Pôles et polaires réciproques

john_john
Modifié (8 Apr) dans Géométrie
Bonjour à tous,
on sait (ou on a su ) que, lorsqu'un point décrit une conique $(C)$, sa polaire par rapport à une conique $(C')$ enveloppe une conique $(C'')$ ; je vous propose d'approfondir les deux cas particuliers suivants : 
a) Les coniques $(C)$ et $(C'')$ sont égales (figure 1).
b) Les coniques $(C')$ et $(C'')$ sont homofocales (figure 2) --- dans ce cas, il y a des coniques $(C)$ remarquables.


Bon amusement :)   j__j
(Situation inspirée du fil https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337321/parallelogramme-circonscrit-a-une-ellipse)

Réponses

  • john_john
    Modifié (8 Apr)
    Ah ! il paraît que vous aimeriez voir aussi la figure 2 dans laquelle $(C)$ soit un cercle !



    La figure n'est pas loyale à 100% car j'ai celé un point important  >:)
  • Notons $\Phi$ la polarité par rapport à $(C')$.
    Dans la figure 1, l'involution $(C)\to (C)$, $M\mapsto\Phi(M)\cap (C)$ semble avoir son point de Frégier à l'infini.
    Une remarque en passant hein ;)
  • Oui ! Elle a tellement son point de Frégier à l'infini que c'est une symétrie axiale. Je dois dire que j'ai pris un cas particulier très simple ici :)
  • @john_john : Avec une involution de Frégier de $(C)$ à deux points fixes, je sais construire une conique $(C')$ répondant à a), $(C')$ étant le lieu d'un certain conjugué harmonique.
    Intéressé ? Je ne suis pas sûr d'être dans les clous de ta requête :'(
  • john_john
    Modifié (8 Apr)

    gai requin :  si, si, au contraire ! C'est bien la construction attendue pour une situation non triviale : un point de Frégier duquel on puisse mener deux tangentes ; cela donne deux couples point-tangente pour la conique $(C')$ et on termine par le couple $(M, (T))$ qui, lui, est un couple pôle-polaire. Cela suffit pour construire $(C')$ (on peut envoyer $(T)$ à l'infini, si elle gêne :) )
  • Ouf !
    Avec tes notations, $(MM_1)$ coupe $(T)$ en $m$ de sorte que le conjugué harmonique de $M_1$ par rapport à $(M,m)$ est sur $(C')$.
    D'où le lieu que j'ai évoqué dans mon dernier message.
  • @john_john : Faut-il connaître un résultat expert sur les foyers pour répondre à b) ? (Je suis sophomore en coniques euclidiennes)
  • john_john
    Modifié (9 Apr)

    Bonjour, gai requin,
    expert, oui et non ; pappus dirait qu'il faut connaître le minimum syndical là-dessus. Dans la figure, je représente les foyers de $(C')$ comme si l'on pouvait y faire passer des tangentes réelles (en fait, ce sont des isotropes, de pentes $\pm{\rm i}$, pentes indépendantes de la conique bifocale $(C')$. De ce fait, les droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont les directrices associées et elles coupent $(C')$ en quatre points réels en tout : $A,B,A'$ et $B'$. Regarde à présent à quelle condition (portant sur $(C)$), la conique $(C'')$ pourra avoir les mêmes foyers et, partant, les mêmes droites $(FA)$, et al.

    Ensuite, il resterait, ce que je n'ai pas fait, à étudier le cas où $(C')$ est une parabole. Il faudrait sans doute même préciser l'énoncé dans ce cas car, homofocales, à propos de paraboles, est sans doute trop général.
  • Bonsoir john_john et merci de me rappeler au bon souvenir de Plücker !
    Donc tes quatre points $A,B,A’,B’$ sont sur $(C)$ mais dans le complexifié 🤔
  • Oui : sur $(C)$ aussi ! Réciproquement, ...
  • Si $A,B,A’,B’$ sont sur $(C)$, alors leurs polaires $FA,FB,F’A’,F’B’$ par rapport à $(C’)$ sont tangentes à $(C’’)$ qui a donc pour foyers réels $F$ et $F’$.
    On parle bien d’une CNS algébrique non ?
  • @john_john : Le point que tu celas dans le cas où $(C)$ est un cercle est à l'intersection de $(C')$ et d'une de ses directrices.
    Mézalor tu veux nous faire travailler notre imaginaire !
  • john_john
    Modifié (10 Apr)
    Oui ! Les coniques cherchées sont donc celles qui passent par 4 points fixes et ce sont donc celles d'un faisceau linéaire. Ce faisceau contient $C'$', la conique réunion des deux directrices et... le lieu orthoptique qui peut ne pas être réel. Le détail celé était l'angle droit formé par les tangentes menées de $M$.
  • gai requin
    Modifié (10 Apr)
    Excellent !
    Cela me rappelle le lieu orthoptique dans le JDE p.434  ;)
  • Bonjour @john_john,
    En termes matriciels, on a $C''=C'C^{-1}C'$, formule qui pourrait peut-être éclairer ta question a) sous un nouveau jour.
  • Bonjour, gai requin,
    à noter en outre que, si $C'$ est fixé, l'application $C\mapsto C''$ est involutive.
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