Théorème de Legendre ?

denise chemla
Modifié (6 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Une question (peut-être pour Olivier Courcelle, grand connaisseur de tout ce qui concerne Galois).
J'aimerais trouver la référence exacte d'un extrait de texte : dans le document ici http://denise.vella.chemla.free.fr/Galois.pdf à la page 37, il est question d'un théorème de Legendre $$FE'+EF'-FF'=\displaystyle\frac{\pi}{2}.$$
D'autre part, à ces pages, https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/11  (tout en bas) et https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/12 , l'auteur dit que ce qui est très intéressant dans le texte de Galois, c'est qu'il remplace le théorème de Legendre par $$E'F''-E''F'=i\displaystyle\frac{\pi}{2}.$$
Quel est ce théorème de Legendre dont il est question, j'ai parcouru en diagonale son Essai sur la théorie des nombres sans trouver quelque chose qui ressemblerait à ce théorème.
Merci d'avance pour les réponses.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla

Réponses

  • Je m'auto-réponds : j'ai trouvé, il s'agissait de chercher dans le Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes de Legendre.
    Je joins l'extrait.
  • De nos jours (en notations standard), cette identité s'écrit $EK' + E'K - KK' = \dfrac{\pi}{2}$ où les primes indiquent l'évaluation de la fonction en le module complémentaire $k' = \sqrt{1-k^2}$ (et pas une dérivée, notée $\dfrac{d}{dk}$). Mais que signifient alors les doubles primes e.g. dans $E'F''$ ?
  • Bonjour,
    Je n'ai toujours pas compris tout ça mais je crois qu'il faudrait idéalement bien maîtriser cet article wikipedia :
    Pour k'', ils notent (1-k)/(1+k) dans le paragraphe sur l'identité de Legendre. Si on lit la note de Legendre http://denise.vella.chemla.free.fr/trad-Galois-diff-Legendre.pdf, on voit qu'il est question de fonctions qui se rapportent à des modules complémentaires (l'une est rapportée au module sin 15° et l'autre est rapportée au module cos 15° qui est égal à sin 75° ; la somme des 2 angles est $\pi/2$). Je ne sais pas encore ce que signifie "rapportée à".
    Je vais étudier cela plus précisément, le but étant de comprendre pourquoi Galois remplaçait cette identité de Legendre par celle notée plus haut, avec $i$ qui intervient.
    Merci de la réponse en tout cas.
    Cordialement,
    Denise Vella-Chemla
  • Area 51
    Modifié (28 Apr)
    $K$, c'est essentiellement $\theta_3$ sur laquelle agit naturellement le groupe modulaire. Vu la formule de $k''$, c'est un mélange de transformation de Landen upward et du $k'$.
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