Espérance de la borne supérieure d'une famille croissante

amafhh

Bonsoir
J'ai bien réfléchi à la question suivante mais aucune réponse.
Merci d'avance pour l'aide par une preuve ou une indication de la preuve ou un contre-exemple.

Question. Soit $A$ un ensemble partiellement ordonné et $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ une famille croissante des v.a. dans $L^{1}_{+}.$ i.e.
$$ \alpha\preceq \beta \Longrightarrow X_{\alpha}\leq X_{\beta}. $$ A-t-on $$ \mathbb{E}(\sup_{\alpha\in A}(X_{\alpha}))=\sup_{\alpha\in A}\mathbb{E}(X_{\alpha}) \;\; ? $$

Renart

Cette question amène à des considérations un peu pointues. Par exemple, si $L^1(\Omega)$ est l'ensemble des variables aléatoires intégrables avec identification de deux variables aléatoires égales presque partout alors l'objet $\sup_{\alpha \in A} X_\alpha$ n'est même pas défini pour $A$ infini non dénombrable. Par  exemple prenons $A= \R= \Omega$ et $X_a = \mathbb 1_{\{a\}}$ alors $X_a=0$ presque partout. En prenant $0$ comme représentant on a $\sup_{a\in A} X_a=0$ mais en prenant $\mathbb 1_{\{a\}}$ comme représentant on a $\sup_{a\in A}X_a = \mathbb 1_\R$.

Et si l'on ne fait pas l'identification presque partout alors le résultat est faux, comme le laisse supposer ce qui précède. Je te met une démonstration en spoil si tu veux chercher par toi même. Indication : prendre pour $A$ le premier ordinal non dénombrable.

 Notons par exemple $\Omega$ le premier ordinal non dénombrable et supposons pour simplifier (on peut créer des contre-exemples sans cette hypothèse) que $\# \Omega = \#\R$. On met alors $\Omega$ et $\R_+$ en bijection par une application $\varphi : \Omega \to \R_+$. On définit enfin, pour tout $a\in \Omega$ la variable aléatoire $X_a : \R \to \R$ par $X_a = \mathbb 1_{E(a)}$ où $E(a) = \bigcup_{b \leq a}\{\varphi(a)\}$. Pour finir on munit $\R$ d'une mesure donnée, par exemple, par une loi normale. Dans ce cas toutes les $X_a$ sont bien mesurables car nulles presque partout et $\sup_{a\in A} \mathbb E(X_a) = \sup_{a\in A} 0 = 0$ mais $\sup_{a\in A}X_a = \mathbb 1_{\R_+}$ de sorte que $\mathbb E(\sup_{a\in A} X_a) >0$.

Bref, en théorie de la mesure les choses se passent mieux si l'on se cantonne au dénombrable.

amafhh

merci@Renart,

pour quoi $\mathbb E(X_a) =0$ ?

Renart

Cela découle de ce que j'ai écrit 5 mots avant