Trois points sur un cercle

jelobreuil
Modifié (6 Apr) dans Géométrie
Bonjour à tous,
Soit un triangle $ABC$, $H$ l'orthocentre, $N$ le centre du cercle d'Euler, et les neuf points usuels de ce cercle (milieux $D$, $E$ et $F$ des côtés $BC$, $CA$ et $AB$, pieds $A_1$, $B_1$ et $C_1$ des hauteurs et milieux $A_2$, $B_2$ et $C_2$ des segments $HA$, $HB$ et $HC$). Les diamètres $C_2F$ et $B_2E$ coupent la hauteur $AA_1$ respectivement en $A'$ et $A''$ , et les points $B'$, $B''$, $C'$ et $C''$ sont définis de même, circulairement. 
Montrer que les milieux des segments $A_1A_2$ et $A'A''$ coïncident en $M_A$, et que les trois "doubles milieux" $M_A$, $M_B$ et $M_C$ se trouvent sur le cercle de diamètre $HN$.
Bien amicalement, JLB
PS, Oui, je sais, la réponse à ma deuxième question est évidente ...

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (6 Apr)
    La médiatrice $\Delta$ de $[A_1A_2]$ est la droite passant par par $N$ et perpendiculaire à la hauteur $(AA_1)$ (donc parallèle à $(BC)$).  Celle de $[C_2E]$ passe aussi par $N$ et est perpendiculaire à $(C_2E)$ donc à $(HA)$ (via l'homothétie de centre $C$ de rapport $2$) c'est donc la même et, pour les mêmes raisons, c'est aussi la médiatrice de $[B_2F]$.  Les droites $(C_2F)$ et $(B_2E)$ sont donc symétrique l'une de l'autre par rapport à $\Delta$ donc $A'$ et $A''$ sont symétrique par rapport à $\Delta$ : leur milieu $M_A$ est le même que celui de $[A_1A_2]$ et l'angle $\widehat {NM_AH}$ est droit.
  • Rescassol
    Modifié (6 Apr)
    Bonjour,

    Et en barycentriques:
    % Jelobreuil - 06 Avril 2024 - Trois points sur un cercle
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
    Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
    Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;
    
    A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Milieux des côtés du triangle ABC
    D=[0; 1; 1]; E=[1; 0; 1]; F=[1; 1; 0];
    % Orthocentre
    H=[Sbc; Sca; Sab];
    % Pieds des hauteurs
    A1=[0; Sca; Sab]; B1=[Sbc; 0; Sab]; C1=[Sbc; Sca; 0];
    % Milieux des segments [HA], [HB], [HC]
    A2=SimplifieBary(MilieuBary(H,A));
    B2=SimplifieBary(MilieuBary(H,B));
    C2=SimplifieBary(MilieuBary(H,C));
    % On trouve A2=[a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2; 2*Sa*Sc; 2*Sa*Sb] etc...
    % Centre du cercle d'Euler
    N=[a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2; b^2*(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2; c^2*(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2];
    
    % Droite (AA1)
    AA1=SimplifieBary(Wedge(A,A1)); % On trouve AA1=[0, -Sb, Sc]
    Ap=SimplifieBary(Wedge(Wedge(C2,F),AA1)); % Point A'
    As=SimplifieBary(Wedge(Wedge(B2,E),AA1)); % Point A"
    % Milieu Ma de [A1 A2]
    Ma=SimplifieBary(MilieuBary(A1,A2))
    % Milieu Na de [Ap As]
    Na=SimplifieBary(MilieuBary(Ap,As)) 
    % On contate qu'a bien Ma=Na
    % On trouve:
    % Ma=[-a^2*(a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2);
    %     Sc*(2*a^4-3*(b^2+c^2)*a^2+(b^2-c^2)^2);
    %     Sb*(2*a^4-3*(b^2+c^2)*a^2+(b^2-c^2)^2)]
    
    % Pythagore:
    Nul=Factor(Distance2(H,N,a,b,c)-Distance2(H,Ma,a,b,c)-Distance2(N,Ma,a,b,c))
    % Nul=0 donc HN^2=HMa^2+NMa^2 d'où le résultat
    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci à vous deux de vous être intéressés à cette bagatelle !
    Bien amicalement, JLB
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