Pentagramme, pentagone régulier et anthyphérèse

Bastien L.
Modifié (4 Apr) dans Géométrie
Bonjour à tous

Dans l'article de Gilbert Arsac, http://www.numdam.org/item/PSMIR_1987-1988___5_A7_0.pdf, p.20, je ne comprends pas pourquoi, quand il applique la méthode de l'anthyphérèse pour essayer de déterminer le rapport de la diagonale du pentagone régulier à son côté, en partant du couple (AD,AE), il passe au couple (B'E, EA'), avant d'aboutir au couple (B'E', B'A'). J'ai compris l'anthyphérèse et j'arrive au même résultat, mais par un autre chemin.

D'autre part, auriez-vous un récapitulatif des grandeurs remarquables dans le pentagramme inscrit dans un pentagone régulier convexe?
Merci d'avance pour votre aide.
Bien à vous,
Bastien.

(J'ai déplacé la discussion de "collège/lycée" vers "géométrie". --JLT)

Réponses

  • Gilbert Arsac a dit en juin 1988 :
    La démonstration occupe en mathématiques une place centrale puisqu'elle est la méthode de preuve dont l'emploi systématique caractérise cette discipline parmi les sciences. On comprend dès lors qu'elle joue un rôle important dans le cursus scolaire (où elle apparaît en France dès l'âge de 13 ans).

    Treize ans, vraiment ? Une autre époque !

  • Bien sûr, treize ans, classe de Quatrième, avant le collège unique. Regardez les Lebossé-Hémery de cette époque, Cinquième, Quatrième, Troisième. Une autre époque, en effet.
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    Pour la question posée, je ne vois pas moi non plus pourquoi il est nécessaire d'un intermédiaire pour passer de $(AD,AE)$ à $(B'A', B'E')$, qui lui correspond visiblement dans le pentagone régulier $A'B'C'D'E'$ par rapport au pentagone régulier initial $ABCDE$. 
    Maintenant c'est en effet un bon exercice de calculer tous les rapports des segments du « pentagramme », figure fascinante. À l'époque ancienne dont nous avons parlé, ça se faisait en Seconde. Voir : Lebossé, Hémery, Géométrie plane, Classe de Seconde des Lycées et Collèges, Librairie Fernand Nathan 1947, pp. 209-212.
  • Vassillia
    Modifié (4 Apr)
    Bonjour,
    Le collège unique, c'est 1975, et sauf erreur de ma part, 1988 c'est plus de 10 ans après. Peut-etre qu'avant le collège unique, on ne savait pas classer ces années dans l'ordre chronologique, heureusement maintenant tout le monde y arrive (ou presque) :)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    De nos jours, pour calculer les segments du pentagramme, le mieux me semble de résoudre par radicaux l'équation $z^5-1=0$ dans $\mathbb C$. C'est faisable avec deux équations du second degré, en Math. Sup, ou peut-être en Terminale avec des élèves qui ne seraient pas passés à l'ancienneté dans la classe d'après. 
  • Bonjour.

    Peut-être faut-il rappeler que ce sous-forum "collège-lycée" est supposé être une façon d'attirer et de conserver un public moins vieuzé que le public existant de ce faux rhum. Nul doute que @Bastien L. n'ait été un collégien, à un moment ou un autre, avant son inscription ... en 2009. Pythagore lui-même fut un gamin en short et un lecteur assidu d'Enid Blyton, même si les chroniques de l'époque ont disparu, ayant  été livrées à la critique rongeuse des souris (vous reprendrez bien un peu de papyrus ?). 

    Cela dit, il est intéressant de rappeler à la vie cette technique d'anthyphérèse (ἀνθυφαιρεῖν) qui fut, en effet, une précurseresse du développement en fraction continue. Excellente méthode pour introduire un peu de géométrie dans une présentation des approximants de Padé. 

    La malédiction du collégien n'est-elle pas d'accéder, un jour ou un autre, "at the college level" ?

    Cordialement, Pierre. 

  • @pldx1 Moi je ne vois pas pourquoi attirer tel ou tel public, je ne suis pas doué pour la danse des sept voiles. J'ai répondu au message initial sans me soucier de stratégie relative au sous-forum, sans même savoir de quel sous-forum il s'agissait, ni s'il fallait encore se censurer en fonction, etc., on n'en sort plus. Ce qui m'intéresse, ce sont les mathématiques. Le questionnement initial de @Bastien L. était on ne peut plus légitime. S'il s'est trompé de sous-forum, ce n'est pas très grave, docteur, que les autorités compétentes le déplacent, voilà tout. Ces questions administratives-bureaucratiques sont soûlantes.
  • Vassillia
    Modifié (4 Apr)
    Puisqu'on parle beaucoup de dates, pourquoi ne pas transférer dans "histoire des mathématiques" ? Ou alors "géométrie" ?
    Comme c'est le terrain de jeu de pldx1 qui a une belle plume (enfin un beau clavier), on ne peut pas le nier d'autant qu'il est souvent très drôle à lire.
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  • J'ai déplacé la discussion vers le sous-forum "géométrie".

    (HS : j'ai vu les premières démonstrations au milieu des années 1980, en classe de quatrième, en partant des axiomes d'Euclide.)
  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    Ceci me fait penser à une jolie démonstration, que j'ai sans doute déjà signalée sur ce forum, mais tant pis. Un réseau plan est l'ensemble de points du plan dont les coordonnées dans un repère, pas forcement orthonormal, sont toutes des entiers relatifs.  La question était : quels polygones réguliers peuvent avoir tous leurs sommets sur un réseau ? La réponse est : triangle équilatéral, carré, hexagone régulier, et c'est tout. Pour les polygones à $7$ côtés ou plus, il est facile de prouver l'impossibilité, elle provient du fait que la longueur du côté est strictement inférieure au rayon du cercle circonscrit. 
    Mais pour $5$ côtés ? La réponse est dans le pentagramme.  Les quadrilatères $ABCB'$, $BCDC'$ etc. sont des parallélogrammes. Or si un parallélogramme a trois sommets sur un réseau, il y a aussi le quatrième. Si $A,B,C,D,E$ étaient sur le réseau, alors $A',B',C',D',E'$ y seraient aussi. Or $A'B'C'D'E'$ est un pentagone régulier dont le rapport de similitude avec $ABCDE$ est $\frac {3-\sqrt 5}2 \simeq 0,38197$. En itérant la construction, on finirait par avoir des points du réseau aussi proches qu'on voudrait, et ça, ce n'est pas possible. C'est sans doute une sorte d'anthyphérèse si j'ai bien compris ce que c'est.
  • Variante : si on pouvait trouver un pentagone régulier sur un réseau ou plus généralement à coordonnées rationnelles, la matrice de la rotation d'angle $2\pi/5$ (de centre le centre du pentagone) aurait des coefficients rationnels, de sorte que sa trace serait rationnelle, alors qu'elle vaut $2\cos\frac{2\pi}5$.
  • pldx1
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour, $\def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}}\def\ii{\mathbf{i}} $

    Avant de se lancer dans un processus de preuve, il peut être intéressant de déterminer s'il faut plutôt tenter de prouver que la propriété annoncée est vraie, ou bien plutôt tenter de prouver qu'elle est fausse. Chaurien propose d'utiliser les racines cinquièmes de l'unité ou plutôt d'utiliser un mécanisme bicarré, en utilisant par exemple les générateurs \begin{eqnarray*} w & \doteq & \sqrt{5}\\ W & \doteq & \sqrt{10+2w} \end{eqnarray*} Pour suivre à la trace les radicaux, nous utiliserons leurs valeurs approchées suivantes. \[ \left[\begin{array}{ccccc} 1 & -\dfrac{1}{4}+\dfrac{w}{4}+\dfrac{\ii W}{4} & -\dfrac{1}{4}-\dfrac{w}{4}+\dfrac{\ii Ww}{8}-\dfrac{\ii W}{8} & -\dfrac{1}{4}-\dfrac{w}{4}-\dfrac{\ii Ww}{8}+\dfrac{\ii W}{8} & -\dfrac{1}{4}+\dfrac{w}{4}-\dfrac{\ii W}{4}\\ 1.0 & 0.30902+0.95105\,\ii & -0.80902+0.58778\,\ii & -0.80902-0.58778\,\ii & 0.30902-0.95105\,\ii \end{array}\right] \] Comme on le sait, la méthode $\pcct$ consiste à noter $\vz$ ce que voit Bob, le g.a.r.s qui est du mauvais côté du plan et à noter $\vzz$ ce que voit Alice, la fille qui est de l'autre côté du miroir. Et entre les deux, on place $\vt=1$ pour indiquer que l'on veut unifier les deux points de vue, de façon à être tintrinsèque (et balayer les objections des anti-orienteurs). On a donc: $A,B,C,D,E\simeq$ \[ \left[\begin{array}{c} \ii\\ 1\\ -\ii \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{4}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{4} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{8}-\dfrac{Ww}{8}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{8}-\dfrac{Ww}{8} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{8}+\dfrac{Ww}{8}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{8}+\dfrac{Ww}{8} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{4}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{4} \end{array}\right] \] Comme on le sait également, l'efficacité d'une telle façon de faire vient de ce que le produit en croix de deux colonnes décrivant deux points donne une ligne décrivant la droite passant par ces deux points. Et dualement pour déterminer le point qui incide à deux droites. Posant $A'=\left(B\wedge D\right)\wedge\left(E\wedge C\right)$, etc. on obtient $A',B',C',D',E'\simeq$ \[ \left[\begin{array}{c} \dfrac{\ii}{2}\left(-3+w\right)\\ 1\\ \dfrac{\ii}{2}\left(3-w\right) \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} \ii-\dfrac{\ii w}{2}-\dfrac{3W}{8}+\dfrac{Ww}{8}\\ 1\\ -\ii+\dfrac{\ii w}{2}-\dfrac{3W}{8}+\dfrac{Ww}{8} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{2}-\dfrac{Ww}{4}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}+\dfrac{W}{2}-\dfrac{Ww}{4} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\dfrac{\ii}{4}+\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{2}+\dfrac{Ww}{4}\\ 1\\ \dfrac{\ii}{4}-\dfrac{\ii w}{4}-\dfrac{W}{2}+\dfrac{Ww}{4} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} \ii-\dfrac{\ii w}{2}+\dfrac{3W}{8}-\dfrac{Ww}{8}\\ 1\\ -\ii+\dfrac{\ii w}{2}+\dfrac{3W}{8}-\dfrac{Ww}{8} \end{array}\right] \] Et maintenant, on calcule les six longueurs impliquées, à grand coups de Pythagore. Évidemment, la méthode proposée par Chaurien nécessite de calculer des racines carrées dans $\mathbb{Q}\left[w,W\right]$ mais ce n'est qu'un peu d'algèbre linéaire. Finalement, on trouve: \[ \begin{array}{c|c|c|c} N_{1} & AD & W\div2 & 1.9021\\ D_{1} & EA & W\left(w-1\right)\div4 & 1.1756\\ N_{2} & EA' & W\left(w-1\right)\div4 & 1.1756\\ D_{2} & B'E & W\left(3-w\right)\div4 & 0.7266\\ N_{3} & B'E' & W\left(3-w\right)\div4 & 0.7266\\ D_{3} & B'A' & W\left(w-2\right)\div2 & 0.4491 \end{array} \] Et donc, on a envie de prouver que
    1. $EA=EA'$
    2. $B'E=B'E'=AD-AE$
    3. $B'A'=EA'-EB'$.
    On fait une figure et on lance la machine (rappel: les maths à la sauce grecque, cela consistait à figurer les calculs et non pas à calculer les figures).
    1. Les angles $\left(EA,EB\right)$ et $\left(EB,EC\right)$ interceptent des arcs égaux et sont donc égaux. Par symétrie, $AA'\perp AB$. Le n-ième cas d'égalité des triangles donne $EA'=EA$.
    2. $AD=EC$ (pentagone régulier). $EC=EA'+A'C$ (c'est le point dur de la démo). Puis $EB'=AD-CB'$ par définition de la soustraction.
    3. $EB'=B'E'$ (les angles en $A$ sont égaux et les triangles sont isocèles). Et finalement $B'A'=EA'-EB'$
    Par similitude, le rapport $t\doteq N_{1}/D_{1}$ vaut aussi: \[ \mathrm{\dfrac{N_{3}}{D_{3}}=subs}\left(D_{3}=N_{2}-D_{2},N_{3}=D_{2},D_{2}=N_{1}-D_{1},N_{2}=D_{1},\dfrac{N_{3}}{D_{3}}\right)=\dfrac{N_{1}-D_{1}}{2D_{1}-N_{1}} \] On a donc enclanché un processus de descente infinie à la Fermat. Par conséquent le nombre obtenu en éliminant $N_{1},D_{1}$ dans cette équation, et qui donc vérifie $t^{2}-t-1=0$, ne peut pas être rationnel. Au passage, un raisonnement à la Brocot montre que \[ \dfrac{N_{1}}{D_{1}}=\dfrac{N_{2}}{D_{2}}=\dfrac{N_{3}}{D_{3}}, \] ce qui se vérifie avec les valeurs trouvées ci-dessus, la valeur commune n'étant autre que $\left(1+w\right)/2$, la solution de l'équation $t^{2}-t-1$ (en ces temps là, les nombres négatifs n'avaient pas encore été inventés, et encore moins incorporés dans la formule d'Al Kashi) . Si l'on renverse le paradigme, le focus ne pointe plus sur les nombres $N_{j}/D_{j}$ mais sur les homographies qui permettent de passer de l'un à l'autre. On obtient alors les convergents du nombre d'or \[ \left[1,2,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\frac{144}{89},\cdots\right] \] Et, évidemment, ce nombre $\left(\sqrt{5}+1\right)/2$ correspond à la pire complexité de l'algorithme des fractions continues.

     Cordialement, Pierre.


    Edit: un $I$ avait échappé au recodage en $\ii$. Par ailleurs, promettre une figure et ne pas la fournir, c'est vraiment pas bien.



  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    Outre que @pldx1 utilise des termes qui sont me sont inconnus (« Al Kashi », « convergents »), je ne comprends rien à son développement, c'est trop fort pour moi.
    @Bastien L. demandait les longueurs des divers segments qui apparaissent dans la figure du pentagramme, mettons en fonction du rayon du cercle circonscrit, ce qui est une bonne question. Dans mon vieux Lebossé-Hémery de Seconde d'avant la massification, on procédait avec des triangles semblables, je vous scannerai ça un de ces jours, c'est très beau, il y a même la construction avec la règle et le compas.
    À notre époque moderne, j'ai opté pour la facilité, je calcule les « lignes trigonométriques » de $\frac {\pi}5$, $\frac {2\pi}5$, $\frac {4\pi}5$, $\frac {\pi}{10}$, au moyen des racines  cinquièmes complexes de l'unité. Les longueurs demandées en découlent sans mal.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • nicolas.patrois
    Modifié (4 Apr)
    Chaurien, arrête de faire comme si tu ne savais pas ce qu’est le théorème d’al-Kashi.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Vassillia
    Modifié (4 Apr)
    Ne soyons pas si dur @nicolas.patrois 
    Ce sont des problèmes de mémoire tant pour Al-Kashi que pour convergents, ça arrive à tout le monde.
    Pour aider @Chaurien, je l'invite à relire :
    - https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1857550/al-kashi-a-la-al-kashi
    - https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337174/le-voyageur-des-siecles-oral-x-1905
    Inutile de me remercier, tout le plaisir est pour moi (et bravo à pldx1 pour l'art et la manière de placer des bons mots)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • pldx1
    Modifié (5 Apr)
    Bonjour,
    $\def\simdoteq{\stackrel{.}{\simeq}} \def\ptv{~;~}$  Notre ami @Chaurien se plaint de ne "rien comprendre" . Il n'a pas tout à fait tort. Une figure était promise... et n'a pas été fournie. Et ensuite, j'ai embrayé sur les fractions continues comme s'il s'agissait d'un processus connu des fixateurs du langage, au point de ne pas nécessiter quelques rappels.
    1. L'objectif est de construire une suite d'encadrements emboîtés qui finissent par converger vers le nombre que l'on veut encadrer. Comme ils convergent, on les appelle des convergents. On aurait pu les appeler des ronchonoux, mais l'usage ne s'est pas imposé.
    2. On part donc de $x\in\left]a/b;c/d\right[$ avec $a,b,c,d$ entiers positifs. Dans cette notation, on ne veut pas savoir si $a/b<c/d$ ou $c/d<a/b$. Par définition, on considérera qu'un dénominateur nul sert à coder le convergent +$\infty$. 
    3. Tout le monde connaît la propriété de Brocot \[ \dfrac{ay+c}{by+d}\in\left]\dfrac{a}{b}\,;\,\dfrac{c}{d}\right[ \] lorsque les $a,b,c,d$ sont positifs avec $ad-bc\neq0$ et $y\in\left]0,+\infty\right[$.
    4. Il est donc particulièrement efficace de coder une paire de convergents consécutifs par une matrice $\left[\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array}\right]$ et de coder l'encadrement résultant par: \[ \left(\begin{array}{c} x\\ 1 \end{array}\right)\simeq\left[\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} y\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} ay+c\\ by+d \end{array}\right) \] pour un certain $y\in\left]0,\infty\right[$. On va donc décrire le processus par le calcul itératif des \[ \left(\begin{array}{c} y_{n}\\ 1 \end{array}\right)\simdoteq\left[\begin{array}{cc} a_{n} & c_{n}\\ b_{n} & d_{n} \end{array}\right]^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c} x\\ 1 \end{array}\right) \]
    5. Il ne reste plus qu'à mettre en oeuvre la propriété de Brocot pour $y=1$, c.à.d. \[ \dfrac{a+c}{b+d}\in\left]\dfrac{a}{b}\,;\,\dfrac{c}{d}\right[ \] On utilise "le Brocot intermédiaire" pour établir un processus dichotomique: en partant d'un intervalle donné, on continue avec l'un des deux intervalles: \[ \left]\dfrac{a}{b}\,;\,\dfrac{a+c}{b+d}\right[\ptv\left]\dfrac{a+c}{b+d}\,;\,\dfrac{c}{d}\right[ \]
    6. Il y a donc deux matrices d'évolution, agissant sur les matrices d'encadrement: \begin{eqnarray*} \tau & \doteq & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right]:\left[\begin{array}{cc} c & a\\ d & b \end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} a+c & a\\ b+d & b \end{array}\right]\\ \sigma & \doteq & \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]:\left[\begin{array}{cc} c & a\\ d & b \end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} a+c & c\\ b+d & d \end{array}\right] \end{eqnarray*} L'action $\tau$ consiste à garder la pire borne et à bouger la meilleure (dans le sens d'une restriction de l'intervalle). L'ordre des deux bornes ne change pas ($\det\tau>0)$. On peut interpréter $\tau$ comme une translation. Par contre, l'action $\sigma$ consiste à garder la meilleure borne et à bouger la pire (toujours dans le sens d'une restriction de l'intervalle). L'ordre des deux bornes change ($\det\sigma<0$). On peut interpréter $\sigma$ comme une inversion.
    7. L'algorithme d'Euclide, tel que décrit précédemment, consistait en fait à utiliser la matrice $\left[\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]$ comme matrice d'évolution lorsque l'on rencontre le quotient $a_{n}=3$. Et maintenant, l'algorithme de Brocot consiste à appliquer successivement les matrices $\sigma,\tau,\tau$ (il faut $a_{n}$ matrices en tout, soit un $\sigma$ suivi de deux $\tau$).
    8. Brocot avait pour prénom Achille, ce qui en fait un mathématicien presque grec, mais l'article de Gilbert Arsac rappelle opportunément que cet algorithme de Brocot n'est en fait que l'anthyphérèse pythagorique. Et le chœur antique de se lamenter: encore un monument national qui s'en retrouve déconstruit !
    9. Au passage, notre ami @gebrane pourra remarquer que cet algorithme permet d'explorer le cas 1000, et même le cas nasson proposé par @nicolas.patrois

    Cordialement, Pierre.
  • gebrane
    Modifié (5 Apr)
    Notre fierté dans ce forum de géométrie @pldx1 cite mon pseudo pour me ramener dans son terrain de jeu :
                                                                  la géométrie.
     Ah non merci pldx,   :mrgreen:
    Ma zone de confort est l'analyse , donc  tu sais  où me retrouver.
    Pour la cas 1000, j'ai une  solution, mais je doute que tu vas la trouver.
    Le 😄 Farceur


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