Égalité de paires

Alexis6
Modifié (3 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour
Encore une question de théorie des ensembles, classique apparemment. Je voudrais démontrer  $$\{a,b\}=\{c,d\} \iff (a=c \wedge b=d) \vee (a=d \wedge b=c)$$
J'ai bien un début de preuve : \begin{align*}
\{a,b\}=\{c,d\} &\iff \forall x,\ (x\in \{a,b\} \iff x\in \{c,d\}) \\
&\iff \forall x,\ \big((x=a \vee x=b) \iff (x=c \vee x=d)\big)
\end{align*}
Avez-vous une idée pour continuer et se débarrasser de l'équivalence ? J'ai pensé aux tables de vérité, mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance !

Réponses

  • Poirot
    Modifié (3 Apr)
    Pour continuer je procéderais par double implication.
    Tu peux spécialiser $x$ en $a$ pour obtenir $a=c$ ou $a=d$ et de même en spécialisant en $b$ tu obtiens $b=c$ ou $b=d$. Si $a \neq b$, ça donne les deux alternatives que tu veux montrer. Si $a=b$, les deux alternatives sont en fait les mêmes.
    Réciproquement si $a=c$ et $b=d$ alors $\{a,b\} = \{c,d\}$, et si $a=d$ et $b=c$ alors $\{a,b\} = \{c,d\}$, donc l'un ou l'autre implique $\{a,b\} = \{c,d\}$.
    C'est légèrement fatiguant à écrire rigoureusement et je n'ai pas le temps tout de suite, mais tu sauras y arriver je pense.
  • Congru
    Modifié (3 Apr)
    Calcul.
  • Bon, vu que tu commences ta démo exactement comme moi, je me suis dit que ça t'intéresserait de voir comment ta démo se poursuit et se termine.
    Enfin bref, c'est peut-être plus pratique que tu fasses plutôt comme @Poirot.
  • Alexis6
    Modifié (4 Apr)
    Encore merci pour tes indications que j'ai suivies Poirot (au moins pour la double implication). Ce n'est pas tant que je n'y avais pas pensé, mais plutôt que ça me semblait bien trop compliqué à rédiger. Et merci Congru pour ta démo qui ne manque pas de m'impressionner. Je me demande juste si je vais bien être reçu à l'université si je rédige comme toi (j'en suis incapable, quoi qu'il en soit). 

    $\{a,b\}=\{c,d\} $
    $\iff \forall x,\ (x\in \{a,b\} \iff x\in \{c,d\}) $
    $\iff \forall x,\ (x=a \vee x=b) \iff (x=c \vee x=d)$
    $\iff \forall x,\ \big((x=a \vee x=b) \implies (x=c \vee x=d)\big) \wedge \big((x=c \vee x=d) \implies (x=a \vee x=b)\big)$
    $\iff \big((a=c \vee a=d) \vee (b=c \vee b=d)\big) \wedge \big((a=c \vee b=c) \vee (a=d \vee b=d)\big)$
    $\iff (a=d \vee b=d) \vee (a=c \wedge b=c)$
    $\iff \big(a=c \wedge (a=d \vee b=d)\big) \vee \big(b=c \wedge (a=d \vee b=d)\big)$
    $\iff (a=c \wedge a=d) \vee (a=c \wedge b=d) \vee (b=c\wedge a=d) \vee (b=c\wedge b=d)$
    $\iff (c=d)\vee(a=c \wedge b=d) \vee (b=c\wedge a=d) \vee (c=d)$
    $\iff (a=c \wedge b=d) \vee (a=d \wedge b=c)$

    J'espère que c'est un minimum correct.
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