Parallélogramme circonscrit à une ellipse

Piteux_gore
Modifié (5 Apr) dans Géométrie
Bonjour
Comment peut-on résoudre la question b) de l'exercice suivant ?
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Soit un rectangle variable circonscrit à l'ellipse $(E) : x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$ ; soient $P, Q, P', Q'$ les points de contact.
a) Montrer que le parallélogramme $PQP'Q'$ reste circonscrit à l'ellipse $(E') : x^2/a^4 + y^2/b^4 = 1/(a^2+b^2)$, qui a les mêmes foyers que l'ellipse donnée.
b) Montrer géométriquement que le périmètre de ce parallélogramme est constant.
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Que la force soit avec vous !...
Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

Réponses

  • Bonjour,

    Tu pourrais fournir une figure.

    Cordialement,
    Rescassol
  • J'avais oublié la figure, effectivement.

    Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

  • Bonjour,
    $PQ+PQ'=2R$ où $R=\sqrt{a^2+b^2}$ est le rayon du cercle orthoptique :

  • Ben314159
    Modifié (6 Apr)
    Salut,
    Je ne sais pas comment cailloux à procédé, mais on peut utiliser le résultat (facile à montrer) disant que, si $B$ est un point extérieur à une ellipse et si $P,Q$ sont les points de contact des deux tangentes à l’ellipse passant par $B$, alors le milieu de $[PQ]$ est sur la demi-droite $[OB)$ (où $O$ est le centre de l’ellipse).
    Dans le cas présent, ça nous dit que le parallélogramme à ces cotés parallèles aux diagonales du rectangles et on en déduit (par un simple argument de symétrie) que son périmètre est la somme des longueurs des diagonales du rectangle, donc 4 fois le rayon du cercle orthoptique.
  • Bonjour,
    Je ne sais pas comment cailloux à procédé,
    Il y a effectivement des "trous".
    Faciles à combler si on regarde attentivement la figure, en particulier l'ellipse rouge de foyers $Q$ et $Q'$ tangente en les points de son grand axe au cercle orthoptique.
  • Je viens de faire un essai à part :smile:
    le rapport du périmètre d'un parallélogramme inscrit à un rectangle et dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle, à la diagonale du rectangle, est égal à $2$.
    Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

  • RERE,
    A priori, c'est la symétrie par rapport au centre commun à l'ellipse, au rectangle et au parallélogramme qui entraîne que les côtés du parallélogramme sont parallèles aux diagonales du rectangle.
    Je fignolerai cela demain...
    Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

  • Perso., la façon dont je voyais "la symétrie", c'est que (en reprenant les notations de ton dessin), si $[PR]$ est le symétrique (orthogonal) de $[PQ]$ par rapport à la droite $(AB)$ alors  $Q',P,R$ sont alignés (dans cet ordre) et $\overrightarrow{Q'R}\!=\!\overrightarrow{DB}$.
  • Piteux_gore
    Modifié (7 Apr)
    RERE,
    Soit un parallélogramme inscrit à un rectangle et dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle ; le demi-périmètre du parallélogramme est alors égal à la diagonale du rectangle.
    Le résultat précédent se démontre aisément à l'aide du théorème de Thalès et des propriétés des proportions.
    A tantôt...
    Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

  • Piteux_gore
    Modifié (8 Apr)
    RERERE
    Première question :smile:
    Chaque côté du parallélogramme  est la polaire d'un sommet du rectangle par rapport à l'ellipse $(E)$, ce qui permet de déterminer l'équation de deux côtés du parallélogramme.
    Un calcul simple montre ensuite que la diamètre conjugué à la direction de ces deux côtés du parallélogramme n'est autre qu'une des diagonales du rectangle ; de sorte que les deux autres côtés du parallélogramme sont parallèles à cette diagonale.
    Seconde question :smile:
    Maintenant que l'on sait que les côtés du parallélogramme sont parallèles aux diagonales du rectangles, on applique le résultat sur le périmètre d'un parallélogramme inscrit dans un rectangle et tel que...
    Peut-on faire mieux ???
    À tantôt...
    Etes-vous fou de l'aller quereller, lui qui sait tuer son homme par raison démonstrative !

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