Égalité de racines carrées et calculatrice

Cyrano

Cette question s'adresse essentiellement aux professeurs du secondaire même si tout le monde peut bien sûr y répondre.

Un élève doit établir que $3\sqrt{5} = \sqrt{45}.$ Il entre ces deux expressions dans sa calculatrice et obtient $6.7082039324$ dans les deux cas. Il en conclut que les nombres sont donc bien égaux. Que lui répondez-vous ? 

JLapin

Que lui répondez-vous ? 

C'est une question et une réponse orale ?

Si c'est la réponse sur une copie, je répondrais que sa preuve a autant de valeur que celle qui consiste à écrire sur sa copie : "l'énoncé est vrai car écrit par un très bon professeur donc on a bien $3\sqrt 5 = \sqrt{45}$."

Cyrano

Disons que oui, comme ça le professeur est libre de faire une réponse plus élaborée que simplement barrer sur la copie.

Matricule_63

Que la calculatrice est une menteuse, il faut arrêter de la croire aveuglément.

Le problème sous jacent est que, souvent, l'élève n'a pas conscience que le résultat affiché est un arrondi. ''C'est la calculatrice, c'est vrai''. D'où la réponse provocante ci dessus.

zeitnot

On peut lui répondre que $ 6,708203932399875456231111$ n'est pas égal à $ 6,708203932412458732111111027$, et que lorsqu'une calculatrice donne uniquement les dix premières décimales identiques pour deux nombres cela ne prouve pas pour autant qu'ils sont égaux. Et on peut lui dire que même si on avait 1 milliard de décimales identiques, on n'aurait toujours pas de certitude.

JLT

Question : si dans un exercice on demande de calculer la longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$, et qu'un élève répond
$$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=1,414$$
est-ce qu'il obtient une partie des points, tous les points ou zéro point ?

Foys

Je pense qu'il faut fixer la règle du jeu avant. Apparemment la phrase introductive d'examen traditionnelle "les calculettes ne seront pas autorisées" est devenue indésirable alors que cela clarifiait bien des situations.

zeitnot

@JLT tout dépend de ce qu'on évalue et où on est rendu. Il n'y a pas de réponse unique selon moi. 

Sur une petite interrogation sur Pythagore de 4ème, on vient tout juste d'aborder la notion, on teste pour voir si les élèves ont  appris leur formule et savent l'appliquer, je mettrais tous les points sans problème. Si j'ai vu ce que que je voulais voir. Cela n'empêche pas de corriger par un environ égal sur la feuille et je ferais la remarque à la classe en rendant les copies, si c'est une erreur récurrente. 

Pour un élève de spécialité mathématiques en terminale, je ne serais pas très content.

biely

On peut aussi demander si deux droites sont parallèles alors que deux rapports sont ’’presque’’ égaux (mais avec les fractions irréductibles l’illusion de la calculatrice s’envole!). En général un exemple suffit à convaincre...

zygomathique

Salut
premier problème : c'est que bon nombre des calculatrices récentes donnent la simplification
deuxième problème : la calculatrice a raison ... comme Tiktok  !!
troisième problème : les élèves n'ont plus aucune notion des nombres (d'où le deuxième pb et on le voit quand on leur demande des ordres de grandeur de certaines quantités)

J'ai coutume de donner à mes élèves de term ou STS des calculs avec la loi binomiale où n est très grand (au delà de 100 voire 200) et je leur demande P(X = k) avec k < 5 ou k > 195 et évidemment la calculatrice affiche 0 la plupart du temps.
Pour argumenter je reviens à la définition qui montre que les facteurs du produit ne sont pas nuls donc le résultat ne peut être nul (c'est même tombé au bac une fois il me semble).

Dans ton cas et pour simplifier prenons $x = \sqrt 3$,
la calculatrice affiche un certain résultat et je leur demande de noter le résultat affiché (que je note $y$)
puis je leur demande d'exécuter le calcul $ \sqrt 3 - y$ qui permet souvent d'afficher un résultat non nul

Mais les numworks par exemple peuvent maintenant afficher des nombres avec "très beaucoup" de décimales donc retournent souvent 0 ...

Vu le troisième pb j'impose la plupart du temps du calcul exact et surtout je travaille énormément les symboles $=$ et $ \approx$ pour essayer de leur faire distinguer les choses ...

Un autre grand classique à proposer  :

 Les nombres  $\dfrac {4009275} {2314756} $  et  $ \dfrac {847754} {489451}$   et sont-ils égaux ?
Les nombres  $\dfrac {8621961} {47605467} $  et  $ \dfrac {673970} {3721272}$  sont-ils égaux ?
Les nombres  $\dfrac {716035} {413403} $  et  $ \dfrac {37220045} {21489003}$  sont-ils égaux ?

et là on en revient à ce fil : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337256/demonstrations-au-college-et-au-lycee

Dom

Un document trouvé sur Eduscol : 

On en avait parlé. 

Je trouve cela affligeant… disons que l’on pourrait écrire un paragraphe sérieux, rigoureux qui fait ressortir un fond « crédible ». 

Franchement l’expression « les instruments peuvent servir à valider une propriété », c’est assez horrible, non ?
https://eduscol.education.fr/document/17305/download

Cyrano

Pour être honnête, j'ai ouvert ce fil en espérant obtenir une certaine réponse qui est celle que les professeurs me semblent donner à leurs élèves en général : "Tu ne peux pas tester l'égalité de deux nombres à la calculatrice car même si les décimales affichées (en général aux alentours de $10$) sont les mêmes, rien ne te dit que les deux nombres ne diffèrent pas plus loin, par exemple à la 53ème décimale". C'est un peu en substance ce que @zeitnot a dit.

Or il me semble que cette réponse pose un problème. En effet, reprenez mon exemple et considérez le raisonnement basique suivant. Soit l'égalité $a\sqrt{b} = \sqrt{c}$ à tester. Si ces deux nombres étaient différents, on aurait $$|a\sqrt{b}-\sqrt{c}| = \frac{|a^2b-c|}{a\sqrt{b}+\sqrt{c}} \geq \frac{1}{a\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$$ Reprenons mon exemple où $a=3,b=5$ et $c=45.$ Si $3\sqrt{5}$ était différent de $\sqrt{45}$ on aurait $$|3\sqrt{5}-\sqrt{45}| \geq \frac{1}{3\sqrt{5}+\sqrt{45}} \geq \frac{1}{3\sqrt{9}+\sqrt{49}} = \frac{1}{9+7} =0.0625.$$ Ceci prouve que si $3\sqrt{5}$ et $\sqrt{45}$ étaient différents alors la différence se verrait avant la troisième décimale. Autrement dit, si les affichages sur la calculatrice sont les mêmes jusqu'à la deuxième décimale incluse alors les nombres sont identiques et coïncideront donc forcément sur toutes les décimales qui suivent. 

De même toutes les égalités entre "petits irrationnels" ou entre "petites fractions" peuvent être testées uniquement sur les premières décimales, affichables à la calculatrice. 

J'anticipe déjà deux objections que l'on pourrait me faire.

1) "Un élève n'est pas capable de produire ce raisonnement". Je suis d'accord.
2) "Si un tel élève était capable de produire ce raisonnement, il serait aussi capable d'écrire $\sqrt{45}=\sqrt{5\times 9} = 3\sqrt{5}$ et donc n'aurait pas besoin de ce découpage de cheveux en quatre". Je suis aussi d'accord.

Mon propos n'est pas celui-là. Mon but est de dire qu'en voulant dénoncer systématiquement l'usage de la calculatrice, on finit par affirmer des choses mathématiques inexactes. En l'occurrence ici, l'argument qui consiste à dire "mais les décimales pourraient différer bien plus loin que ce que la calculatrice affiche" est inopérant. D'ailleurs on voit que c'est une preuve mathématique qui permet de légitimer l'usage de la calculatrice. Ceci permettrait peut-être de redorer le blason des preuves en secondaire, i.e. se servir de la théorie mathématique (qui est ici de l'analyse numérique bas de plafond) afin de comprendre pourquoi il est raisonnable d'avoir confiance en ce qu'affirme la calculatrice.

JLapin

J'ai une troisième objection : rien ne prouve que la calculatrice renvoie correctement ne serait-ce que la seconde décimale de la valeur approchée sinon la confiance qu'on accorde au constructeur.

Mais dans ce cas, autant accorder la confiance à la personne qui pose l'énoncé : c'est moins fatiguant.

Soc

Selon Van Vogt, une égalité à 20 décimale près doit suffire à prouver l'égalité!

Foys

Comme dans ces contexte l'addition n'est même pas associative (un magnifique théorème d'analyse numérique), on peut construire des situations pathologiques où l'appareil renvoie $a<b$ quand en fait $a=b$.

Soc

@JLT: Généralement je note un Pythagore sur 2,5.

-1 si pas de justification
-0.5 si pas d'égalité littérale
-0.5 si pas le bon symbole (égalité ou arrondi)
-0.5 arrondi faux
-0.5 si unité fausse

Ici on tombe à un 0.5 plancher parce qu'il y a tout de même quelque chose!

Cyrano

@JLapin : Le problème avec cet argument c'est qu'on peut également s'en servir pour douter des vérificateurs de preuve automatiques dont on a récemment parlé sur le forum. On peut aussi s'en servir pour douter des démonstrations de mathématiques faites par des professionnels. Après tout peut-être y a-t-il des étourderies qui sont passées à travers les mailles du filet, i.e. 100% des lecteurs ne la voient pas. C'est infiniment rare mais possible. Autrement dit, cet argument poussé jusqu'au bout de sa logique conduit à un scepticisme intégral et donc à l'impossibilité de dialoguer autour des mathématiques. 

Soc

La seule chose que je sais...

Soc

@Cyrano: Pour en revenir à la technicité de ta question, l'argument est rigolo, mais l'ensemble des élèves capables de produire ou même comprendre ce raisonnement est inclus dans l'ensemble des élèves capables de trancher la question très rapidement.

JLapin

Le problème avec cet argument c'est qu'on peut également s'en servir pour douter des vérificateurs de preuve automatiques

Fort heureusement, la preuve que tu attends d'un élève pour lui mettre tous les points ne nécessite qu'une élévation au carré. Est-ce si compliqué que d'expliquer à un élève que pour avoir les points à une question, il ne suffit pas d'écrire sur sa copie qu'on croit très fort que l'énoncé est correct ?

Mais sinon, si on sort du contexte de l'examen, je conseille volontiers à tout étudiant en mathématique de faire autant de simulation numérique que possible pour se faire une idée de tel ou tel résultat lorsqu'il cherche un devoir libre un peu difficile.

Ludwig

De même toutes les égalités entre "petits irrationnels" ou entre "petites fractions" peuvent être testées uniquement sur les premières décimales, affichables à la calculatrice.

Ce n'est pas la petitesse des nombres qui garantit la validité du test de leur égalité avec une calculatrice, mais la faible complexité du calcul demandé. Une racine carrée c'est facile à calculer, l'algorithme produit d'excellents résultats. Mais la fonction tangente au voisinage de $\pi/2$ pas du tout. Par exemple, pour la casio fx-92, $\tan{(355/226)}=\frac{1}{\pi/2-355/226}$, ce qui est faux (ces deux nombres sont certes assez grands, mais il suffit de les diviser par $1\,000\,000$ pour afficher moins de $10$ en valeur absolue). Et la TI-36X Pro affiche une valeur différente pour la tangente, mais elle aussi dit que ces deux nombres sont égaux... Tandis que la Numworks affirme que ces deux nombres sont très différents (alors qu'en réalité ils diffèrent de moins d'un millionième).

JLT

Si on demande de montrer que $\sqrt[3]{3+\frac{11}{9}\sqrt{6}}+\sqrt[3]{3-\frac{11}{9}\sqrt{6}}=2$ et que l'élève dit qu'il a tapé sur sa calculatrice et a trouvé $2$ ?

Dom

On peut distinguer deux groupes d’élèves pour commencer : ceux qui savent « comparer $1$ et $1+2^{-50}$ », et les autres. 

JLapin

@JLT

Idem, si c'est une réponse à un devoir écrit, ça a pour moi la même valeur que "l'énoncé le dit donc c'est vrai".

Foys

Cyrano a dit :

@JLapin : Le problème avec cet argument c'est qu'on peut également s'en servir pour douter des vérificateurs de preuve automatiques dont on a récemment parlé sur le forum. On peut aussi s'en servir pour douter des démonstrations de mathématiques faites par des professionnels. Après tout peut-être y a-t-il des étourderies qui sont passées à travers les mailles du filet, i.e. 100% des lecteurs ne la voient pas. C'est infiniment rare mais possible. Autrement dit, cet argument poussé jusqu'au bout de sa logique conduit à un scepticisme intégral et donc à l'impossibilité de dialoguer autour des mathématiques. 

Il n'y a rien qui interdit de douter des vérificateurs de preuves. Voir par exemple ce bug: https://mathoverflow.net/questions/75604/why-should-i-trust-coq-when-assumption-free-proof-of-false-in-coq-exists et https://github.com/coq/coq/issues/2580

Par contre il importe de faire la distinction entre ceci et un problème spécifique et insoluble d'analyse numérique.

Les preuves de maths sont par nature des fichiers informatiques (suites finies de caractères assujetties à être reconnues en temps fini par un programme). Si ce programme est suffisamment simple (mais en pratique il ne le sera pas afin d'assurer un certain confort à l'utilisateur et les bugs viendront de là).

$C$ désigne un type de chaînes de caractères.
Soient $d_1, \dots, d_r$ des entiers $\geq 1$
Soit pour tout $i\leq r$ une fonction (programmable) $I_i$ de $C^{1+d_i}$ dans $\{0,1\}$.
Soit $A:C \to \{0,1\}$ une fonction (programmable).

Une preuve est une suite $(1,a_1, b_1), \dots, (n, a_n, b_n)$  où pour tout $i$, $b_i = (0, NULL)$ et $A(a_i) = 1$ ou bien $b_i = k, (j_1, \dots, j_{d_k})$ avec pour tout $e<i$, $j_e < i$ et $I_k(a_i, a_{j_1}, \dots, a_{j_k}) = 1$.

Autrement dit une preuve est une liste de chaînes de caractères telle que chaque terme de la suite est un axiome ($A(\_) = 1 $) ou bien est obtenu grâce à d'autres chaînes de caractères présentes en amont dans la liste et une règle d'inférence $(I_{...} (\_ ) = 1)$ .

Signalons tout de même que les $I_i$ envisagées sont souvent des vérificateurs syntaxique extrêmement simples (par exemple on peut avoir $d_1 = 2$ et pour toutes chaînes de caractères $a,b,c$, $I_1(a,b,c) = 1$ si les chaînes de caractères $c$ et $b \Rightarrow a$ sont identiques et $0$ sinon).

Le fait éventuel que des suites de caractères comme $3 = 2$ où $\forall x,\ x = \emptyset$ puissent apparaître dans la conclusion d'une preuve telle que définie en gras ci-dessus ne remet pas en cause cette définition (mais force à réexaminer les choix spécifiques de $I_1,\dots,I_r$ et $A$ employés).

Par contre les nombres réels ne sont pas du tout des fichiers informatiques. Il n'y a aucun type de données qui puisse les représenter fidèlement.

Les machines et ordinateurs font du calcul exact sur des types de données qui ne sont pas des nombres réels (mais des flottants ou d'autres structures finitistes) et qu'on choisit d'assimiler abusivement à ces derniers sur la base de compromis.

Contrairement à la vérificateur de preuves, la pratique de l'analyse numérique par ordinateur ou calculatrice, par sa nature même,  renvoie donc toujours, et ce en l'absence totale de bugs, des résultats pouvant être faux dès qu'on les interprète comme des relations entre nombre réels.

samok

Bonjour Cyrano,
je ne reste pas dans le cadre des racines carrées mais reste dans le questionnement de la limitation des calculatrices.

Rescassol

bonsoir,

Faux par parité.

Cordialement,
Rescassol

Dom

Quand on effectue la soustraction à la calculatrice (CASIO fx-92 collège), ça donne : $6.3^{\times 10^{29}}$. 

L’affichage de chaque membre, quant à lui, est identique.
Enfin, un raisonnement de 6e sur le chiffre des unités (qui tient aussi dans la marge) permet d’infirmer. 

Remarque : ne serait-ce que $2^{56}=7.205759404^{\times 10^{16}}$ est déjà problématique quand on fait réaliser qu’il s’agit d’un nombre de la table de $10$…

Heuristique

Cela contredirait également le grand théorème de Fermat (moins élémentaire que l'argument de parité).

samok

NP = P
avec Morley circonscrit ? avec argument de parité ? avec la calculette de Dom ?
bisous Rescassol

Math Coss

La relation de Simpson est évidemment fausse mais c'est une très bonne solution approchée :

sage: 1922^12-(1782^12+1841^12)
700212234530608691501223040959
sage: _.n()
7.00212234530609e29
sage: (1922^12).n()
2.54121025931480e39

Il y a donc dix ordres de grandeurs entre les deux membres et leur différence. Autrement dit,\[\frac{1782^{12}+1841^{12}}{1922^{12}}-1\] vaut moins de $3\cdot10^{-10}$.

gai requin

Pour la question de @JLT, on peut montrer que $\sqrt[3]{3+\frac{11}{9}\sqrt{6}}+\sqrt[3]{3-\frac{11}{9}\sqrt{6}}$ est racine de $X^3-X-6$ qui n'a qu'une seule racine réelle.
Certainement un lien avec les formules de Cardan.

Dom

Justement. Comment s’y prendre non comme un manche ?

gai requin

@Dom : à qui t'adresses-tu ?

Dom

Ha pardon gai requin, pour l’exercice de JLT, à la main, comment le résoudre sans remplir des pages de calculs ?

gai requin

$(x+y)^3-3xy(x+y)-(x^3+y^3)=0$

Dom

Merci ! En effet il fallait que je pousse un peu plus, et en laissant des $x$ et des $y$ pour plus de commodité. 

Georges Abitbol

l'élève n'a pas conscience que le résultat affiché est un arrondi

Oui. J'ai rencontré une personne qui était élève en terminale ES, spécialité maths. La réponse à un exercice était une fraction, l'énoncé attendait une "valeur exacte". Elle trouve la bonne fraction, puis fait la division dans sa calculette, écrit le résultat sur son devoir maison. Je lui fais remarquer que l'énoncé attendant une valeur exacte. Elle me dit : "ah, tu veux une valeur exacte ?" et appuie sur la touche "Frac".

@Cyrano : D'ailleurs, ton argument doit s'adapter à la géométrie. A supposer qu'il y ait une mesure de la "complexité" d'une configuration géométrique, il pourrait y avoir un théorème du style : pour toute complexité, il existe un $\epsilon>0$ tel que pour toute configuration géométrique, si un concours de droites ou de cercles est vérifié expérimentalement à précision $\epsilon$, alors il est vrai.

En tout cas, pour ne pas dire de bêtise, il suffit de dire : "il existe des situations où la calculatrice se trompe, il ne faut donc pas lui faire confiance".

@Foys : Tu peux énoncer le théorème ? Est-ce que c'est un truc du style, pour tout $n$ on définit $A_n$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{D}$ qui envoie tout $x$ sur le décimal dont le développement coïncide avec celui de $x$ jusqu'au $n$-ème chiffre significatif ; alors il n'existe pas de loi de composition associative $+_n$ sur $\mathbb{D}$ telle que $A_n$ soit un morphisme de $+$ vers $+_n$ ?

Barjovrille

Bonjour, @Foys pareil je suis intéressé par le théorème d'analyse numérique dont tu parles. Tu pourrais aussi donner un/des noms ou références?

Foys

@Georges Abitbol et @Barjovrille ces phénomènes gênants sont énoncés sous cette forme provocatrice dans le livre "Analyse numérique et équations différentielles" du regretté Jean-Pierre Demailly.

Rien n'est vraiment mystérieux ici: le matériel physique où sont stockées les données destinées à représenter vos "nombres réels" étant de facto fini, la représentation ne pourra jamais être fidèle.

troisqua

Dom a dit :

On peut distinguer deux groupes d’élèves pour commencer : ceux qui savent « comparer $1$ et $1+2^{-50}$ », et les autres. 

Il y a 10 types d'élèves : ceux qui comprennent la numération en base 2 et les autres.

gai requin

Recasé dans l'informatique @troisqua ?

troisqua

Accessoirement Ce matin c'était une aide pour un DM d'une élève de PCSI de Louis Le Grand et cet après midi du machine learning pour une élève de l'INSA. Je voyage...

troisqua

@Cyrano : et si on répond à l'élève qu'on ne peut vraiment pas faire confiance à une calculatrice qui se contredit à ce point :

Cyrano

@troisqua : Je ne vois pas le problème avec cet affichage. $0.6666666667$ est un arrondi vers le haut de $2/3$ donc la différence est un nombre négatif très petit. Tout ça me semble cohérent.

biely

@troisqua
L’élève répondra que c’est normal puisque dans le premier cas je compte 9 six et le second cas seulement 8.
P.S. Flûte, j'écrivais pendant la modification du message...

troisqua

@Cyrano et @biely : Désolé j'ai édité pour contrer les réponses que je pressentais.

Et Cyrano, même avant ma modification le résultat de la calculatrice était incohérent puisqu'elle affiche d'abord que 2/3=0,6666666667 puis que 2/3-0.6666666667 n'est pas 0. Comment un élève expliquerait cette incohérence selon toi ?

Cyrano

@troisqua : Parce qu'on lui aura appris à utiliser le symbole $\approx$ à la place du $=$ ?

Mon propos dans ce topic a été de dire que, parfois, certaines égalités approximatives (donc à base de $\approx$) permettent de déduire une égalité réelle. 

troisqua

D'abord que veux-tu dire par "on lui aura appris à utiliser le symbole "environ" à la place du "=" ? Quelle serait cette leçon ?
Ensuite, que peut-on déduire de l'égalité approximative (sic!!!) ci après ?

J'avoue ne pas comprendre où tu en veux en venir (surtout quand tu parles, je cite, "d'égalité approximative").

Dom

Cette calculatrice a l’avantage de fournir parfois le symbole « environ » quand j’ai eu à l’utiliser. 

Mais je ne la connais pas assez. 

Barjovrille

Merci pour la référence @Foys .