Exercice sur l'inversion

Piteux_gore
Modifié (5 Apr) dans Géométrie
Bonjour
Comment peut-on résoudre la question 3) de l'exercice suivant ?
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1) Soient $P, Q$ les points d'angles polaires $\phi, 2\phi$ sur le cercle $(O, a)$, et soit $M$ le quatrième sommet du parallélogramme $POQM$.
Former l'équation polaire du lieu $(\Gamma)$ de $M$, en prenant pour pôle le point $I(-a, 0)$ et pour axe polaire $(IOx)$.
2) Déterminer l'équation cartésienne de la courbe $(\Gamma')$ inverse de $(\Gamma)$ dans l'inversion de pôle $I$ et puissance $3a^2$.
3) Tout cercle $(\gamma)$ passant par $O$ et par le point $S(\phi = 0)$ de $(\Gamma)$ recoupe $(\Gamma)$ en $M', M''$.
Montrer géométriquement que la droite $(M'M'')$ passe par un point fixe $\omega$ et que le produit des valeurs algébriques $\omega M'.\omega M''$ reste constant quand $(\gamma)$ varie.
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À tantôt...
PS.
$(\Gamma)$ est la courbe d'équation $r = a(1 + 2\cos \phi)$.
L'inverse de $(\Gamma)$ est l'hyperbole $3x^2 - y^2 - 12ax + 9a^2 = 0$.
Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

Réponses

  • Bonjour,

    Tu pourrais fournir une figure.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Piteux_gore
    Modifié (5 Apr)

    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Rescassol
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour,

    Cordialement,
    Rescassol
    PS: j'ai pris $a=1$ et l'origine en $O$.
  • cailloux
    Modifié (7 Apr)
    Bonjour,
    On peut considérer l'inversion de pôle $I$ et de puissance $3a^2$ de la question précédente (le cercle d'inversion est en pointillé).
    Puis montrer que les cercles $\gamma$ du faisceau à points de base $O$ et $S$ sont orthogonaux au cercle d'inversion.
    En conséquence les cercles $\gamma$ sont invariants par l'inversion.
    $\Gamma$ et $\Gamma'$ s'échangent.
    Les points $M'$ et $M''$ s'échangent avec les points $L$ et$K$ intersections de $\Gamma'$ et $\gamma$ et symétriques par rapport à la droite $(JC)$.
    Le cercle $KLI$ passe par le point fixe $\omega'$ symétrique de $I$ par rapport à $J$.
    Son inverse est la droite $(M'M'')$ qui passe par le point fixe $\omega$ inverse de $\omega'$

  • Sur mon schéma, $I$ est l'origine du repère et $O$ le pôle...
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • cailloux
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour @Piteux_gore ,
    Si on fait de la géométrie dite "synthétique", l'origine du repère, on s'en fout.
    Quant au pôle, il est bien écrit dans ton énoncé :
    ...dans l'inversion de pôle $I$ et puissance $3a^2$.
    Tu devrais regarder plus attentivement ce que j'ai posté.
    La rédaction n'est pas au top voire lacunaire mais tout y est.
    À toi de boucher les éventuels trous.
    [Edit] Ah ! le A majuscule accentué est un de mes petits calvaires. Merci AD.
  • J'ai repris l'exercice et je ne trouve pas que les cercles variables sont orthogonaux au cercle d'inversion $(I, a\sqrt 3)$...
    Je verrai demain.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • cailloux
    Modifié (5 Apr)
    Et pourtant ils le sont !
    Facile à prouver via l'axiome de Pythagore aurait dit notre ami @pappus
  • Au temps pour moi, les cercles sont bien orthogonaux... J'avais mal placé un point.
    On peut aussi le prouver analytiquement avec $2(DD' + EE') = F + F'$.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Rebonjour,
    Il reste juste un point obscur :smile:
    qu'est-ce qui prouve que les inverses de $M', M''$ sont symétriques par rapport à la médiatrice de $OS$ ?
    A tantôt...
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Mais l'hyperbole et le cercle ont cet axe de symétrie en commun, non ?
  • Elémentaire, mon cher Cailloux... Merci beaucoup !
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • cailloux
    Modifié (6 Apr)
    Bonjour @Piteux_gore,
    Ne me remercie pas : j'ai pris beaucoup de plaisir à trouver une solution "potable".
    Ne te méprends pas : rien d'immédiat ; j'ai cherché. Il faut replacer l'église au milieu du village : sans GeoGebra j'étais cuit.
    Ce qui m'amène à une question que je me pose souvent : comment s'y prenaient nos aïeux âgés de moins de 18 ans pour pondre de telles solutions ?
    Cela reste pour moi un mystère ...
    P.S. J'imagine que tu as trouvé sans difficulté que $\overline{\omega M'}.\overline{\omega M''}=\overline{\omega O}.\overline{\omega S}=\dfrac{9a^2}{16}$
  • Piteux_gore
    Modifié (6 Apr)
    Les métriques usuelles de l'inversion m'ont permis de trouver la valeur du produit.
    Les Anciens, à mon avis, pratiquaient ce genre de choses à longueur de journée depuis leur plus tendre enfance... C'est en forgeant, etc.
    Une suggestion : reformuler l'exercice en partant directement de la question 3.
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • Qui est mieux placé que toi pour formuler ta suggestion ?
    J'attends avec impatience.
  • Je vais essayer de concocter quelque chose d'intéressant...
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

  • RERERE,
    On peut supprimer la question 2, auquel cas il faudra penser à exhiber une inversion idoine...
    Gardez-vous du côté obscur des Lumières !...
    Fidèle jusqu'au bout à sa femme et à ses maîtresses, le dernier cannibale mourut centenaire, dévoré par ses grands-parents.

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