Annuités constantes non successives

tekkna

Bonjour
J'ai un oubli de formule sur un exercice de flux constants non successifs.

Une banque va me verser 30.000 € à la fin du 1er trimestre de chaque année donc en T=1  et 20.000 € à la fin du second trimestre T=2 de chaque année sur une période de 10 ans. Donc, 30.000 en T= 1, 30.000 en T=5 ... 20.000 en T=2, 20.000 en T=6 ...

Quel capital je dois investir en T=0 au taux trimestriel de 1.5 % afin de verser ces trimestrialités de 30.000 € et 20.000 sur 10 ans. 

Alors, je pourrais actualiser chaque somme mais cela va me prendre un temps fou. Donc, existe-t-il une formule actualisant directement l'ensemble des flux ?
Merci d'avance pour la réponse.
Cordialement,
Christophe

gerard0

Bonjour.
Le plus simple est sans doute de séparer les deux versements, donc de calculer le capital nécessaire pour assurer les versements à la fin des premiers trimestres, puis celui nécessaire pour assurer les versements à la fin des deuxièmes trimestres, et ajouter les deux.
Cordialement.

tekkna

Bonsoir
Merci, oui en effet séparer les deux calculs simplifiera.
Mais comment calculer la valeur actuelle  une suite d'annuités constantes de 50000 € en fin de période avec T1=50000 ; T5 = 50000 ; T9 = 50000 ; T13 = 50000 ... pendant 10 ans grâce à une formule ?
Cordialement

gerard0

Deux façons :
* chercher dans des documents de maths financières une formule adaptée
* modéliser la situation en calculant la valeur actuelle d'une annuité constante (ça relève du domaine des suites géométriques).

NB. Tu as changé ton énoncé !

Pomme de terre

Considérons la situation en fin de T=1. La valeur actuelle des versements annuels successifs de 50000 € est alors :

$$VA(1) = 50000\left[1+(1+\tau)^{-4} + \cdots + (1+\tau)^{-4\times 9}\right] = 50000 \times \frac{1-(1+\tau)^{-4\times 10}}{1-(1+\tau)^{-4}},$$

avec $\tau = 1,5\%$. En remontant à T=0, on aura donc :

$$VA(0) = VA(1)\times (1+\tau)^{-1} = 50000\times (1+\tau)^{-1} \times \frac{1-(1+\tau)^{-40}}{1-(1+\tau)^{-4}}.$$

Le même principe s'applique dans ton problème inital, en se plaçant cette fois à T=2 pour les versements de 20000 €.

Je te laisse nous dire ce que tu trouves.