SOS calculs

Simeon-urbain

Bonjour, panique totale pour résoudre ces 2 exos, comment calculer ??
J'ai honte mais une idée est la bienvenue pour le 21 loi binomiale (6000,1/4000).

Pour le 22 binomial (300,1/10) je suis perdu.     

Merci.

JLapin

Voici (sauf erreur) une reformulation pour le 21.
On tire 6000 fois une pièce qui a la probabilité $\dfrac{1}{4000}$ de renvoyer pile. On suppose que les tirages sont indépendants.
On note $X$ le nombre de pile obtenu. Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X>k)\leq \dfrac{1}{10}$.

Essaye de répondre à cette question puis de trouver une reformulation similaire pour le 22.

gebrane

Pourl'exo 1  

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de roues crevées 
X suit la loi binomiale de paramètre n=6000 et p=1/4000
On peut approximer cette loi par une loi de Poisson qui permet de voir l'utilité de l'indication sur $e^{-3/2}$

JLapin

Bien vu et effectivement, j’ai un peu transformé l’énoncé.

Simeon-urbain

Bonjour tous,

toujours présents merci, je vais essayer avec la loi de POISSON

je réfléchi  sur le 22 merci.il me semble qu'il faut au moins 31 lignes téléphoniques ,je ne vois pas 
Bonne journée amicalement Simeon

[Siméon Denis Poisson (1781-1840) mérite bien une majuscule. --JLT]

Simeon-urbain

Bonjour, est-il possible d'obtenir de l'aide pour l'exo 22 ,je suis désespérément perdu.  merci

   S_U

lourrran

On a 300 employés. Chaque employé passe en moyenne 10% de son temps au téléphone. 
Donc à un instant $t_0$, on a en moyenne 30 employés au téléphone. Parfois plus, parfois moins. 
Disons à la louche, la moitié du temps on a plus de 30 employés au téléphone, et la moitié du temps, on a moins de 30 employés au téléphone.
Donc avec 31 lignes, la probabilité que toutes les lignes soient employées semble proche de 50%. Bien supérieure aux 2.5% demandés dans l'énoncé.
Donc la réponse de 31 semble fausse. Il faut probablement plus de lignes.

Faire des maths, ça demande des connaissances en maths, et ensuite, quand on a des doutes, du bon sens 'paysan' pour vérifier si la réponse donnée semble correcte.

JLapin

Voici une modélisation possible de cet "énoncé" un peu douteux.

On discrétise le temps en minute.
À chaque minute, un employé a une chance sur 10 de passer cette minute au téléphone. Le nombre de minutes passées au téléphone pour un employé suivra une loi binomiale de paramètre $(60,1/10)$ (donc d'espérance $6$ minutes).

Comme il y a 300 employés, à chaque minute, le nombre de lignes occupées suit une loi binomiale de paramètre $(300,1/10)$.
On se donne $60$ variables aléatoires iid suivant cette loi et on cherche le plus petit $k$ tel que

$$P(\max(X_1,\dots,X_{60})\geq k)\leq \dfrac{25}{1000}).$$

Sauf erreur, j'obtiens $k=50$, ce qui me semble respecter le "bon sens paysan".

Simeon-urbain

Bonjour et merci infiniment de cette précieuse aide  je la prends pour  de l'humanité merci

  merci amicalement S_U

Simeon-urbain

mille excuses si je vous ai blessé amicalement

lourrran

Etant devenu plus 'informaticien' que matheux, j'ai procédé autrement, et j'arrive à un résultat différent.
Je prends un tableur. 
Je calcule la probabilité d'avoir exactement $k$ lignes occupées. C'est $P(k)=0.1^k * 0.9^{300-k} * C(300,k)$. 
Je calcule ce nombre pour toutes les valeurs de $k$ entre $0$ et $300$
Et je calcule $P(300)+P(299)+P(298)$ ... jusqu'à obtenir une somme supérieure à $0.025$.
Et je constate que l'on passe ce seuil pour $k=41$.

On sait que la loi binomiale est une approximation, et que cette approximation est de qualité moyenne quand la cloche n'est pas symétrique ($p$ loin de 0.5) ; l'écart entre ce 41 et le 50 est probablement dû à cette approximation.

JLapin

Tu as raison : j'ai en fait calculé le nombre de lignes nécessaire pour que pendant 1h, la proba que toutes les lignes soient occupées pendant au moins une minute soit assez faible, ce qui n'est en fait pas très cohérent avec l'énoncé...

Ce n'est pas un problème d'approximation : c'est un problème de reformulation de la "non question" posée par l'énoncé. La tienne est plus proche de l'énoncé que la mienne.

lourrran

Ahhh, je me demandais d'où venait le 60 dans ton message.

En fait, l'énoncé de l'exercice est assez flou. 
Effectivement, en tant que manager d'entreprise, ce qui est intéressant, ce n'est pas la probabilité qu'à un instant $t_0$, il n'y ait pas saturation.
C'est la probabilité qu'il n'y ait pas de saturation sur une période donnée. 
Donc, oui, on a envie de traiter une 'longue durée', et pas un instant $t_0$.
Pas de saturation sur une période donnée, mais je ne vois rien dans l'énoncé qui dit qu'on cible une tranche d'une heure.
En plus, quand on dit qu'un employé passe en moyenne 6 minutes au téléphone par heure, on a quand même de fortes raisons de penser que ces 6 minutes sont consécutives. 
Donc les 60 variables aléatoires dont tu parles, elles ne sont pas du tout indépendantes. Donc les conditions ne sont pas réunies pour dire : quand on a $n$ variables aléatoires i.i.d  , etc etc.

L'énoncé est flou. On doit interpréter certaines parties de l'énoncé, et pour obtenir un exercice 'faisable', je pense qu'il faut se contenter de dire : 
On nous demande quelle est la probabilité qu'à un instant $t_0$, il n'y ait pas saturation.

Simeon-urbain

Bonsoir,
vous êtes tous exceptionnels, mille mercis 
Vous n'imaginez pas l'humanité dont vous me faites don merci
S_U

JLapin

 vous n'imaginez pas l'humanité dont vous me faites don merci

C'est sûr que le contraste avec l'être malfaisant et pervers qui a rédigé cet énoncé horrible est saisissant mais tu n'es pas obligé d'en faire autant pour un simple merci

gerard0

Bonjour.
L'énoncé de l'exercice 2 n'a aucun  sens ! Si les 300 employés téléphonent tous 6 mn à chaque début d'heure, il faut 300 lignes téléphoniques. S'ils téléphonent par roulement de 30 6 minutes dans chaque heure, 30 lignes suffisent. La notion de "en moyenne" est la plus pauvre des informations statistiques.

En fait, sans hypothèses supplémentaires, difficile de faire de cet énoncé un sujet de mathématiques.
Cordialement.

NB. J'ai eu fait traiter des sujets de ce genre, en travaux dirigés, où on passait pas mal de temps à formuler l'ensemble des hypothèses statistiques nécessaires.

gebrane

lourrran a dit :

Et je calcule $P(300)+P(299)+P(298)$ ... jusqu'à obtenir une somme supérieure à $0.025$.
Et je constate que l'on passe ce seuil pour $k=41$.

Ce calcul de Lourrran est fastidieux. Notons \( n \) le nombre de linges que doit installer l'entreprise et \( X \) la variable aléatoire égale au nombre d'employés téléphonant à l'instant \( t \). On cherche le plus petit $n$ vérifiant  \( P(X > n) \leq 0,025 \). Il a été remarqué que \( X \) suit la loi binomiale \( B(300, 0,1) \) et que l'on est dans les bonnes conditions pour l'approximer par la loi normale \( N(30, \sqrt{27}) \). La question devient alors \( P(X^* > \frac{n-30}{\sqrt{27}}) \leq 0,025 \), ce qui donne \( \Phi(\frac{n-30}{\sqrt{27}}) \geq 1-0,025 = \Phi(1,96) \), d'où \( \frac{n-30}{\sqrt{27}} \geq 1,96 \) et \( n \geq 41 \).

lourrran

Un matheux va effectivement aller 'plus vite' en prenant ta formule.
Mais moi, pour retrouver si $0.025$ ça correspond à $\Phi(1.96)$ ou $\Phi(3)$ ou ..., ça va me prendre un certain temps, plus long que le temps passé à faire tout mon calcul fastidieux.
Et par ailleurs, si on applique ton calcul, ça nous dit que la probabilité d'avoir plus de 30+11 lignes occupées est de 2.5%, et que la probabilité d'avoir moins de 30-11 lignes occupées est également de 2.5%. Or le calcul précis dit que cette probabilité est un peu inférieure à 1%.
La courbe est en cloche, mais pas symétrique, une des 2 branches de la courbe est assez bien approximée par la loi binomiale, mais pas l'autre.

Dans un exercice de maths, on peut imaginer que c'est ta méthode qui est attendue, et on peut aussi le regretter. La loi binomiale a un énorme intérêt historique, mais l'enseignement d'aujourd'hui devrait aussi dire que les outils informatiques d'aujourd'hui offrent autre chose que cette loi binomiale. 
Utiliser la loi binomiale, et utiliser une calculatrice pour faire les calculs, c'est assez anachronique. Soit on n'a pas de calculatrice, et on utilise la loi binomiale. Soit on a une calculatrice, et on fait le calcul précis.  

Et reprenons la chronologie : je n'ai proposé mon calcul que parce que le 50 donné par JLapin me paraissait très loin de mon 41. Je n'avais pas capté qu'on ne calculait pas la même chose.