Ensemble des parties

Alexis6
Modifié (2 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour
Alors voilà, je suis en L1 et j'aborde assez modestement la théorie des ensembles. Il ne m'a pas paru évident que $P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$. En fait, j'arrive à démontrer que $\emptyset$ et $\{a\}$ sont inclus dans $\{a\}$, mais comment prouver que ce sont précisément les seuls sous-ensembles et qu'il n'y en a pas d'autres ?
Autrement dit, comment démontrer $$\forall X ,\quad X \subset \{a\} \implies X=\emptyset \lor X=\{a\}$$ 
J'ai posé la question à notre professeur mais il m'a dit que ça allait de soi. Pas pour moi, en tous cas.

Réponses

  • Il y a une petite erreur dans ton message, on a $\mathcal P(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\}$.

    Soit $X$ un ensemble non vide inclus dans $\{a\}$ et soit $b \in X$. Puisque $X \subset \{a\}$, on a $b \in \{a\}$. Comme $a$ est le seul élément de $\{a\}$, on a bien $b=a$. Ceci étant vrai pour tout $b \in X$, on en déduit, par définition de $\{a\}$, que $X = \{a\}$.
  • gerard0
    Modifié (2 Apr)
    Bonjour.
    Dans les sous-ensembles de {a}, il ne peut y avoir comme élément que $a$. Donc soit le sous-ensemble contient $a$ (et pas d'autre élément}, soit il ne contient rien.
    Cordialement.
    NB. Rectifie ton $P(\{a\})=\{\varnothing,{a}\}$ qui devrait être $P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$. L'ensemble vide se note \emptyset en LaTeX et les accolades de $a$ n'ont pas été prises en compte.
  • Alexis6
    Modifié (2 Apr)
    Merci, j'ai corrigé ma question initiale. C'est le premier message que j'écris en utilisant le LaTeX, je ne suis pas habitué. J'ai une petite question Poirot, ta démonstration est limpide, mais pourquoi pars-tu d'un ensemble non vide ? A priori, cet ensemble peut être vide, non ? 

    Concernant ta réponse gerard, j'essayais de tendre vers une démonstration un peu plus rigoureuse, comme celle qu'a proposée Poirot.

    Je vais essayer de démontrer de même que $P(\{a,b\})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
  • JLapin
    Modifié (2 Apr)
     pourquoi pars-tu d'un ensemble non vide ?

    Tu veux démontrer que $X=\emptyset$ ou $X = \{a\}$.

    Il est donc logique de supposer que $X\neq \emptyset$ pour chercher à démontrer que $X = \{a\}$.

    On pourrait envisager de supposer que $X\neq \{a\}$ pour chercher à montrer que $X = \emptyset$ mais c'est plus pénible à rédiger.

  • Poirot
    Modifié (2 Apr)
    JLapin a très bien répondu mais je vais itérer. Une partie de $X$ est ou bien vide, ou bien non vide. Je montre que si elle n'est pas vide alors c'est $\{a\}$. Puisque le vide est toujours une partie d'un ensemble, on en déduit bien que les deux seules parties de $X$ sont le vide et $\{a\}$.
  • La démonstration de Poirot est exactement la même que la mienne. Je n'ai pas écrit ma preuve avec des symboles mathématiques, mais ce n'est pas une obligation.
  • Gérard, tu pourrais reconnaître que la formalisation est une étape importante pour tout apprenti mathématicien. J'espère que tu ne te contentes pas de dire à tes étudiants "on fait ci et ça et ça marche" ?
  • Alexis6
    Modifié (2 Apr)
    Au départ, j'avais rédigé comme ça 
    $X \in P(\{a\})$
    $\iff X \subset \{a\}$
    $\iff \forall b, b \in X \implies b \in \{a\}$
    $\iff X = \emptyset \lor X = \{a\}$
    $\iff P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$

    Mais le passage de la deuxième à la troisième équivalence ne me paraissait pas rigoureux. Merci de m'avoir mieux expliqué.
  • J'ai quand même une petite remarque sur la démonstration de Poirot :

    Soit $X$ un ensemble non vide inclus dans $\{a\}$ et soit $b \in X$. Puisque $X \subset \{a\}$, on a $b \in \{a\}$. Comme $a$ est le seul élément de $\{a\}$, on a bien $b=a$. Ceci étant vrai pour tout $b \in X$, on en déduit, par définition de $\{a\}$, que $X = \{a\}$.

    Tu as démontré, me semble t-il, $\forall X \ne \emptyset, \forall b, (b \in X \implies b=a)$
    Tu en déduis, par définition de $\{a\}$, que $X=\{a\}$
    Or selon mon cours $X=\{a\} \iff \forall b,  (b \in X \iff b=a)$
    Il manque donc à démontrer, si je ne me trompe pas, le sens réciproque,  $\forall b,  b=a \implies b \in X$, ce qui est équivalent à $\forall X \ne \emptyset, a \in X$ 
  • raoul.S
    Modifié (2 Apr)
    Il manque donc à démontrer, si je ne me trompe pas, le sens réciproque

    Vas-y, essaie de le démontrer.


    PS : ça fait quand même depuis longtemps que tu abordes la théorie des ensembles... :mrgreen:

  • Alexis6
    Modifié (2 Apr)
    raoul.S
    Simplement $\forall b, (b \in X \implies b=a)\implies (b\in X \implies a \in X)$.
    C'est peut-être évident, mais il faut l'écrire en principe non ?
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • raoul.S a dit :

    PS : ça fait quand même depuis longtemps que tu abordes la théorie des ensembles... :mrgreen:

    Oui, mais j'ai tout oublié depuis longtemps aussi, je suis en reprise d'études, pas fait de maths depuis presque 10 ans.
  • Congru
    Modifié (2 Apr)
    Notations:
    $\perp:=absurde$
    $\lnot := non$
    $\bigwedge \{A;B\}:= A\wedge B$
    Par le calcul:
    Family, mathematics, friends
  • Alexis6
    Modifié (2 Apr)
    Congru
    Pas mal !!
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Merci
    Family, mathematics, friends
  • Alexis6
    Modifié (2 Apr)
    J'aime bien ces notations formelles, mais je pense que j'ai un bagage insuffisant en logique pour tout saisir, même si je pense avoir compris l'essentiel (au bout de 20 mins à regarder). En tous cas merci beaucoup!
  • Congru
    Modifié (3 Apr)
    S'il y a un truc que tu n'as pas compris dans la notation, il suffit de me demander. Il y a une partie des notations qui m'est propre: ma façon de noter les conjonctions...réflexion faite, cela vient d'un de mes profs d'il y a plus de dix ans :D

    Edit. J'aime bien utiliser les questions des gens pour mettre en pratique certaines notions. C'est ce que je fais dans la feuille de calcule.
    Aussi, pour moi, une démonstration doit avoir aussi peu de langage courant que possible. Un point positif à avoir très peu de langage courant est le fait que tout le monde comprend peu importe la langue parlée ou non par le lecteur. Aussi je trouve le langage courant très peu adapté aux mathématiques.
    Family, mathematics, friends
  • Congru
    Modifié (2 Apr)
    Sinon, il existe une bijection canonique $f$ de $2^A$ vers $\mathcal P A$.
    $f$ associe à tout élément de $2^A$ son support.
    Family, mathematics, friends
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