Cercle de Monge

Bonjour,
On considère l'ellipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ et son cercle de Monge $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$.
D'un point $A(u, v)$ du cercle de Monge et du point opposé $C(-u,-v)$ on mène les tangentes à l'ellipse, de façon à créer un rectangle $ABCD$.
Peut-on déterminer sans trop de calculs les coordonnées des points $B, D$ ?
Tenez bon la barre !...



Un con prometteur vaut dix compromis.

Réponses

  • john_john
    Modifié (8 Apr)
    Bonjour,
    tout dépend de ce que tu appelles peu de calculs.
    La droite d'équation $AX+BY+C=0$ est tangente à l'ellipse : elle satisfait donc à $a^2A^2+b^2B^2-C^2=0$. 
    Or, elle passe par $M(u,v)$ et $M'(u',v')$ : $-C=Au+Bv$ et $-C=Au'+Bv'$
    Donc, $(1)\,:\quad A^2(a^2-u^2)-2ABuv+(b^2-v^2)B^2=0$, sachant que $a^2-u^2=v^2-b^2$ ; on écrit la même chose avec $(u',v')$.
    Donc, $\pm u$ et $\pm u'$ sont solutions de $U^4\cdot((u^2-a^2)^2+u^2v^2)+\cdots+a^4u^2v^2=0$.
    Comme $\pm u$ est solution, les relations coefficients-racines donnent ${u'}^2=\displaystyle\frac{a^4u^2v^2}{(u^2-a^2)^2+u^2v^2}\cdot$
    Enfin, on a aussi ${v'}^2=a^2+b^2-{u'}^2$ et $(1)$ permet de sélectionner $(\pm)'v'$ en fonction de $\pm u'$.
  • C'est à peu près ce que j'avais fait, mais j'espérais que quelqu'un aurait une recette miracle...
    Un con prometteur vaut dix compromis.

  • Un geste qui sauve souvent (mais pas ici) est de voir l'ellipse comme l'image d'un cercle par affinité orthogonale ; sans objet, donc, puisque les lieux orthoptiques ne se correspondent pas de la sorte.
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