Loi sans mémoire

paspris

Bonjour, je travaille sur la caractérisation de la loi exponentielle via les lois sans mémoire. 

J’y lis que U(T>1/n) = (T>0). J’ai du mal à comprendre pourquoi l’inégalité reste stricte. Merci à ceux qui pourraient m’aiguiller 

gebrane

J’ai du mal à comprendre aussi cette notation

zygomathique

salut

il y a deux inégalités strictes donc de laquelle parles-tu ?

et de toute façon $ (T \ge 0) = (T = 0) \cup (T > 0)$ et pour une loi à densité telle que la loi exponentielle l'événement $(T = 0)$ est de mesure nulle ...

paspris

Oui effectivement il faut préciser. Pourquoi l’inégalité n’est pas large dans le membre de droite?

JLapin

Je ne vois pas comment tu vas réussir à montrer que si $T(w)=0$, alors il existe un $n\in\N^*$ tel que $T(w)>\dfrac{1}{n}$.

Pour ceux qui ont du mal à comprendre la question initiale, il s'agit de l'égalité d'événements

$$\bigcup_{n\in \N^*} \{T>1/n\} = \{T>0\}$$

que l'OP remet en question.

gebrane

Soudain, cela devient claire. Merci Jlapin

paspris

Oui vu comme ça… mon problème c’est que j’ai eu mal à m’extirper du fait que si xn tend vers x et que xn<0 alors x<=0

JLapin

Si tu veux assouvir une bonne fois pour toute ton besoin d'utiliser ce fait, tu peux établir l'égalité d'événements suivante :

$$\bigcap_{n\in\N^*}\{T<\dfrac{1}n\} = \{T\leq 0\}.$$

paspris

Aaaaargh, j’essaye de comprendre et je te remercie JLapin pour ton aide mais ton dernier post me replonge dans le doute. Je n’arrive pas à me convaincre de ces histoire d’inégalité stricte ou/et large

zygomathique

Alors considère l'ensemble des inverses $ E = \big \{ \tfrac 1 n \mid n \in \N^* \big \} $

L'ensemble $E$ possède-t-il une borne inférieure ? Un minimum ?

JLapin

Je n’arrive pas à me convaincre de ces histoire d’inégalité stricte ou/et large

Tu as juste à prendre un élément $w$ dans l'un des deux ensembles et à vérifier qu'il est dans l'autre, rien de plus.

gebrane

paspris a dit :

 mon problème c’est que j’ai eu mal à m’extirper du fait que si xn tend vers x et que xn<0 alors x<=0

Mais c'est exactement ce qu'on utilise si $\forall n\in \N^*, T(w)<\frac 1n$ à la limite on ne peux gagner qu'une inégalité large $T(w)\leq 0$
Jlapin la disparition de @bd2017 m'inquiète , as-tu des nouvelles de lui ,

JLapin

la disparition de @bd2017 m'inquiète

Je ne le connais pas et il a posté au moins un message aujourd'hui.

gebrane

Ah merci, je ne l'vais pas remarqué son message

OShine

Un dessin peut aider.
On raisonne en deux étapes : 

• Si $ T \leq 0$, comme $\forall n \in \N^{*} \ \dfrac{1}{n} >0$ alors $\forall n \in N^{*} \ T < \dfrac{1}{n}$ donc $\{ T \leq 0 \} \subset \displaystyle\bigcap_{n \in \N^{*}} \{ T < \dfrac{1}{n} \}$.
• Réciproquement, si $\forall n \in \N^{*}   T < \dfrac{1}{n} $ alors en passant à la limite lorsque $n$ tend vers plus l'infini, (la limite transforme les inégalités strictes en inégalités larges, voir le cours de sup) alors $T \leq 0$. Donc $\displaystyle\bigcap_{n \in \N^{*}} \{ T < \dfrac{1}{n} \} \subset \{ T \leq 0 \} $

On a montré $\boxed{\{ T \leq 0 \}  = \displaystyle\bigcap_{n \in \N^{*}} \{ T < \dfrac{1}{n} \}}$.

JLapin

Quel est l'intérêt de mal recopier une démo ?

Ton latex est très joli mais le contenu n'a pas de sens.

paspris

 Bonjour et merci pour votre temps. J’aurais dû attendre ce matin avant de poser ma question, tout me semble bien plus clair :-)