RÉSOLU - Implication vraie ou fausse

shinitchi
Modifié (8 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous, je reprends des cours de logique via exo 7 (très bien fait soit dit en passant) néanmoins, je buggue sur comment montrer qu'une implication est vraie ou fausse.

$\Rightarrow$ est défini par (non P) ou Q et sa table de vérité associée. (page 3 du doc suivant : ch_logique.pdf (emath.fr))

Ensuite, des exemples sont donnés notamment le dernier : 
"$2+2=5 \Rightarrow \sqrt{2} = 2$" est vraie car $P$ est fausse. Je conçois le truc pas de problème mais en regardant le troisième exemple, j'ai : 
"$\sin(\Theta) = 0 \Rightarrow \Theta = 0$" est fausse. Là, je tique : dans l'exemple précédent, il me suffit de dire que (non P) est vraie pour en conclure que l'implication est vraie. Or dans cet exemple, je peux très bien avoir $\sin(\Theta) \neq 0$ et par conséquent, (non P) qui est vraie et enfin mon implication qui est aussi vraie.
Évidemment, ce n'est pas parce que dans certains cas, une proposition est vraie, qu'elle l'est de façon générale ainsi, (non P) n'est pas tout le temps vraie. Néanmoins, si je me restreins à l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$, alors $\sin(\Theta) \neq 0$ pour toute valeur de $\Theta$ de l'intervalle donc mon implication "$\sin(\Theta) = 0 \Rightarrow \Theta = 0$" devient vraie.
Par conséquent, l'exemple n'aurait-il pas dû être : 
$\sin(\Theta)=0,\ \Theta \in \mathbb{R} \Rightarrow \Theta =0$ est fausse ?
Ou alors, est-ce qu'il est évident pour l'auteur que le lecteur comprendra pour tout $\Theta$ réel.
Je pousse peut-être le truc trop loin mais en même temps la logique, c'est la rigueur +++.

J'ai de toute évidence un problème de conception (ou du (non P) est vraie, ou de ce qu'est l'implication, mais j'essaye de m'en tenir à sa définition par la table de vérité). Si quelqu'un peut m'éclairer.
Bien cordialement.

Réponses

  • shinitchi
    Modifié (5 Apr)
    J'ai réfléchi un peu sur le trajet du boulot...
    Peut-être que la réponse à ma question est : si on ne précise pas l'ensemble d'appartenance de $\Theta$, alors ça laisse la possibilité d'avoir $\sin(\Theta)=0$ et par conséquent, (non P à savoir $\sin(\Theta) \neq 0$) devient fausse... Donc l'énoncé de l'auteur est tout à fait correct.
  • Heuristique
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour,
    Il manque un quantificateur pour que la phrase ait un sens car on ne sait pas en l'état ce qu'est $\theta$ (ça peut être un réel, un entier ou un hippopotame : on ne sait pas). La phrase "$\forall \theta \in \mathbb{R}, \sin(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 0$" est fausse : pour le prouver, on expose un contre-exemple lorsque $\theta = \pi$. Comme "$\sin(\pi) = 0 \Rightarrow \pi = 0$" est fausse, la proposition "$\forall \theta \in \mathbb{R}, \sin(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 0$" est fausse.
    Retiens également que, pour montrer que l'implication $P \Rightarrow Q$ est vraie, on suppose $P$ et on montre $Q$.
    Pour montrer que l'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse, on montre (souvent) "$P$ et (non $Q$)" qui est la négation de "$P \Rightarrow Q$".
  • Par contre, l'implication
    $$\forall \theta \in\R, (\forall \theta\in\R, \sin \theta = 0)\implies \theta = 0$$
    est vraie :)
  • En fait, il s'agit de la "généralisation" c'est-à-dire que $\varphi(x)$ est équivalent à $\forall x\varphi(x)$, le problème étant la définition de l'ensemble dans lequel vivent les $x$, quand les choses sont bien faites, le contexte ne laissent pas de doute.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • shinitchi
    Modifié (5 Apr)
    @Heuristique
    pourquoi préciser avec un quantificateur ? Si on ne le précise pas, $\Theta$ peut effectivement être un hippopotame mais il peut aussi être égal à $\pi$. Par conséquent, (non P) := $\sin(\Theta) \neq 0$ reste faux et l'implication $\sin(\Theta)=0 \Rightarrow \Theta = 0$ est fausse aussi, non ?

    @JLapin et @Médiat_Suprème
    je ne comprends pas la subtilité. En quoi, le fait de rajouter $\forall \theta \in \mathbb{R}$ rend vraie l'implication ?

  • JLapin
    Modifié (5 Apr)
    L'implication $\sin \theta = 0 \implies \theta =0$ est vraie dès que $\theta = 0$ puisqu'alors les deux propriétés sont vraies.
    Par contre, elle est fausse pour au moins un réel (par exemple $\pi$), ce qui fait que l'assertion
    $$\forall \theta\in \R, [\sin \theta =0\implies \theta =0]$$
    est fausse (il y a au moins un contre-exemple).

    En revanche, la fonction $\sin$ n'étant pas la fonction nulle, la propriété $$\forall \theta\in\R, \sin \theta=0$$ est fausse donc toute implication qui commence par cette propriété est vraie.
    Est-ce clair ?
  • Foys
    Modifié (5 Apr)
    En maths classiques, "$X \Rightarrow Y$" est entièrement assimilable à une abréviation de $\neg (X \wedge \neg Y)$
    Dans la langue courante, souvent, ce qui est appelé une implication est en fait un énoncé qui peut s'écrire formellement 
    "$\neg \exists x \left ( x \in E \wedge  x\notin F\right ) $"
    (ce qui équivaut à $\forall x \left ( x \in E \Rightarrow x\in F\right )$).
    Par exemple : "le fait d'être champion du monde au sprint au 100 mètres implique de courir cette distance en moins de 12 secondes " signifie:  toute personne qui est dans l'ensemble des  champions du monde de sprint est également dans celle de ceux qui courent le 100 mètres en moins de 12 secondes.
    Il y a un élément variable/dynamique (un certain "$x$" dont l'appartenance à certains ensembles est à discuter selon les cas) dans un tel énoncé.
    Mais en maths, l'implication entre un énoncé $A$ et un autre $B$ signifie froidement $\neg (A \wedge \neg B )$. Il s'agit d'une chose très différente.
    Par exemple dans le cas des entiers:
    $3$ premier implique que $2$ est premier; $4$ premier implique que $2$ est premier, $3$ premier implique que $4$ n'est pas premier et enfin, $8$ premier implique que $4$ est premier.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Autrement dit, l'implication mathématique n'est pas porteuse de causalité
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • zeitnot
    Modifié (5 Apr)
    Pour tout réel $x$, $ x>3$  implique $x^2>9$.
    $x>3$ est bien la cause et son effet est $x^2>9$.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (5 Apr)
    Même chose avec $ 2<3 \Rightarrow\forall n > 2 ,\ \forall (x, y, z) \in \mathbb N^{*3},\ (x^n +y^n\neq z^n)$
    Si oui, je viens de démontrer le théorème de Fermat-Wiles
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • zeitnot
    Modifié (5 Apr)
    Moi, je n'ai jamais dit qu'une implication était toujours porteuse de causalité. 
    Toi tu dis qu'une implication n'est pas porteuse de causalité. J'ai pourtant donné une implication, et j'ai pourtant l'impression qu'elle est porteuse de causalité.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Foys
    Modifié (5 Apr)
    @zeitnot le contenu des maths hors applications est atemporel. $49$ était déjà strictement supérieur à $9$ trois mille ans avant Jésus-Christ alors que $7$ sera strictement supérieur à $3$ demain. C'est surtout pour cela que l'implication n'est pas causale (même si une expression quantifiée adéquate peut servir à exprimer des notions causales dans une modélisation). La causalité sous-entend une antériorité possible entre événements (un récit mathématique en prose, présentant les enchaînements d'idées comme suggérant que ce sont des petits mécanismes, pourrait entretenir cette illusion).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Noveang
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour
    Je pense qu'il est également intéressant de pointer le fait qu'en maths, quand on veut montrer $A \Rightarrow B$, on s'intéresse en fait à $A \wedge \left(A \Rightarrow B\right)$, qui d'un point de vue logique est égal à $A \wedge B$. Autrement dit, on retrouve la "causalité", c'est-à-dire que si $A$ est vrai et que l'implication est vrai, alors $B$ est vrai.

    Cette façon de voir permet de lever les inconforts qu'il peut y avoir à considérer que des implications de la forme $1 = 0 \Rightarrow \text{peu importe} $ sont vraies. En effet, en maths on considèrerait en fait $(1 = 0) \wedge \left(1 = 0 \Rightarrow \text{peu importe}\right)$, qui devient faux précisément parce $1=0$ est faux.

    En espérant avoir été clair :).
  • JLapin
    Modifié (5 Apr)
    quand on veut montrer A⇒B, on s'intéresse en fait à A∧(A⟹B),
    Ah bon ? Pas moi en tout cas.
  • zeitnot
    Modifié (5 Apr)
    Merci @Foys d'avoir pris le temps de me répondre. Pour être honnête, je n'ai pas parfaitement compris ce que tu voulais me montrer, par rapport à la temporalité.
    Sur mon exemple d'implication, $x^2>9$ est-il oui ou non la conséquence de $x>3$ qui est donc sa cause ?
    Si tu ne fais aucun lien de cause à effet entre les deux, comment démontres-tu ceci :
    Pour tout réel $x$,  $x>3$  implique $x^2>9$.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • JLapin
    Modifié (5 Apr)
    Si tu écris
    "Soit $x$ un réel.
    Alors $x^2>9$ ou $x\leq 3$",
    as-tu l'impression d'avoir écrit "une causalité" ?
  • Non en effet. :)
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • @zeitnot par temporalité je veux dire qu'un événement est (susceptible d'être) la cause d'un autre lorsqu'il se produit avant lui dans le temps. Mais cette antériorité dans le temps n'a aucun sens pour des relations entre nombres ou autres objets mathématiques.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • zeitnot
    Modifié (5 Apr)
    @Foys ok, j'ai compris ce que tu voulais dire.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Noveang
    Modifié (5 Apr)
    JLapin a dit :
    Ah bon ? Pas moi en tout cas.
    Je me suis très certainement mal exprimé, ou plutôt je pense que je ne parle pas sur le même plan.

    Les raisonnements logiques que l'on utilise en maths pour avancer d'assertions vraies en assertions vraies, on utilise très souvent des choses du style : de $A$ vraie et $A \Rightarrow B$ vraie on déduit $B$ vraie (https://fr.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens).

    Et c'est dans cette utilisation de l'implication qu'on trouve une forme de causalité, bien que la valeur logique d'une implication ne porte en elle-même aucune causalité.
  • Lirone93
    Modifié (5 Apr)
    À ce moment là alors, on pourrait aussi dire que la gravité existait il y a des millions d'années et qu'elle n'est pas prète de disparaitre, mais est-ce pour cela qu'on ne doit pas dire que les trous noirs sont une conséquence de la gravité, par exemple ?

    Il y a bien une raison liée au temps dans le choix de parler de causec'est le temps qu'il faut pour déployer logiquement les axiomes et les hypothèses mathématiques pour parvenir à une démonstration (validable) d'un théorème.

    Et ce temps n'a pas beaucoup d'intérêt d'un point de vue mathématique. Quoi que...
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    Modifié (6 Apr)
    zeitnot a dit :
    Si tu ne fais aucun lien de cause à effet entre les deux, comment démontres-tu ceci :
    Pour tout réel $x$,  $x>3$  implique $x^2>9$.
    Pas de souci. En démontrant par exemple que si $x-1 \gt 2$ alors $x^2 \gt 9$.

    Il vaut mieux parler de cause pour dire que dans une théorie mathématique tel ou tel théorème est la conséquence de tel ou tel axiome.

    Le terme cause est trop flou.
    On peut aussi dire que si $x\gt 3$ alors c'est la la cause de ma possibilité à démontrer qu'alors $x^2 \gt 9$.
    Je pense que c'est ce à quoi on pense quand on dit que si $x \gt 3$ alors $x^2 \gt 9$.

    L'utilisation du nom implication possède d'ailleurs exactement les mêmes « ressorts » sémantiques.

    Perso, à part cette (assez banale) justification, je trouve qu'on fait bien trop cas de cette précaution sémantique autour du mot cause. On se monte un peu trop la tête pour si peu... un signe de l'ingérence d'un formalisme excessif sur le langage naturel, peut-être...?
    Enfin bon...
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • shinitchi
    Modifié (6 Apr)
    @JLapin : c'est très clair effectivement. Je te remercie beaucoup.
    @Foys : l'exemple "3 premier implique 2 premier" pour montrer une causalité non toujours présente entre P et Q est très parlant.

    Merci aussi à tous les autres pour vos réponses, qui font réfléchir et reconsidérer certaines choses.
    Bien cordialement.
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