Sous-algèbre de matrices engendrées par des groupes

Galois24
Modifié (2 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Si on se donne un corps $K$ et $n \geq 2$, on dispose de $A:=M_n(K)$ la $K$-algèbre des matrices à coefficients dans $K$, et de $G:=GL_n(K)$ le groupe linéaire des matrices inversibles à coefficients dans $K$. 
La sous-$K$-algèbre $KG$ de $A$ engendrée par $G$ est clairement $A$ tout entière : soit en effet $M \in A$. Si $M$ est inversible, alors $M \in G$. Si $M$ n'est pas inversible, alors :
1/ Si $M$ est nilpotente, il existe un $m \geq 1$ tel que $M^m$ est nulle, et on peut utiliser l'identité $(I_n - M)(I_n + M + \cdots + M^m) = I_n$ pour montrer que $M = I_n + (M - I_n) \in KG$ ;
2/ Si $M$ est non nilpotente, alors $M$ possède une valeur propre $\lambda$ non nulle, et on peut écrire $M = (M - \lambda I_n) + \lambda I_n \in KG$.
Maintenant, soit $H$ un sous-groupe de $G$. Sous quelles conditions impliquant $K, H, G$ a-t-on $KG = KH$ implique $G = H$ ?
Merci d'avance pour vos idées...
PS. On suppose bien sûr que $H$ contient tous les homothéties de rapport $k \in K \setminus \{ 0 \}$. Sinon, on aura du mal à avoir $H = G$.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (2 Apr)
    Ton traitement du cas 2) est étrange. Si $\lambda$ est valeur propre de $M$, la matrice $M-\lambda I_n$ n'est pas nécessairement nilpotente.
    Si tu veux montrer que la sous-algèbre engendré par $GL_n(K)$ est $M_n(K)$ tout entier, il te suffit de vérifier que chaque matrice de la base canonique est combinaison linéaire de (deux) matrices inversibles pas trop méchantes.
    Ensuite, si j'ai bien compris, tu souhaiterais des conditions sur un sous-groupe $H$ de $GL_n(K)$ pour que $H$ soit $GL_n(K)$ tout entier, donc en gros, fabriquer un énoncé d'exercice qui ressemble à ceci :  
    Soit $H$ un sous-groupe de $GL_n(K)$ contenant les matrices scalaires non nulles. On suppose que $Vect(H)=M_n(K)$ et aussi que ........
    Montrer que $H=GL_n(K)$.
    J'ai bien compris ta question ?
  • Georges Abitbol
    Modifié (2 Apr)
    C’est bizarrement quantifié ou bien ? Partout où on lit $G$, il faut lire le groupe linéaire ?

    EDIT : tu connais le lemme de Schur et le théorème du bicommutant ?
  • Galois24
    Modifié (6 Apr)
    Bonjour
    Merci pour ces éléments de réponses. Je me suis rendu compte, immédiatement après posté mon message, que j'avais écrit une blaguounette dans le point 2/ : si $\lambda \neq 0$ est une valeur propre de $M$, cela signifie que $M - \lambda Id$ est la matrice d'un endomorphisme non injectif, donc non bijectif. Par conséquent, cette matrice ne peut être inversible.
    On peut en revanche s'en sortir dans le cas suivants : le corps $K$ a le bon goût de contenir plus d'éléments que le spectre de $M$ complété par la valeur $0$ ; on choisit alors $\lambda$ telle que, au contraire, $\lambda \not\in Sp(M)$. Dans ce cas, on a bien $M - \lambda Id$ est inversible car $\lambda$ n,'est pas une valeur propre de $M$, et $\lambda Id$ est inversible car $\lambda$ est non nul.
    Donc, si on prend $K$ infini, tout va bien. Le problème, c'est le résultat m'intéresserait dans le cas où $K$. Et là, c'est un peu plus subtil.
  • JLapin a dit :
    Ton traitement du cas 2) est étrange. Si $\lambda$ est valeur propre de $M$, la matrice $M-\lambda I_n$ n'est pas nécessairement nilpotente.
    Si tu veux montrer que la sous-algèbre engendré par $GL_n(K)$ est $M_n(K)$ tout entier, il te suffit de vérifier que chaque matrice de la base canonique est combinaison linéaire de (deux) matrices inversibles pas trop méchantes.
    Ensuite, si j'ai bien compris, tu souhaiterais des conditions sur un sous-groupe $H$ de $GL_n(K)$ pour que $H$ soit $GL_n(K)$ tout entier, donc en gros, fabriquer un énoncé d'exercice qui ressemble à ceci :  
    Soit $H$ un sous-groupe de $GL_n(K)$ contenant les matrices scalaires non nulles. On suppose que $Vect(H)=M_n(K)$ et aussi que ........
    Montrer que $H=GL_n(K)$.
    J'ai bien compris ta question ?

    Sur le point 2, je renvoie à la correction que je viens de faire ci-dessus.

    En effet, la question est bien comprise une fois formulée ainsi, sauf qu'on ne veut pas seulement comme hypothèse vérifiée $Vect(H) = M_n(K)$ : on veut que la sous-$K$-algèbre de $M_n(K)$ engendrée par $H$ coïncide avec $M_n(K)$ tout entière...
  • Galois24
    Modifié (6 Apr)
    EDIT : tu connais le lemme de Schur et le théorème du bicommutant ?
    Comme ça, non... mais je vais regarder.
  • Sauf erreur, dès que $H$ est stable par produit et contient $I_n$, $Vect(H)$ est bien la plus petite sous-algèbre de $M_n(K)$ contenant $H$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.