Solution paramétrique

etanche

Bonjour 
Donner une représentation paramétrique des solutions entières de $x^2+yz=-5$
Même question pour des solutions rationnelles.
Merci.

JLapin

Cela revient à trouver la forme de toutes les factorisations des entiers de la forme $5+x^2$. Je doute fort qu’on puisse en tirer quelque chose de très explicite.

LOU16

Bonsoir,

Pour les solutions rationnelles,  on a toujours un paramétrage rationnel d'une quadrique, par exemple:

$x=\dfrac{5u-v}{uv+1},\:\:y =\dfrac {5u^2+1}{uv+1},\:\:z =-\dfrac{v^2+5}{uv+1}\quad u,v \in\Q,\:\:\:uv \neq -1\:\:$ donne toutes les solutions $(x,y,z) \in \Q^3$  telles que $x \neq 0.$

etanche

@ LOU16 ça m’intéresse beaucoup. Comment arrives-tu à ce paramétrage rationnel? Merci.

john_john

Comme paramétrage rationnel, on a aussi, tout naturellement, $(t,u)\in\Q\times\Q^*\mapsto\Big(t,u,-\displaystyle\frac{t^2+5}u\Big)$.

etanche

@ john_john joli but, je n’y avait pas pensé, Je cherchais une méthode plus compliquée, comme avec la sécante à pente rationnelle.

Quelle a été la démarche de LOU 16 pour arriver au paramétrage qu’il propose ?
Connaissez-vous livres ou articles sur la paramétrisation rationnel d’une quadrique ?Merci.

LOU16

Bonjour@etanche

C'est bien la "sécante à pente rationnelle" $\mathcal D_A(u,v) $ qui désigne la droite passant par un point $A$ de la quadrique et dirigée par le vecteur $(u,v,1)$

etanche

@ LOU16 pour le point A sur la quadrique ok. Comment on choisit le vecteur directeur de la droite ? Pourquoi ici c’est (u,v,1) ?

LOU16

Je ne sais pas trop quoi te répondre, si ce n'est "$(u,v,1)$, c'est le triplet  de coordonnées du vecteur dirigeant la droite $\mathcal D_A(u,v)$,qui dépend des paramètres $u$ et $v$."

A chaque $(u,v)\in\Q^2$, correspond un unique point de la quadrique: le point d'intersection, autre que $A$, de celle-ci avec $\mathcal D_A(u,v).$

etanche

@ LOU 16 à mon tour de jouer $A(0;1;-5)$ est un point sur la quadrique.
L'équation paramétrique de la droite passant par A dirigé par le vecteur $(u,v,1)$ avec $u,v$ rationnels est 
$x=tu$
$y=1+tv$
$z=t-5$ où $t \in Q$
que l'on rapporte dans $x^2+yz=-5$ ce qui donne $t=\frac{5v-1}{u^2+v}$ 
puis on a 
$x=\frac{5uv-u}{u^2+v}$
$y=\frac{u^2+5v^2}{u^2+v}$
$z=\frac{-5u^2-1}{u^2+v}$ 

LOU16

Oui. Le paramétrage par une sécante rationnelle est loin d'être unique. Il dépend bien entendu du point $A$, mais aussi de la façon dont on choisit "le" vecteur directeur.Dans mon exemple, j'avais pris: $(1,u,v).$ mais on aurait tout aussi bien choisir $(3u, 2, 5v),$ ce qui , dans tous les cas, exclut "une droite projective de directions"

etanche

@ LOU16 ma question est sur le choix du vecteur de la droite.Tu as proposé (1,u,v) puis (3u,2,5v). Qu’est-ce qui motive ces choix ?

LOU16

Bonsoir Etanche,

Je ne comprends pas bien ta question. Je ne sais pas si ma réponse va te convenir.

On définit l'ensemble des "directions des droites de $\Q^3$" (c'est-à-dire le plan projectif $\mathbf P(\Q^2)$ en choisissant un représentant de chaque élément de $(\Q^2)^*/\mathcal R$ où $\mathcal R$ est la relation (d'équivalence) de colinéarité.

Un tel ensemble de représentants convenable est $\Big\{(1,u,v) \mid (u,v)\in\Q^2\Big\}\bigcup\Big\{(0,1,u) \mid u\in\Q\Big\}\bigcup \Big\{(0,0,1)\Big\}$

Les directions de vecteurs dont la première coordonnée est non nulle, puis ceux dont la première est nulle et la seconde non nulle et enfin la direction de $(0,0,1)$. Toutes ces directions sont deux à deux non distinctes.

$\mathbf P(\Q^2) $ est l'ensemble des classes de ces vecteurs.