois ceux en base $g'$ modulo $p\!-\!1$ (qui est multiple de 4 vu que $p$ est somme de deux carrés).  Donc ces indices modulo 4 seront soit les mêmes, soit les opposés (selon que $d$ est congru à $\pm1$ modulo 4) et dans le deuxième cas, ça ne fera que changer le signe de la partie imaginaire de ta somme.
  • D’accord, merci beaucoup ! J’ai oublié de préciser que, en effet, l’égalité est définie à un éventuel changement de signe près.
  • Ben314159
    Modifié (9 Apr)
    Pour m'occuper, j'ai commencé à chercher la preuve du bidule, mais il y a un problème : si $p\!\equiv\!1\ [8]$ alors $-1$ est une puissance 4-ème modulo $p$ et certains termes de ta somme demandent à calculer l'indice de zéro, ce qui n'a pas de sens.
    SI je ne me suis pas trompé, le résultat perdure modulo de ne pas retenir ces termes "viciés" dans la somme (donc il vaudrait mieux écrire la somme différemment pour que ce soit vraiment correct...).
    Et je n'ai pas l'impression non plus qu'il soit nécessaire que le $a$ soit un carré modulo $p$.
  • biguine_equation
    Modifié (10 Apr)
    Pour éviter les calculs d’indices de termes nuls, il faudrait réécrire la somme $S$ où l’indice porte sur $x^4+a^4$, $a$ étant un résidu quadratique modulo $p$, en une somme où l’indice porte sur $x^4+1$ uniquement et sommer de $x=0$ à $x=\frac{p-1}{2}$ avec la condition $x^4 \neq -1 \pmod p$. Pour l’instant, je ne vois pas comment passer d’une expression à l’autre…
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