Inégalité triangulaire vectorielle

Ch4rstz

Pour les fonctions d'un espace mesuré dans $\mathbb{K}^n$ (avec $\mathbb{K}$ désignant l'ensemble des réels ou des complexes) intégrables, est-ce que pour toute norme $N$ sur $\mathbb{K}^n$, on a l'inégalité triangulaire classique de l'intégrale de Lebesgue qu'on a avec la valeur absolue ou le module. Par exemple, avec la norme 1 c'est direct mais avec d'autres normes comme la norme infinie je ne sais pas comment procéder et je n'ai pas de contre-exemples.
Merci pour vos réponses.

raoul.S

Oui c'est vrai pour n'importe quelle norme. Voici une preuve qui a l'avantage de se généraliser à des espaces vectoriels topologiques (avec une définition de l'intégrale adéquate et la condition supplémentaire que la norme soit continue) : 

On utilise le lemme suivant : pour toute norme $N$ et tout $v\in \mathbb{K}^n$, $N(v)=\sup\limits_{|\xi|\leq N} |\xi(v)|$ où le sup est pris sur les formes linéaires $\xi$ vérifiant $|\xi|\leq N$ c'est-à-dire $\forall w\in \mathbb{K}^n, |\xi(w)|\leq N(w)$.

À partir de là on a pour toute fonction $f:X\to \mathbb{K}^n$ intégrable où $X$ est un espace mesuré, $\displaystyle N\left(\int f dm\right)=\sup\limits_{|\xi|\leq N}|\xi\left(\int f dm\right)|=\sup\limits_{|\xi|\leq N}|\int \xi\circ f dm|\leq \sup\limits_{|\xi|\leq N}\int |\xi\circ f| dm\leq \int \sup\limits_{|\xi|\leq N}|\xi(f(x))| dm=\int N\left(f(x)\right) dm$

Ch4rstz

Merci pour ta réponse !