Exercice sur l'inversion
Bonjour
Comment peut-on résoudre la question 3) de l'exercice suivant ?
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1) Soient $P, Q$ les points d'angles polaires $\phi, 2\phi$ sur le cercle $(O, a)$, et soit $M$ le quatrième sommet du parallélogramme $POQM$.
Former l'équation polaire du lieu $(\Gamma)$ de $M$, en prenant pour pôle le point $I(-a, 0)$ et pour axe polaire $(IOx)$.
2) Déterminer l'équation cartésienne de la courbe $(\Gamma')$ inverse de $(\Gamma)$ dans l'inversion de pôle $I$ et puissance $3a^2$.
3) Tout cercle $(\gamma)$ passant par $O$ et par le point $S(\phi = 0)$ de $(\Gamma)$ recoupe $(\Gamma)$ en $M', M''$.
Montrer géométriquement que la droite $(M'M'')$ passe par un point fixe $\omega$ et que le produit des valeurs algébriques $\omega M'.\omega M''$ reste constant quand $(\gamma)$ varie.
---
À tantôt...
PS.
$(\Gamma)$ est la courbe d'équation $r = a(1 + 2\cos \phi)$.
L'inverse de $(\Gamma)$ est l'hyperbole $3x^2 - y^2 - 12ax + 9a^2 = 0$.
Comment peut-on résoudre la question 3) de l'exercice suivant ?
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1) Soient $P, Q$ les points d'angles polaires $\phi, 2\phi$ sur le cercle $(O, a)$, et soit $M$ le quatrième sommet du parallélogramme $POQM$.
Former l'équation polaire du lieu $(\Gamma)$ de $M$, en prenant pour pôle le point $I(-a, 0)$ et pour axe polaire $(IOx)$.
2) Déterminer l'équation cartésienne de la courbe $(\Gamma')$ inverse de $(\Gamma)$ dans l'inversion de pôle $I$ et puissance $3a^2$.
3) Tout cercle $(\gamma)$ passant par $O$ et par le point $S(\phi = 0)$ de $(\Gamma)$ recoupe $(\Gamma)$ en $M', M''$.
Montrer géométriquement que la droite $(M'M'')$ passe par un point fixe $\omega$ et que le produit des valeurs algébriques $\omega M'.\omega M''$ reste constant quand $(\gamma)$ varie.
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À tantôt...
PS.
$(\Gamma)$ est la courbe d'équation $r = a(1 + 2\cos \phi)$.
L'inverse de $(\Gamma)$ est l'hyperbole $3x^2 - y^2 - 12ax + 9a^2 = 0$.
Un requin marteau vaut dix faisans fous.
Réponses
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Bonjour,
Tu pourrais fournir une figure.
Cordialement,
Rescassol
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Un requin marteau vaut dix faisans fous. -
Bonjour,
Cordialement,
Rescassol
PS: j'ai pris $a=1$ et l'origine en $O$.
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Bonjour,On peut considérer l'inversion de pôle $I$ et de puissance $3a^2$ de la question précédente (le cercle d'inversion est en pointillé).Puis montrer que les cercles $\gamma$ du faisceau à points de base $O$ et $S$ sont orthogonaux au cercle d'inversion.
En conséquence les cercles $\gamma$ sont invariants par l'inversion.
$\Gamma$ et $\Gamma'$ s'échangent.
Les points $M'$ et $M''$ s'échangent avec les points $L$ et$K$ intersections de $\Gamma'$ et $\gamma$ et symétriques par rapport à la droite $(JC)$.
Le cercle $KLI$ passe par le point fixe $\omega'$ symétrique de $I$ par rapport à $J$.
Son inverse est la droite $(M'M'')$ qui passe par le point fixe $\omega$ inverse de $\omega'$ -
Sur mon schéma, $I$ est l'origine du repère et $O$ le pôle...Un requin marteau vaut dix faisans fous.
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Bonjour @Piteux_gore ,Si on fait de la géométrie dite "synthétique", l'origine du repère, on s'en fout.Tu devrais regarder plus attentivement ce que j'ai posté.
Quant au pôle, il est bien écrit dans ton énoncé :...dans l'inversion de pôle $I$ et puissance $3a^2$.
La rédaction n'est pas au top voire lacunaire mais tout y est.À toi de boucher les éventuels trous.[Edit] Ah ! le A majuscule accentué est un de mes petits calvaires. Merci AD. -
J'ai repris l'exercice et je ne trouve pas que les cercles variables sont orthogonaux au cercle d'inversion $(I, a\sqrt 3)$...
Je verrai demain.Un requin marteau vaut dix faisans fous. -
Au temps pour moi, les cercles sont bien orthogonaux... J'avais mal placé un point.
On peut aussi le prouver analytiquement avec $2(DD' + EE') = F + F'$.Un requin marteau vaut dix faisans fous. -
Rebonjour,
Il reste juste un point obscur
qu'est-ce qui prouve que les inverses de $M', M''$ sont symétriques par rapport à la médiatrice de $OS$ ?
A tantôt...Un requin marteau vaut dix faisans fous. -
Mais l'hyperbole et le cercle ont cet axe de symétrie en commun, non ?
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Elémentaire, mon cher Cailloux... Merci beaucoup !Un requin marteau vaut dix faisans fous.
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Bonjour @Piteux_gore,
Ne me remercie pas : j'ai pris beaucoup de plaisir à trouver une solution "potable".
Ne te méprends pas : rien d'immédiat ; j'ai cherché. Il faut replacer l'église au milieu du village : sans GeoGebra j'étais cuit.
Ce qui m'amène à une question que je me pose souvent : comment s'y prenaient nos aïeux âgés de moins de 18 ans pour pondre de telles solutions ?Cela reste pour moi un mystère ...P.S. J'imagine que tu as trouvé sans difficulté que $\overline{\omega M'}.\overline{\omega M''}=\overline{\omega O}.\overline{\omega S}=\dfrac{9a^2}{16}$ -
Les métriques usuelles de l'inversion m'ont permis de trouver la valeur du produit.
Les Anciens, à mon avis, pratiquaient ce genre de choses à longueur de journée depuis leur plus tendre enfance... C'est en forgeant, etc.
Une suggestion : reformuler l'exercice en partant directement de la question 3.
Un requin marteau vaut dix faisans fous. -
Qui est mieux placé que toi pour formuler ta suggestion ?
J'attends avec impatience.
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Je vais essayer de concocter quelque chose d'intéressant...Un requin marteau vaut dix faisans fous.
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RERERE,
On peut supprimer la question 2, auquel cas il faudra penser à exhiber une inversion idoine...
Gardez-vous du côté obscur des Lumières !...Un requin marteau vaut dix faisans fous.
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Bonjour!
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