Un petit exercice de probabilité

gebrane

Bonjour à tous et à toutes
Peut-on résoudre ce problème avec un programme car je n'arrive pas à le résoudre analytiquement.

Dans une boîte se trouvent au total N gants, comprenant  des gants noirs et des gants blancs. On considère une paire de gants complète comme étant une paire de gants de la même couleur, avec l'un pour la main droite et l'autre pour la main gauche.
On suppose les  hypothèses suivantes :
1. N≤200
2. Il y a au moins une paire complète de chaque couleur.
3. Il y a plus de gants blancs que de gants noirs.
4. Les gants sont présentés dans la boite en paires.

Un gant est volé de la boîte.
On choisit deux gants au hasard dans la boîte et dans l'obscurité, la probabilité d'obtenir une paire correcte est de 2/5.
Combien y a-t-il de paires de gants blancs et de paires de gants noirs initialement dans la boîte ? Quelle est la couleur du gant perdu ?

lourrran

Oui, on peut le faire. Tu as évoqué ce truc dans une discussion récente, et je l'ai fait.
Et il y a effectivement une et une seule solution, ce qui 'était pas évident a priori.
Solution dans la soirée si tu es toujours demandeur.

gebrane

Oui je le demande

zeitnot

Je sais que ce n'est pas la question, mais deux paires de blancs et une paire de noirs avec un noir volé fonctionne si je compte bien.

gebrane

Pour préciser ,  je bloque analytiquement sur la résolution d'une équation.

JLapin

4. Les gants sont présentés dans la boite en paires.

Que signifie cette hypothèse ?

gebrane

Jlapin cela veut dire , il y a autant de gants droit que de gauche.

J'explique l'équation affreuse   Soient \( b \) le nombre de gants gauches blancs, qui est également le nombre de gants droits blancs, et \( n \) le nombre de gants gauches noirs, qui est également le nombre de gants droits noirs.

Un gant est volé, ce qui donne lieu à quatre cas possibles.

Supposons que le gant volé soit le gant droit blanc (ou le gant gauche blanc), la probabilité d'obtenir une paire correcte est donnée par :
\$$\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}} = \frac{b(b-1) + n^2}{\frac{(2b+2n-1)(2b+2n-2)}{2}}$$
On tombe sur l'équation : $$\frac{b(b-1) + n^2}{\frac{(2b+2n-1)(2b+2n-2)}{2}} = \frac{2}{5}$$
Qui donne après, une équation diophantienne ardue

gebrane

Avec Wolfram en tâtonnant, j'avais trouvé une solution, mais ce n'est pas brillant comme démarche 

lourrran

Avec un programme en  Python ou autre, ça ne pose pas de difficultés. Je crois que tu t'intéresses à la programmation à l'occasion, c'est un exercice pour étudiant débutant.
On boucle pour n allant de 0 à 100
   On boucle pour b allant de 0 à n
        On calcule la fraction que tu proposes, et si le résultat donne 2/5, on affiche le résultat.
        Et idem, mais en testant si on retire un gant noir.

La seule difficulté, tu l'as résolue, c'est de trouver quelle est la fraction qui doit être égale à 2/5.

Dans les faits, plutôt que tester si x/y donne 2/5, je teste si 5x est égal à 2y. Vieux réflexe de vieux programmeur. Ainsi, je travaille avec des nombres entiers et pas des nombres réels, je n'ai pas à me demander si x/y, ça donne l'entier le plus proche de x/y, ou le réel x/y, je n'ai pas non plus à m'inquiéter de la gestion des nombres réels qui est toujours un petit peu délicate, même si ici, quel que soit le langage, ça devrait fonctionner sans problème.

Pourquoi se priver de l'outil informatique, si c'est pour tâtonner. Si en plus, on tâtonne avec Wolfram !

Chaurien

Je n'ai pas suivi tout le film, mais l'équation finale est : $5(b(b-1)+n^2)=(2b+2n-1)(2b+2n-2)$. Si l'on considère $(b,n)$ comme les coordonnées d'un point du plan, c'est l'équation d'une conique, dont il faut trouver les points entiers. On réduit cette équation selon le protocole habituel, façon forme quadratique, qui n'utilise que la forme canonique du trinôme. Si j'ai bien calculé avec mon stylo, on trouve une hyperbole, trois fois hélas !, avec une équation de Fermat-« Pell » généralisée $ax^2-by^2+c=0$, et bien du souci...

gebrane

Lourrran, j'ai fait un code mais il tourne  sans fin
On est le soir, puis-je voir ta solution promise ?

lourrran

Je viens de traduire mon code en Python.
En fait, il y a une 2ème solution, en plus de celle donnée par Zeitnot.

for nb in range(1,100):
    nmax = 100-nb
    for nn in range(nb+1, nmax+1):
        nbd = nb 
        nbg = nb-1
        nnd = nn
        nng = nn 
        if ( nbd * nbg + nnd*nng) *5 == ((nb+nn)*2-1 )*((nb+nn)*2-2 ) :
            print( nbd, nbg, nnd, nng )
        
        nbd = nb 
        nbg = nb
        nnd = nn
        nng = nn-1 
        if ( nbd * nbg + nnd*nng) *5 == ((nb+nn)*2-1 )*((nb+nn)*2-2 ) :
            print( nbd, nbg, nnd, nng )
print ("Ok")         

Pour expliquer les notations : nn = nombre de paires de chaussures noires (idem pour nb)
Puis nng nombre de chaussures noires et gauches, et idem pour nnd, nbg et nbd.
Je pars du principe que la chaussure perdue une chaussure gauche.

Si tu as des boucles infinies, c'est peut-être que tu as voulu être trop radin. Ici, j'ai une variable nn, et une autre nng. Je peux certainement me passer de nnd (ça c'est sur), mais aussi de nng... Mais pas envie de trop réfléchir, et je suis sûr que mon programme va s'arrêter à la fin.

gebrane

Bonsoir Lourrran, la solution de Zeitnot ne semble pas convenir d'après wolfram  

Où est l'erreur dans ton code ?

NB : Ton code semble inverser les résultats ; en fait, le nombre de gants blancs devrait être supérieur à celui des gants noirs.
NB Au début tu m'avais dit que le problème admet une solution unique et maintenant tu trouves 2, peux- tu me fournir ton code initial qui donne une seule solution  

gebrane

Re Lourrran Je te donne mon code que j'ai corrigé, je trouve deux solutions, exécute le pour les savoirs for b in range(2, 200):

    for n in range(2, 200):
        if b > n and n+b<= 200 and (b * (b - 1) + n * n) * 5 == ((b + n) * 2 - 1) * ((b + n) * 2 - 2):
            print("Le gant volé est blanc. Le nombre initial de boules blanches dans la boîte est", b, "et le nombre initial de boules noires dans la boîte est", n)

    for n in range(4, 200):   # J'ai corrigé mon code foiré en utilisation une boucle distincte pour la deuxième condition et attention si n commence de 2, il restera dans la boite qu'une noire et on ne peut pas tirer deux noires, c'est la faute de Zeitnot qui trouve la solution b=4 et n=2 avec vol d'une noir
        if b > n and n+b<= 200  and (n * (n - 1) + b * b) * 5 == ((b + n) * 2 - 1) * ((b + n) * 2 - 2):
            print("Le gant volé est noir. Le nombre initial de boules blanches dans la boîte est", b, "et le nombre initial de boules noires dans la boîte est", n)

zeitnot

@gebrane je pense que ma solution fonctionne, ça se fait de tête. Deux paires de gants blancs, une paire de gants noirs, cela fait 6 gants. On vole un noir, il reste 5 gants.

Nombre de façons de prendre 2 gants parmi 5, ça doit faire 10. Nombre de façons de faire une paire correcte, avec les noirs c'est cuit, il y en a qu'un, avec les blancs, il reste deux gauches, deux droits, je dois pouvoir en faire 4. Ça donne bien 4/10 ou 2/5.

zeitnot

gebrane a dit :

Bonsoir Lourrran, la solution de Zeitnot ne semble pas convenir d'après wolfram 

@gebrane tu commets deux erreurs.

 Première erreur, si j'ai deux paires de blancs et une paire de noirs, ça donne $b=2$ et non pas $b=4$, $b$ n'est pas le nombre total de gants blancs dans ton code, mais le nombre de paires de blancs, donc $b=2$. De même ça donne $n=1$ et non pas $n=2$, ton $n$ désigne le nombre de paires de noirs, pas le nombre de noirs dans ton code et j'ai une seule paire. Je respecte bien le fait d'avoir moins de noirs que de blancs.

Deuxième erreur, moi j'ai dit qu'on volait un noir, dans ton code tu voles un blanc. Donc deux, choix, soit tu modifies ton numérateur $b(b-1)+n^2$ par $b^2+n(n-1)$, soit tu inverses $b$ et $n$ dans ton codes, les noirs deviennent les blancs et inversement, si tu ne veux pas t'embêter à modifier.
Et ça fonctionne
soit tu le vois comme ça :

https://www.wolframalpha.com/input?i=find+\frac{b^2+++n(n-1)}{\frac{(2b+2n-1)(2b+2n-2)}{2}}+if+b=2++,+n=+1
ou comme ça :
https://www.wolframalpha.com/input?i=find+\frac{b(b-1)+++n^2}{\frac{(2b+2n-1)(2b+2n-2)}{2}}+if+b=1++,+n=+2

GG

@gebrane, tu m'as fait passer beaucoup de temps sur ton problème énoncé dans l'autre fil !

Je ne suis pas d'accord. Ton énoncé est très ambigu. Sur l'autre fil, tu as dis que le gant avait été perdu. J'avais supposé donc que personne ne connaissait sa couleur. Ici, tu dis qu'il a été volé. On peut donc supposer que le voleur connaît sa couleur. Qui évalue la probabilité ? Si c'et le voleur, comme tu sembles le supposer, ce que tu calcules, c'est la probabilité (je note blanc l'événement "le gant volé est blanc, noir "le gant volé est noir", et paire, l'événement "on a tiré une paire complète"), :

$p(paire \mid blanc) = \Large \frac {b(b-1) + n^2} {(2b + 2n - 1)(b + n -1)} = \frac 2 5$

soit l'équation $b^2 + n^2 - 8bn + b + 6n - 2 = 0$

D'où la solution $b = 1$ et $n = 2$. (Si le gant volé est noir, il faut permuter $b$ et $n$ pour avoir $b  > n$ et c'est la probabilté $p(paire \mid noir)$ qui vaut $\frac 2 5 $  ).

(message corrigé)

Maintenant, si celui qui évalue la probabilité est un observateur extérieur qui ne connaît pas la couleur du gant (ce qui est à coup sûr le cas de l'énoncé de l'autre fil) et qu l'on suppose que le gant volé (perdu) l'a été au hasard, ce qu'il faut calculer, et c'est ce que j'ai fait, c'est

$p(paire) = p(blanc) p(paire \mid blanc) + p(noir) p(paire \mid noir) = \large \frac 2 5$, soit

$\Large \frac {b} {b + n} \frac {(b - 1)b + n^2} {(2b + 2n - 1)(b + n -1)} + \frac {n} {b + n} \frac {(n - 1)n + b^2} {(2b + 2n - 1)(b + n -1)} = \frac 2 5$,

soit la magnifique équation diophantienne ... que je ne sais pas résoudre !

$b^3 + n^3 + b^2 + n^2 + 12bn = 7b^2n + 7bn^2 + 2b + 2n$

Mais comme je suis du genre besogneux, j'ai quand même écrit

$(b + n)(b^2 - bn + n^2) + (b + n)^2 + 10 bn = 7bn(b + n) + 2(b +n)$

ou encore $10bn = (b + n)(7bn + 2 - b^2 + bn - n^2 - b - n)$

$10bn =(b + n)[10bn - (b + n)(b + n + 1) + 2]$

Cela donne un critère intéressant d'élimination de possibilités : les diviseurs premiers de $b + n$ sont parmi $2, 5$, et les diviseurs de $b$ et ceux de $n$. Par exemple, pour $b = 10$, on voit rapidement en passant en revue de tête les $n < 10$ que $10 + n$ ne divise jamais $2.5.2.5.n$ et que pour $n = 40$, seuls $n = 10, $ $ 24$ sont tels que $40 + n$ divise $2.5.2.2.2.5.n$

En environ une heure, j'ai passé en revue tous les $b$ de $2$ à $50$ et trouvé seulement une soixantaine de $n$ candidats au lieu des plus de mille deux cents couples $(b, n)$ possibles ! Malheureusement, aucun ne vérifiait l'équation ! J'ai d'ailleurs pu faire des fautes de calcul. À noter qu'il n'y a, me semble-t-il, aucun moyen de savoir dans cette interprétation si le gant perdu était blanc ou noir.

Pour ne pas avoir le sentiment désagréable d'avoir complètement perdu mon temps, je serais heureux qu'un homme-machine transhumaniste me donne une solution de mon équation diophantienne !

gebrane

Bonjour @GG
Content de te revoir sur le forum ! Je n'avais pas l'intention de te faire perdre ton temps La version dans l'autre fil est la version originale, mais une personne en message privé m'a demandé de rendre l'énoncé plus clair. J'ai donc donné ce deuxième énoncé.

Après avoir lu ton message, je trouve très intéressant de considérer les deux situations que tu as bien décrites.

La résolution analytique dans les deux interprétations est laissée à un spécialiste en équations diophantiennes de ce forum.

Bonjour Zeitnot
j'ai partagé (En corrigeant la faille) mon code qui  tournait sans fin   , Il contenait des erreurs de conception C'est certain ! . Tu suggères comme solution une paire de blancs et une paire de noirs avec un gant noir volé. Pour moi, la probabilité de tirer une paire parfaite dans cette situation est... $$\frac {C^2_4}{C^2_5}=\frac 35$$

```

zeitnot

@gebrane, bien non ${C^2_4}$ n'est pas bon, il faut faire une paire correcte ! Avec ton ${C^2_4}$ tu obtiens toutes les façons de prendre deux gants blancs parmi 4, mais tu peux avoir deux gauches ou deux droits, ça fonctionne pas.

Soit ${C^2_4}$ et tu vires les deux paires droit/droit, gauche/gauche et cela fera 4, et au final $4/10=2/5$ pour la probabilité.

Ou  bien c'est du ${C^1_2}$${C^1_2}=4$ deux façons de prendre un blanc gauche, multiplié par deux façons de prendre un blanc droit pour faire une paire correcte ce que demande ton énoncé. Soit 4 possibilités.

Tu vois la différence avec ton  ${C^2_4}$ qui ne convient pas ? 

En plus en utilisant ton propre script mais en l'appliquant correctement, en évitant la confusion nombre de blancs et nombre de pairs, on obtient bien 2/5, voir les messages au dessus, ça devrait te convaincre j'espère.

gebrane

Ay, faute grave de gebrane. Je n'ai plus la face de venir encore une fois sur ce forum 

lourrran

@Gebrane, 
Ton code est compliqué, il n'y a aucune raison de faire 2 boucles sur n. Surtout 2 boucles avec des points de départ différents.

Exercice 
On a une boite avec N/2 paires de gants, avec N <= 200 ; il y a plus de gants blancs que de gants noirs, et il y a au moins 1 paire de chaque couleur.
Question 1
Si on note nb le nombre de paires de gants blancs et nn le nombre de paires de gants noires , afficher toutes les valeurs possibles pour le couple (nb, nn)

Réponse : 

for nb in range(1,101):
    for nn in range(1,nb):
         print (nb,nn)

Même si la question 1 n'est pas explicitement demandée dans ton problème, le programmeur avance étape par étape. Le programmeur va donc passer par cette première question, il va écrire les 3 lignes de codes que je viens d'écrire, et il va vérifier si ceci est correct.
Puis il va garder les 2 boucles en question, ce sera le squelette du programme demandé. Il va juste remplacer la ligne print() par autre chose.

Si tu essaies d'écrire le programme final en un seul jet, sans écrire d'abord le squelette, et tester le squelette, tu ne peux pas t'en sortir.
Ici, on a le squelette, et il n'y a aucune raison de modifier ce squelette.

Eventuellement, on a un squelette un peu différent :

for nn in range ( 1, 101):
    for nb in range ( nn+1, 101):
          print(nb, nn)

Autres commentaires sur ton code.
- Tu ne mets aucun commentaire, tu nous laisses deviner le rôle de n et b. Est-ce que b est un nombre de gants blancs ou un nombre de paires de gants blancs. Je pense que c'est un nombre de paires de gants blancs. Je pense même que dans ta tête, b représente à certains moments le nombres de paires de gants blancs, et à d'autres moments, le nombre de gants blancs. Mettre des commentaires (ou 3 lignes d'explication comme j'avais fait), c'est obligatoire.
- Dans ce cas, comme la limite maximum est de 200 gants, et donc 100 paires, tes boucles devraient aller jusqu'à 100, et non 200.  Et en fait 101 et non 100, parce que dans range(1,100), on liste tous les nombres de 1 à 99 seulement.
- Dans la boucle sur n, tu parcours à nouveau le range (2,200), et tu mets à la poubelle immédiatement la moitié des valeurs ( par les filtres if b > n and n+b<= 200)
En terme de performance, c'est un vaste gâchis.

GG

@gebrane,

je pense que le mieux serait d'éviter toute ambiguïté en disant simplement explicitement : connaissant la couleur du gant volé/perdu et sachant que la probabilité de tirer une paire est alors de $\frac 2 5$, trouver $b$, $n$, et la couleur du gant.

@lourran,

a) Avec ton ordi, pourrais-tu stp vérifier que pour des valeurs raisonnablement petites, $(b, n) = (2, 1)$ est l'unique solution de l'équation $b^2 + n^2 - 8bn + n + 6b - 2 = 0$ ?

b) L'équation $b^3 + n^3 + b^2 + n^2 + 12bn = 7b^2n + 7bn^2 + 2b + 2n$ a-t-elle des petites solutions ?

Merci d'avance.

lourrran

@GG
Tu peux le faire toi-même.
1) Tu vas sur ce site :  https://www.onlinegdb.com/online_python_interpreter

Tu tapes ceci ( ou tu le copies ) 

for n in range(0,20):

    for b in range(0,20):

         if b*b+ n*n - 8*b*n + n+6*b - 2 == 0:

             print("nouvelle solution ", b, n)

Puis tu cliques sur le bouton vert 'Run'.
Tu vas voir 3 solutions s'afficher.

Quelques explications : 
 

Pour n allant de 0 inclus à 20 exclu 
    Pour b allant de 0 inclus à 20 exclu   
          si ce calcul donne 0 
              alors afficher les valeurs de n et b.

Attention... quand on copie du texte de ce site lesMathematiques.net vers le site que j'ai donné, certains caractères peuvent être déformés. Le symbole -  peut être déformé... 
Il doit apparaître en couleur orange dans le site Python. Donc éventuellement, il faut retaper le mini programme, et pas simplement le copier.

GG

C'était un petit service que je te demandais. Il se trouve que je suis (devenu) allergique à l'informatique. Et je pensais que ça t'intéresserait  aussi de connaître ces solutions puisque après tout, tu es intervenu sur ce fil. Tant pis. Merci quand même.

lourrran

Cette question a un rapport avec le sujet posté par Gebrane ? Soit, si tu le dis. Les sujets postés par Gebrane sont souvent remplis de farces diverses, donc je trouvais normal d'avoir un truc totalement hors sujet.

Le programme en question affiche les 3 couples $(0,1)$, $(2,1)$ et $(2,14)$.
Et pour la 2ème équation, sur le même ensemble $[0,19]\times[0,19]$, les seules solutions entières sont $(0,0),(0,1)$ et $(1,0)$

gebrane

Bonjour Lourrran,

Pourquoi poses-tu cette question : "Cette question a-t-elle un rapport avec le sujet posté par Gebrane ? Soit, si tu le dis" ? Les deux équations de GG sont en plein sujet selon l' interprétation.

Vois-tu une farce dans ce fil ? J'ai partagé une énigme que je ne savais ni résoudre analytiquement ni numériquement, et si le concepteur n'a pas pris le soin de bien la formuler, ce n'est pas de ma faute.

Sur un point, je te remercie : tu interviens souvent dans mes fils et cela donne un élan vers une résolution de ma question.

GG

@lourran,
gebrane a posé un problème de maths. Ce n'est pas une farce, même s'il n'est pas correctement posé. Il y a deux interprétations possibles et je ne vois pas pourquoi l'une des deux serait à négliger. Dans celle de gebrane, c'est intéressant de voir qu'il y a deux solutions, l'une où le gant volé est noir, l'autre où il est blanc, non ?! Quant à la mienne, il n'y a pas de solution, du moins jusqu'à $b,\ n = 19$ (ce que je crois avoir démontré, et même jusqu'à $50$ ), alors qu'il est question d'une limite à $200$ gants. Mais comme le temps de calcul de ton processeur a l'air aussi précieux que le tien, on peut en rester là. Merci.

lourrran

@GG
J'ai posté un programme, où très clairement, je m'arrêtais à n<20 et b<20.
Je te proposais de lancer ce programme toi-même, j'estimais que c'était pédagogique comme méthode.
Tu m'as dit que tu ne voulais pas lancer ce programme toi-même, et que ce serait bien que je le lance.
Tu ne m'as pas dit que la limite à 20 était insuffisante.
J'ai lancé le programme en question et j'ai donné les résultats.
Et tu viens me reprocher de ne pas vouloir te rendre service ?  

Gebrane n'est pas allergique à l'informatique ; il va prendre le relais.

gebrane

Bonjour @GG
Dans ta formule :
$$ \frac {b} {b + n} \frac {(b - 1)b + n^2} {(2b + 2n - 1)(b + n -1)} + \frac {n} {b + n} \frac {(n - 1)n + b^2} {(2b + 2n - 1)(b + n -1)} = \frac 2 5$$
n'est ce pas plutôt:
$$ \frac {b} {b + n} \frac {(b - 1)b + n^2} {(2b + 2n - 1)(2b + 2n -2)} + \frac {n} {b + n} \frac {(n - 1)n + b^2} {(2b + 2n - 1)(2b + 2n -2)} = \frac 2 5$$

GG

@gebrane, non, il y a eu une simplification par $2$. Nombre de couples favorables (un gant blanc en moins) : $2(b - 1)b + 2n^2$, nombre de couples possibles : $(2b + 2n - 1)(2b + 2n - 2)$.

gebrane

Ok, c'est une étourderie de ma part 

Est-ce que tu es d'accord qu'on peut simplifier l'énoncé de la façon suivante :

Une boîte contient b paires de gants blancs et n paires de gants noirs. On prélève au hasard 3 gants de la boîte sans remise (c'est-à-dire qu'on assimile la perte ou le vol par un premier tirage).

Sachant que la probabilité d'avoir une paire complète lors des deux derniers tirages est de 2/5, chercher la contenance de la boîte.
Un point mystérieux c'est que le programme donne uniquement les solutions ci dessous  même pour $b+n\leq 20000$

1 0
10 3
18 4
30 6
Est ce quelqu'un a une explication ?

GG

C'est $ -7bn^2$ !

gebrane

Il y a une faute dans l'encodage de l'équation, le code est plutôt pour $b+n\leq 200$

for n in range(1, 200):
    for b in range(1, 200):
        
        if b**3 + n**3 + b**2 + n**2 + 12*b*n == 7*b**2*n + 7*b*n**2 + 2*b + 2*n:
            print(b, n)

Le programme ne rend aucune solution contrairement aux résultats de Lourrran, je ne vois pas ma faute.

gebrane

Oui je viens de le remarquer @GG ( On a posté au même moment)

gebrane

gebrane

en commençant par 0, je trouve les trois solutions de Lourrran
Je conjecture que ce problème a la seule solution (1,0) avec les condition b>n 
Comment le prouver je ne sais pas

GG

Hum ! ... Une paire de gants blancs, zéro paire de gants noirs, et tu tires trois gants ?!

pldx1

Bonjour.

Les Anglais disent centipode. Les Français disent mille pattes. Les Grecs disent myriapode. Tandis que là-bas, sur la lointaine Etoile Noire, il disent:
$24687410$ gants noirs et $194363566$ gants blancs. Et les voleurs sont condamnés à trouver la formule génératrice d'au moins une suite infinie de solutions. Limiter à $200$ la taille des solutions revient à discriminer les scolopendres, ce qui est très vilain.

Cordialement, Pierre.

gebrane

Je me suis fait piéger  GG, donc pas de solution sauf preuve du contraire 
Celle proposée par @pldx1 n'est pas une solution 
Ajout @pldx1 Tu es fascinant, je comprends pourquoi Vassilia est charmée par tes mots 

GG

@gebrane,
une toute dernière chose avant que l'on passe définitivement et résolument à l'exégèse des textes de pldx1 :

Dans la première interprétation (celle où l'on connaît la couleur du gant), on tombe sur l'équation
$b^2 + n^2 - 8bn + 6b + n - 2 = 0 $
soit
$n^2 + n(1 - 8b) + (b^2 + 6b - 2) = 0$
d'où
$\Delta = (1 - 8b)^2 - 4(b^2 + 6b - 2) = 60b^2 - 40b + 9$
qui doit donc être un carré parfait.
En faisant $b = 2$, qui est la plus petite valeur possible si l'on veut éviter les gants négatifs, on trouve, O miracle ! $\Delta = 169$, d'où les deux valeurs de
$\large n = \frac {8b - 1 \pm \sqrt {\Delta} } 2$
soit  $1$ et $14$, et l'on retrouve les deux solutions $(2, 1)$ et $(2, 14)$ que nous a généreusement dévoilées lourran.
En existe-t-il d'autres pour de "grandes" valeurs de $b$ ? Mystère !

gebrane

Bonjour @GG     l y a une infinité de solutions pour la version 1

lourrran

Gebrane, 
Essaie de comprendre le programme que tu lances.
Dans ce programme, on regarde ce qui se passe si on retire un gant blanc (nbg=nb-1), puis si on retire un gant noir (nng=nn-1). L'intérêt de faire ces 2 tests, c'est uniquement si on a imposé au départ qu'il y aurait plus de gants blancs que de gants noirs. 
Et donc si dans les boucles, on impose nb > nn.

A partir du moment où tu fais sauter cette contrainte (nbre de gants blancs éventuellement plus petit, égal ou plus grand que le nombre de gants noirs), ce n'est plus nécessaire de faire le test 2 fois. Du coup, ton programme affiche chaque solution 2 fois.

gebrane

Lourrran , mais c'est ton code que j'a utilisé, je sais qu'il donne les solutions en doubles ./ Le but était de dire à GG qu'il existe une infinité de solutions en augmentant le N

GG

Très bien. Donc les solutions, très nombreuses (je n'oserais m'aventurer jusqu'à l'infini), sont par couple, une fois le gant noir volé, une fois le blanc. La morale est sauve !

lourrran

C'est mon code que tu utilises, oui.
Sauf que tu as fais une modification qui change tout !

Tu as remplacé : 

for nb in range(1,100):
    nmax = 100-nb
    for nn in range(nb+1, nmax+1):

par :

for nb in range(1,100):
    for nn in range(1,100):

Tu as aussi remplacé 100 par 10000, mais ça, ce n'est pas gênant.
Tu as remplacé une boucle qui assure que nn sera plus grand que nb, par une autre où nb et nn jouent des rôles totalement symétriques.

Remplace l'instruction for nn in range(1,10000) par for nn in range ( nb, 10000), ou par for nn in range(1,nb+1) et voilà, plus de problème.

gebrane

Pour finir et laisser ce fil reposer 
@Lourrran, mon but était de dire à GG qu'il y a des solutions lorsque on augmente le N ( ni plus ni moins)
@GG il y a quelque chose qui me gêne. Considérons la modélisation de l'énigme avec les 3 tirages. Normalement, l'équiprobabilité signifie aussi que le ième tirage a la même chance d'être le premier, le deuxième ou le troisième, et normalement la probabilité d'avoir une paire complète lors des deux derniers tirages doit être la même que la probabilité d'avoir une paire complète lors des deux premiers tirages. Autrement dit, on doit avoir l'égalité suivante :
\[\frac{b}{b + n} \frac{(b - 1)b + n^2}{(2b + 2n - 1)(b + n -1)} + \frac{n}{b + n} \frac{(n - 1)n + b^2}{(2b + 2n - 1)(b + n -1)} = 2\frac{b^2 + n^2}{(2b + 2n )(2b + 2n -1)}\]
Mais visiblement (flemme de faire un calcul), cette égalité ne peut être vraie. Mystère.

GG

Si je puis me permettre une remarque sur la programmation, l'algorithme le plus efficace, donc le plus rapide (si l'on tient compte de ce que j'écris, ce qui n'est pas assuré) est évidemment de faire une seule itération sur $b$ pour vérifier que $\Delta = 60b^2 - 40b + 9$ est un carré et calculer les deux valeurs de $n$ le cas échéant. (Avec une assez grande valeur de $b$, cela permettrait de s'assurer que l'infini est assez éloigné).

gebrane

GG J'ai eu l'audace de faire appel au service de Wolfram et surprise , il y a égalité

lourrran

Gebrane,
ce que je te suggère, c'est juste de réfléchir avant d'écrire. 
Je vois très bien que le code que tu utilises, il est fortement inspiré de ce que j'avais posté.
Quand je te dis que ton code affiche des trucs en double, je sais très bien que c'est ta modification qui a créé ce """bug""". J'ai même expliqué pourquoi il y avait ces doublons.

Donc ne réponds pas : c'est ton code que j'ai utilisé.
Avant de répondre ça, regarde le code que j'avais posté, regarde le code que tu as posté, et compare.

Ceci t'évitera de passer pour un farceur/perturbateur.

gebrane

lourrran, tu te fixes sur des futilités. J'ai repris le corps de ton code en changeant la boucle sans me soucier de la condition des blanches en nombre supérieur aux noirs. Mais si tu veux être honnête avec moi et avec les lecteurs, explique-nous comment tu as trouvé une solution unique dans ta première réponse dans ce fil. Explique-nous ton raisonnement et ton interprétation de l'énigme qui t'a conduit à cette conclusion.

GG

@gebrane, tu as parfaitement raison pour la symétrie et le calcul ! Ce qui donne aussi une équation du 2ème degré ! Ce qui veut dire que mon équation du 3ème degré doit se simplifier (si elle est correcte).