Théorème central limite et convergence en probabilité

gimax

Bonjour

Je cherche à montrer (exercice trouvé sur une vieille feuille de TD) que le théorème central limite est faux pour la convergence en probabilité.

Soit $(X_n)_n$ une suite de VA i.i.d, de carré intégrable, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2>0$.

On note $Y_n=\dfrac{\sum_{k=1}^n X_k-nm}{n\sqrt \sigma}$.

EDIT Erreur d'énoncé, la variable $Y_n$ à considérer est $Y_n=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{n}}\Big(\sum_{i=1}^n X_i-nm\Big)$.

Il s'agit donc de montrer que la suite $Y_n$ ne converge pas en probabilité. Pour cela, je bénéficie de l'indication suivante  : "raisonner par l'absurde et montrer qu'alors $Y_{2n}-Y_n$ ne converge pas $0$ en probabilité".

Malheureusement, en dépit de l'indication, je nage complètement : je ne vois pas comment partir. Je ne vois pas comment minorer $P(|Y_{2n}-Y_n| \geq \epsilon)$ pour montrer que ça ne tend pas vers $0$.

Si une bonne âme veut bien me mettre sur une piste...

Bonne semaine !
Gimax

Lucas

Bonjour

Effectivement c'est pas évident de démarrer.

Une indication : essaie de voir si par hasard $(Y_{2n}-Y_n)$ ne convergerait pas en loi vers quelque chose de connu, et qui ne serait pas la variable aléatoire constante égale à zéro.

gimax

Merci Lucas ! Mais, je suis toujours à la ramasse. Le TCL me dit que la suite $(Y_n)$ converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite. Il en est évidemment de même pour la sous-suite $(Y_{2n})$. Mais pour la différence, j'avoue que je ne sais pas quoi dire. J'imagine qu'on retrouve une loi normale, mais je ne vois pas du tout comment ni pourquoi...

Pomme de terre

Tu peux réarranger les termes de manière à exprimer $Y_{2n} - Y_n$ en fonction des variables aléatoires $(X_{n+i} - X_i)$ avec $1 \leq i \leq n$.
Un coup de TCL te donne alors la loi limite de $Y_{2n} - Y_n$.

P.S. Une autre solution de l'exercice consiste à remarquer que si $Y_n \to Z$ en probabilité, alors $Z$ est mesurable par rapport à la tribu asymptotique $\bigcap_{n\geq 1} \sigma(X_n,X_{n+1},\dots)$ et donc constante presque sûrement (loi du Zéro-Un).

gimax

Merci Pomme de terre ! Ce n'est pas encore clair pour moi, mais je suis très lent, donc c'est normal Je vais réfléchir à ton message posément demain. Si je ne me manifeste pas à nouveau, c'est que j'ai fini pas y arriver avec vos indications à tous les deux, Pomme de terre et Lucas. Merci à vous !

gebrane

Tu peux regarder 

gimax

Merci à tous pour vos contributions. Bon j'ai essayé d'avancer en suivant les indications de @Lucas et de Pomme de terre, mais j'ai du mal... Voici où j'en suis :

On suppose donc que la suite
$$
Y_{2n}-Y_n= \frac{1}{\sigma\sqrt{2n}}\Big(\sum_{i=1}^nX_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i-(2-\sqrt{2})nm\Big)
$$ converge vers $0$ en probabilité.
Or,
$E((X_{n+i}+(1-\sqrt{2}X_i)^2)=E(X_{n+i}^2)+ (1-\sqrt{2})^2E(X_i^2)+2(1-\sqrt{2})E(X_{n+i})E(X_i)$ par indépendance des variables aléatoires.

Ce qui donne
$E((X_{n+i}+(1-\sqrt{2}X_i)^2) =[4-2\sqrt{2}]E(X^2) + (2-2\sqrt{2})E(X)^2$ où je note une $X$ une VA de même loi que les $X_i$.

On a aussi
$[E(X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i)]^2=\big(E(X_{n+i} +(1-\sqrt{2})E(X_i))^2= (2+\sqrt{2})^2E(X)^2=(6-4\sqrt{2})E(X)^2$.
D'où \begin{align*}
Var(X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i)& = [4-2\sqrt{2}]E(X^2) + (2-2\sqrt{2})E(X)^2-(6-4\sqrt{2})E(X)^2\\
& = (4-2\sqrt{2})(E(X^2)-E(X)^2) = (4-2\sqrt{2}) \sigma^2 >0
\end{align*}
Ainsi le TCL s'applique à la suite des VA $(X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i)$ car elles sont par ailleurs i.i.d et permet de dire que
$$
\frac{1}{\sigma \sqrt{4-2\sqrt{2}}\sqrt{n}}\Big(\sum_{i=1}^n(X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i)-n(2-\sqrt{2})m\Big)
$$ converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite.
Autrement dit $\frac{\sqrt{2}}{\sigma \sqrt{4-2\sqrt{2}}}(Y_{2n}-Y_n)$ converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite. La convergence en probabilité impliquant la convergence en loi, j'obtiens une contradiction.

MAIS je ne suis pas très convaincu : mon problème vient de ce que la suite $(X_{n+i} +(1-\sqrt{2})X_i)$ est doublement indexée ; le fait que l'indice des VA dans la somme $\sum_{i=1}^nX_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i$ varie avec $n$ me laisse de gros doutes quant à l'opportunité d'appliquer tel quel le TCL.

GaBuZoMeu

Bonjour,

J'ai l'impression que tu t'emmêles les pinceaux dans tes calculs. Un conseil : tu ne perds pas en généralité en supposant $m=0$ et $\sigma = 1$, de sorte que $Y_n=\dfrac1n \sum_{k=1}^n X_k$. Tu y verras plus clair pour calculer $Y_{2n}-Y_n$.

gimax

Je crois que j'ai surtout mal mis une racine carré dans mon premier message, la suite $Y_n$, celle que je considère par la suite, c'est
$$
Y_n= \frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\Big( \sum_{i=1}^n X_i-nm\Big).
$$
En tout cas, c'est elle qui converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite par le TCL. Et c'est aussi elle qui est indiquée dans mon énoncé et c'est avec elle que j'ai travaillé dans mon précédent message. Je crois alors que mes calculs sont justes.Mais reprenons avec $\sigma=1$ et $m=0$.
Alors $Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i$.
Donc $$
Y_{2n}-Y_n=\frac{1}{\sqrt{2n}}\Big(\sum_{i=1}^nX_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i\Big).
$$

Mais je ne vois pas trop en quoi ça résout mon problème. Partant de là, je voulais appliquer le TCL à la suite de VA $X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i$ qui est i.i.d car les $X_n$ le sont et de variance $>0$ (en l'occurrence égale à $4-2\sqrt{2}$). En effet le TCL me permettrait de dire qu'alors  (puisque que l'espérance des $X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i$ est alors encore nulle)
$$
\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{n}}\Big(\sum_{i=1}^n X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i\Big)
$$
converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite, ce qui me donnerait ma contradiction.
Bon, il n'est malheureusement pas exclu que je sois complètement à côté de la plaque, mais en considérant la bonne suite $Y_n$, je ne vois pas ce qui cloche dans mes calculs...

GaBuZoMeu

OK pour les calculs.

Quelle est la variance de $Y_{2n}-Y_n$ ? Est-ce possible si $Y_{2n}-Y_n$ converge vers $0$ en probabilité ?

gimax

@GaBuZoMeu : la variance de $Y_{2n}-Y_{n}$ est $(4-2\sqrt{2})\sigma^2$ qui est constante et strictement positive. Ce n'est pas complètement clair pour moi, mais si je comprends bien le sens de ta question si une suite $X_n$ converge en proba vers $0$, la suite des variances devrait tendre vers $0$. Ce qui, dans le cas présent, permettrait de conclure sans avoir recours au TCL.

GaBuZoMeu

Non, je t'emmène dans une mauvaise piste, excuse-moi.

gimax

D'ailleurs, ce n'est pas la variance de $Y_{2n}-Y_n$ qui vaut $(4-2\sqrt{2})\sigma$, c'est celle de $X_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i$. Ma dernière réponse était donc à côté de la plaque. Pour celle de $Y_{2n}-Y_n$, j'ai d'autant plus la flemme de faire le calcul que tu dis que c'est une mauvaise piste...

GaBuZoMeu

Non, c'est bien la variance de $Y_{2n}-Y_n$, et d'ailleurs elle vaut en fait $(2-\sqrt2)\sigma^2$ !

gimax

Ok. Mais celle que j'avais donnée n'était pas la bonne. Tu confirmes donc que ça donne la contradiction ?

GaBuZoMeu

Non, je ne confirme pas.

gebrane

gimax travaille le lien que je t'ai donné c'est clair et limpide

gebrane

Effacé faux

gimax

@GaBuZoMeu : ok, merci ! Bon, ça me rassure, parce que je ne voyais pas du tout comment conclure...

@gebrane : merci pour ton lien, je l'étudierai sans doute après mais pour l'heure j'ai envie de mettre au point l'exercice tel qu'il est posé. En fait, je travaille juste pour moi, je veux dire que je n'ai pas d'autres objectifs que de satisfaire ma curiosité personnelle. Donc en l'état, ce n'est pas tant une preuve du résultat que je cherche, mais c'est de comprendre comment marche la méthode suggérée par l'exercice. Or le lien que tu as donné utilise une autre méthode...

Pomme de terre

@gimax désolé pour mon indication un peu trompeuse, je m'étais fait avoir par ta coquille.

converge en loi vers une VA de loi normale centrée réduite, ce qui me donnerait ma contradiction.
Bon, il n'est malheureusement pas exclu que je sois complètement à côté de la plaque, mais en considérant la bonne suite Yn, je ne vois pas ce qui cloche dans mes calculs...

Je n'ai pas vérifié le calcul mais ça me semble bon sur le principe !

gimax

Merci @Pomme de terre ! Est-ce que tu pourrais alors me dire comment lever cette difficulté :

MAIS je ne suis pas très convaincu : mon problème vient de ce que la suite $(X_{n+i} +(1-\sqrt{2})X_i)$ est doublement indexée ; le fait que l'indice des VA dans la somme $\sum_{i=1}^nX_{n+i}+(1-\sqrt{2})X_i$ varie avec $n$ me laisse de gros doutes quant à l'opportunité d'appliquer tel quel le TCL.

Pomme de terre

Ta prudence est louable. Mais l'indexation n'a pas vraiment d'importance tant qu'on ne s'intéresse qu'à la loi de $Y_{2n} - Y_n$, car la suite $(X_i)$ est i.i.d. Par exemple, on dispose pour tout $n \geq 1$ de l'égalité en loi :

$$\frac1{\sqrt n} \sum_{i=1}^n [X_{n+i} + (1-\sqrt 2)X_i] \ \sim\ \frac1{\sqrt n} \sum_{i=1}^n [X_{2i} + (1-\sqrt 2) X_{2i-1}],$$

par simple permutation des indices. On peut alors appliquer le TCL usuel pour obtenir la loi limite.

gimax

Merci @Pomme de terre ! Je vais réfléchir à ça !

gebrane

Dans mon post précèdent effacé, j'avais commis en erreur, on a plutot
$\frac{S_n}{\sqrt{n}} -\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}\xrightarrow{\text{en loi} } \mathcal{N}(0,(\frac{1+(\sqrt 2  -1)^2}{2})$

Foys

Soient $(\Omega,\mathcal A, P)$ un espace probabilisé,  $(X_n)_{n\in \N}$ une suite de variables aléatoires $L^2$ indépendantes identiquement distribuées sur $\Omega$. On pose $\mu:= E(X_1)$ et $\sigma := \sqrt {E \left ( (X_1 - \mu )^2\right )}$. On suppose que $\sigma>0$ (ne serait-ce que pour légitimer la division qui va suivre immédiatement). Pour tout entier $n\in \N$, $Y_n:= \sum_{k=1}^{n} \frac{X_k - \mu}{\sigma \sqrt n}$ $Z_n:= \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{X_k - \mu}{\sigma \sqrt n}$.

0°) Alors $Y_n$ et $Z_n$ sont de même loi pour tout entier $n$ et de plus indépendantes. 

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INTERLUDE: le théorème central-limite.

1°) Pour toute fonction continue et bornée $f$ de $\R$ dans $\C$, $E(f(Y_n)) \underset {n \to +\infty}{\longrightarrow} \int_{\R} f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx$ (cet énoncé s'appelle le théorème "central-limite". Cet énoncé est démontré en commençant par des $f$ particulières de la forme $x \mapsto \exp (i a x)$ avec $a$ réel puis $f$ périodique de période quelconque puis $f$ à support compact en s'appuyant sur le fait que $x \mapsto \exp \left ( \frac{-x^2}{2}  \right)$ est intégrable; de mémoire cette astuce est due à Paul Lévy ?).

2°) Le théorème central-limite existe sous une forme plus maniable: pour tout réel $r$, $P(Y_n \geq r ) \underset {n \to +\infty}{\longrightarrow} \int_r^{+\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx$

Pour tout réels $a,b$ tels que $b>0$ on pose $g_{a,b}(x):= \max \left  \{0, \min \left \{1, \frac {x - a} b \right \} \right\}$

Pour tout réel $r$ et tout réel $s>0$, on a $$\int_{\R} g_{r, s}(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \leq \int_r^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx = \int_{\R} \mathbf 1_{[r, +\infty [}(x)  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \leq \int_{\R} g_{r-s, s} (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \tag{$\dagger$}$$ (simplement en raison des inégalités $g_{r,s}(x) \leq \mathbf 1_{[r,+\infty[} (x)\leq g_{r-s,s}(x)$ valables pour tout $x\in \R$).

Or, $$\begin{align} 0 \leq \int_{\R} g_{r-s, s} (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx - \int_{\R} g_{r, s}(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx  & =  \int_{\R} \left (g_{r-s, s} (x) - g_{r,s} (x) \right)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \\
& \leq \int_{\R} \mathbf 1_{[r-s, r+s]} (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx  \\ & \leq  \int_{\R} \mathbf 1_{[r-s, r+s]} (x)   \frac{1}{\sqrt {2\pi}} dx  \\  & = \frac{2s}{\sqrt{2\pi}} \tag{$\dagger \dagger$}\end{align}$$
Soient $\varepsilon>0$, $r\in \R$, $s>0$ tel que $\frac {2s}{\sqrt{2\pi}} < \varepsilon$,  et $N\in  \N$ tel que pour tout $n \geq N$, $\big | E ( g_{r-s, s} (Y_n)) - \int_{\R} g_{r-s, s} (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \big | \leq \varepsilon$ et $\big | E (g_{r, s} (Y_n)) -\int_{\R} g_{r-s, s} (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \big | \leq \varepsilon$.
Alors, comme on a également pour tout $n$, $$E(g_{r, s} (Y_n)) \leq E(\mathbf 1_{r,+\infty} (Y_n)) = P(Y_n \geq r) \leq E(g_{r, s} (Y_n)) \tag{$\dagger \dagger \dagger$}$$, il résulte de $(\dagger)$, $(\dagger \dagger)$ et $(\dagger \dagger \dagger)$ que pour tout $n\geq \N$, $P(Y_n \geq r)$ est dans l'intervalle $\left [\int_r^{+\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx - 2\varepsilon, \int_r^{+\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx +2 \varepsilon \right ]$ ce qui entraîne le résultat souhaité.

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Solution de l'exo de Gimax. Les notations sont celles de 0°) ci-dessus.
Pour tout entier $n$ on a l'égalité $\frac 1 {\sqrt 2} \left ( Y_n + Z_n\right ) = Y_{2n}$. 

Alors $Y_{2n} - Y_n = \left (\frac{1}{\sqrt 2} - 1\right) Y_n + \frac 1 {\sqrt 2} Z_n$.

Soit $r>0$ un nombre réel positif. Alors $$\begin{align} P(Y_{2n} - Y_n \geq r) &  \geq P\left (  \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) Y_n \geq \frac r 2 \wedge  \frac 1 {\sqrt 2} Z_n \geq \frac r 2\right )  \\ &  \geq P \left (   \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) Y_n \geq \frac r 2  \right ) P \left ( \frac 1 {\sqrt 2} Z_n \geq \frac r 2 \right ) \\ & = P \left (   \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) Y_n \geq \frac r 2  \right ) P \left ( \frac 1 {\sqrt 2} Y_n \geq \frac r 2 \right )   \\ & \geq P \left (   \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) Y_n > \frac r 3  \right ) P \left ( \frac 1 {\sqrt 2} Y_n \geq \frac r 2 \right )
\\ & = P \left (   - \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) Y_n < - \frac r 3  \right ) P \left ( \frac 1 {\sqrt 2} Y_n \geq \frac r 2 \right )
\\ & = \left (1 -  P \left (    \left ( \frac 1 {\sqrt 2} - 1 \right ) (-Y_n) \geq  - \frac r 3  \right ) \right ) P \left ( \frac 1 {\sqrt 2} Y_n \geq \frac r 2 \right )  \\ & = \left (1 -  P \left ( Y_n \geq  \left ( 1 - \frac{1}{\sqrt 2} \right ) ^{-1}\frac {-r} 3  \right ) \right ) P \left (  Y_n \geq \frac r {\sqrt 2} \right )   \tag{$*$}\end{align}$$
Le remplacement de $Y_n$ par $Z_n$ à la -ième ligne de ce calcul est simplement dû au fait que $Y_n$ et $Z_n$ sont égales en loi.

Or, lorsque $n$ tend vers l'infini, en posant $a:=\left (1 - \frac 1 {\sqrt 2} \right )^{-1} \frac{-r}{3}$ et $b:=\frac r {\sqrt 2}$, la dernière ligne de $(*)$ tend vers $\left ( 1 - \int_a^{+\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx  \right ) \left (  \int_b^{+\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( - \frac {x^2} 2\right) dx \right )$ qui est un nombre réel stritement positif. Ceci empêche la convergence en proba de $Y_n$ vers une autre variable aléatoire.