Pourquoi une limite projective est-elle fermée ?

stfj

Je découvre les entiers $3$-adiques. Dans son cours d'arithmétique(1970), Serre définit pour $n\geq 1$ $$A_n:=\Z/3^n\Z$$Puis il écrit : "un élément de $A_n $ définit de manière évidente [N.D.R. : "évidence" que pour ma part j'ai fini par comprendre au bout de deux heures] un élément de $A_{n-1}$; on obtient ainsi un homomorphisme $$\varphi_n:A_n\to A_{n-1}$$qui est surjectif et de noyau $3^{n-1}A_n$.

La suite $$...\to A_n\to A_{n-1}\to ...\to A_2\to A_1$$ forme un système projectif. Par définition, un élément de $\Z_3$(anneau des entiers $3$-adiques) est une suite $x=(...x_n,...x_1)$, avec $$x_n\in A_n \text{ et }\varphi_n(x_n)=x_{n-1}\text{ si }n\geq 2$$
$\Z_3$ est un sous-anneau de $\prod_{n\geq 1}^{}A_n$. Si l'on munit les $A_n $ de la topologie discrète, et $\prod_{n\geq 1}^{}A_n$ de la topologie produit, $\Z_3$ se trouve muni d'une topologie qui en fait un espace compact (car fermé dans un produit d'espaces compacts)"
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Comme on dit, "débrouille-toi Jeannot avec cela"
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J'ai fini par comprendre ce qu'est la topologie discrète, qu'un "produit d'espaces compacts" faisait par exemple référence au théorème de Tychonov. Par contre, je n'ai toujours pas compris pourquoi $$\Z_3:=\varprojlim (A_n,\varphi_n) $$est fermé.
Je vous serais très reconnaissant de tenter de faire comprendre cela à un béotien en topologie .  Cela m'importe beaucoup parce que j'ai travaillé très longtemps sur des objets similaires pour lesquels j'aimerais disposer d'outils performants.
Cordialement, 
Stéphane

JLT

Les $x\mapsto \varphi_n(x_n)-x_{n-1}$ sont continues, donc $\Z_3$ est une intersection de fermés.

stfj

J'ai pensé à ce genre de truc mais je suis complètement rouillé en topologie. Est-ce que, @JLT, tu aurais la gentillesse de combler les ellipses "évidentes" que contient ta réponse ?

stfj

$\forall n \geq 1, \varphi_n(x_n)-x_{n-1}=0$ Donc on obtient une suite de fonctions constantes de $\Z_3$ dans $\Z_{n-1}$

stfj

Questions complètement stupides qui me viennent à l'esprit : une fonction constante d'un espace topologique $(X,\tau)$ dans un autre $(Y, \tau') $ est-elle continue ? Comment définit-on une fonction continue déjà ? Quelle est la caractérisation des fonctions continues en termes de fermés et d'ouverts ?

stfj

@JLT : ok, c'est revenu. Merci beaucoup.

JLT

Je veux dire qu'on définit $\psi_n:\prod_k A_k\to A_{n-1}$ par $\psi_n(x)=\varphi(x_n)-x_{n-1}$. Elle est continue et $\Z_3=\cap_n\psi_n^{-1}(0)$ est une intersection de fermés : $\psi_n^{-1}(0)$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue donc c'est un fermé.

stfj

$\psi_n:\color{red}{\prod_k A_k}\color{black}\to...$ : tu as raison

stfj

Je découvre ainsi des écrits de Serre. C'est la première ou deuxième fois que je le lis. A condition de passer deux heures sur une "évidence" parfois, c'est quand même d'une grande clarté.

raoul.S

Plus généralement, si je ne me trompe pas, la limite projective d'espaces séparés est fermée dans le produit, ce qui implique la compacité dans ce cas.

rémi

Pour avoir étudié en détail la démonstration du théorème de la progression arithmétique dans son cours d'arithmétique, il n'a jamais été plus de suivre un livre de maths avec un papier et un crayon. C'était pour un TIPE/TER/mémoire et ça a été un des moments mathématiques les plus riches que j'ai vécu.

Héhéhé

Je trouve quand même qu'apprendre from scratch avec Serre est quand même un peu raide. En deuxième lecture, c'est sans doute mieux.

stfj

@Héhéhé : Je ne dispose que de deux ressources sur $\Z/p$: le cours de l'X de Pierre Colmez (livre vert) et le cours de 1970 de Serre (livre noir) et comme le livre vert est écrit tout petit et que cela m'abime les yeux, j'ai pris le noir.