Formule du crible version probabilités

evrad23

Bonsoir à tous 
j’essaie de démontrer la formule du crible en version probabilités 
j’ai d’abord démontrer la formule du crible classique c’est-à-dire celle qui permet de calculer le cardinal d’une réunion de famille
je me demande si lorsque j’arrive à cette étape, je peux définir un espace probabilisé et diviser l’égalité de la formule classique par le cardinal de l’univers pour obtenir la formule du crible en version probabilités 
en supposant bien sûr que le cardinal de l’univers est non nul 🤔

JLapin

Non car toutes les probas ne sont pas uniformes. Tu ne traiteras ainsi que le cas d’un univers fini muni d’une proba bien spécifique.

evrad23

Okay je comprends mais comment puis je m’y prendre pour démontrer la formule du crible en version probabilités en me servant du résultat de la formule classique @JLapin

NicoLeProf

Si je ne dis pas de bêtises, je pense que tu peux passer par la variable aléatoire indicatrice : $1_A$ d'un événement $A$ qui prend la valeur $1$ si $A$ se réalise et $0$ sinon.

On aura $P(A)=E(\mathbb{1}_A)$ (espérance de cette variable aléatoire).

evrad23

@NicoLeProf comment montrer que l’espérance de la variable aléatoire indicatrice égale à la probabilité de A ? 

evrad23

J’ai compris en fait la variable aléatoire indicatrice suit une loi de Bernoulli de paramètres P(A) donc l’espérance c’est le paramètre P(A) @NicoLeProf

Milas

L'indicatrice de l'événement A est une variable aléatoire distribuée selon la loi de Bernoulli de paramètre p(A) donc son espérance est égale à son paramètre 

evrad23

Merci pour la répétition @Milas je l’avais bien compris 

@NicoLeProf

il me suffit d’appliquer à un certain moment dans la démonstration de la formule ‘’classique’’ du crible 

l’espérance et c’est terminé ✅
 bien évidemment je vais définir la variable aléatoire indicatrice un peu plus tôt 

Merci à tous pour votre aide 

JLapin

Pour ma part, je ne vois pas en quoi la formule avec les cardinaux va te permettre de conclure. Par contre, tu peux singer la preuve en l’adaptant.