Ensemble vide

Alexis6
Modifié (4 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour,

L'axiome de l'ensemble vide est : $\exists E, \forall x, x \notin E$. Comment montrer dans ce cas là que l'ensemble $\{x \mid \bot \}$ ou $\{x \in A \mid \bot \}$ est bien $\emptyset$ ? J'ai vu que certains définissent l'ensemble vide comme étant $\{x \mid x \ne x\}$, c'est équivalent ? Que dire de $\{x \in \emptyset \mid P(x)\}$?

Une question annexe. L'intersection est définie comme suit : $E \cap F = \{x \mid x \in E \wedge x \in F\}$. Lorsqu'on se retrouve face à un ensemble de type $\{x \mid P(x) \wedge Q(x)\}$, peut-on dire que $\{x \mid P(x) \wedge Q(x)\} = \{x \mid P(x)\} \cap \{x \mid Q(x)\}$ ? Faut -il prouver que $P$ et $Q$ sont collectivisantes ? 
Merci d'avance.

Réponses

  • Congru
    Modifié (4 Apr)
    C'est quoi ta définition de l'ensemble vide ?
    Je vais supposer que c'est la formule $(\forall x\lnot x\in y;y)$
    N.B. Je vais m'absenter du forum pendant quelques temps (raisons personnelles), je reviendrai mais je ne serai probablement pas là pour plus d'un mois, j'espère que @Poirot @raoul.S @Martial @Médiat_Suprème @Foys @Georges Abitbol @Cyrano et @GaBuZoMeu trouveront le temps de répondre à tes prochaines questions.
    À très bientôt.
  • Congru
    Modifié (4 Apr)
    Il faut d'abord montrer que cette formule caractérise bien un ensemble.
  • Bonjour @Alexis6 ,
    En partant du principe que tu utilises l'axiome du vide pour définir le vide (on peut montrer qu'un tel ensemble $E$ vérifiant $\forall x, x \notin E$ est unique), tu peux ensuite montrer que $\{x \mid \perp \}$ et $\{ x \mid x \neq x \}$ sont l'ensemble vide. Les définitions sont équivalentes. Attention toutefois à la manière dont tu utilises l'axiome de compréhension car écrire $\{x \mid P(x) \}$ est dangereux (cf paradoxe de Russell).
    $\{x \in \varnothing \mid P(x) \} = \varnothing$ par double inclusion.
    Pour ton problème d'intersection, je t'invite encore à faire très attention à ton utilisation de l'axiome de compréhension. Notamment, considérer l'ensemble $\{x \mid x \notin x \wedge x \in x\}$ a un sens mais $\{x \mid x \notin x\}$ n'est pas un ensemble.
  • Martial
    Modifié (5 Apr)
    @Congru : à très bientôt j'espère, et merci pour la confiance que tu nous témoignes.
    @Alexis6 : on peut voir les choses de deux façons, qui bien sûr sont équivalentes.
    1) On part de deux axiomes (en plus de l'axiome d'extensionnalité).
    A ) Axiome d'existence : $\exists x, x=x$. (Il existe au moins un ensemble).
    B ) Schéma de compréhension (ou de séparation) : pour tout ensemble $a$ et pour toute formule $\varphi$ à une variable libre $x$, il existe un ensemble $b$ dont les éléments sont précisément les éléments $x$ de $a$ qui satisfont $\varphi(x)$. Cet ensemble est noté $b=\{x \mid x \in a \land \varphi(x)\}$, ou plus simplement $b=\{x \in a \mid \varphi(x)\}$.
    Soit alors $a$ un ensemble quelconque (dont l'existence est assurée par l'axiome A). En appliquant B à la formule $\varphi(x) \equiv x \neq x$ on obtient l'existence d'un ensemble $b=\{x \in a \mid x \neq x\}$. Il est clair que $b$ n'a pas d'élément, et il est unique par extensionnalité. En particulier il ne dépend pas de l'ensemble $a$. On le note $\emptyset$.
    2) Tu pars de l'axiome
    A) $\exists x \forall y (y \notin x)$. (Le vide existe). $x$ est unique par extensionnalité, et on le note $\emptyset$. Puis tu t'attaques aux axiomes suivants : schéma de compréhension, axiome de la paire etc.
  • Martial
    Modifié (5 Apr)
    Merci à qui sait faire de remplacer cet horrible smiley par un B suivi d'une parenthèse.
    [Par exemple insérer une espace. :) AD]
  • Martial
    Modifié (5 Apr)
    Merci AD.
    [À ton service. :) AD]
  • Alexis6
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour,
    et merci pour vos réponses éclairantes ! Donc, si j'ai bien compris, on peut axiomatiser de deux manières équivalentes (cf Martial) : 
    - axiome d'extensionalité, existence d'un ensemble a, axiome de séparation, et on définit $\emptyset$ comme étant $\{x \mid x \in a \wedge \bot \}$. 
    - axiome d'extensionalité, existence d'un ensemble a vérifiant $\forall x,\ x \notin a$, et on vérifie par le calcul logique (cf Congru) qu'un tel ensemble est égal à $\{x \in C \mid \bot \}$

    J'ai juste ? Auriez-vous des ouvrages de logique et/ou de théorie des ensembles de référence à me conseiller (français ou anglais) ?
    Merci encore.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.