Toutes les structures de l'agrégation interne

Bonjour à tous
J'ai toujours été un peu perdu devant la liste des structures dans lesquelles travailler, du coup je vais essayer d'en faire un résumé. Dîtes-moi si j'oublie quelque chose d'important ou si je dis une bêtise.
Comme dit dans le titre, je me limite aux structures du programme de l'agrégation interne.

1. Groupe $(G, +)$
+ LCI associative et admet un élément neutre, tout élément admet un inverse.
1.1 Groupe abélien : Groupe commutatif
1.2 Groupe Monogène : Groupe engendré par un seul élément
1.3 Groupe Cyclique : Groupe monogène fini

2. Sous-Groupe H de $(G, +)$
$H\subset G$, $(H, +)$ est un groupe.
2.1 Sous-Groupe distingué : H est stable par conjugaison (si $x, y \in H\times G$, $x+h-x\in H$).

3. Anneau $(A, +, \times) $
+ est commutative, $\times$ est associative, distributive sur + et admet un élément neutre.
3.1 Anneau commutatif : $\times$ est commutative
3.2 Anneau principal : A est commutatif, intègre et tout ses ideaux sont principaux.

4. Idéal $I$ de $(A, +, \times)$
$(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$. Pour tout $x\in I$ et $y\in A$, $x.y\in I$ et $y.x\in I$
4.1 Idéal principal : Idéal engendré par un seul élément
4.2 Idéal maximal : Le seul idéal qui contient strictement $I$ est $A$.

5. Corps
Anneau dont tout élément non nul admet un inverse.
5.1 Corps commutatif : L'anneau est commutatif

6. $\mathbb{K}$-Espace vectoriel $(E, +, .)$
$\mathbb{K}$ est un corps, $(E, +)$ un groupe commutatif, "." est est une application de $\mathbb{K}\times E$ dans $E$ qui est, par abus de langage, "associative" et "distributive".

7. Sous espace vectoriel $F$ du $\mathbb{K}$-Espace vectoriel $(E, +, .)$
$F\subset E$ et $(F, +, .)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.

8. Ensembles quotients $E/H$ (ou $E/R$)
8.1 Groupe quotient : $(E, +)$ un groupe et $H$ un sous groupe distingué de $E$. Alors $(E/H, \bar{+})$ est le groupe des classes d'équivalences des éléments de $E$ par la relation $R$ définie par $xRy \iff x-y\in H$.
8.2 Anneau quotient : même chose, mais $E$ et $E/H$ sont dotés d'une structure d'anneau.
8.3 Espace vectoriel quotient : même chose, mais $E$ et $E/H$ sont dotés d'une structure d'espace vectoriel.

9. Espace affine $(\mathcal{E}, \bar{+})$ attaché à un $\mathbb{K}$-Espace vectoriel $(E, +, .)$
$\bar{+}$ est une action du groupe $(E, +)$ sur l'ensemble $\mathcal{E}$. Pour $A, B\in \mathcal{E}$, il existe un unique $u\in E$ tel que $A=B\bar{+}u$

10. $\mathbb{K}$-Algèbre $(A, +, ., \times)$
$(A, +, .)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $\times$ une LCI bilinéaire.
10.1 Algèbre commutative (resp. unitaire, asociative) : $\times$ est commutative (resp. unitaire, asociative).

11. Espace préhilbertien $(E, +, ., <>)$
$(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $<>$ une forme bilinéaire symétrique définie-positive ou une forme hermitienne définie-positive (selon que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.)

12. Espace euclidien $(E, +, ., <>)$
$\mathbb{R}$-Espace préhilbertien de dimension finie.

13. Espace hermitien $(E, +, ., <>)$
$\mathbb{C}$-Espace préhilbertien de dimension finie.

14. Espace de Hilbert $(E, +, ., <>)$
Espace préhilbertien complet (toute suite de Cauchy converge)

15. $\mathbb{K}$-Espace vectoriel normé $(E, +, ||.||)$
Espace vectoriel muni d'une norme, une application de $E$ dans $\mathbb{R}$ qui vérifie la séparation, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire. On peut définir une norme (et donc un EVN) à partir d'un produit scalaire (donc d'un espace euclidien/hermitien/préhilbertien/ de Hilbert) : $||x|| = \sqrt{< x ; x >}$

16. Espace métrique $(E, d)$
Ensemble muni d'une distance, application de $E^2$ dans $\mathbb{R}$ qui vérifie la séparation, la symétrie et l'inégalité triangulaire. On peut définir une distance (et donc un espace métrique) à partir d'une norme $d(x, y) = ||x-y||$ (donc d'un EVN)

17. Espace de Banach
Espace vectoriel normé complet (toute suite de Cauchy converge)

18. Tribu de $\Omega$
Sous-ensemble des parties de $\Omega$. Contient $\Omega$ lui-même, est stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable.

19. Espace probabilisé $(\Omega, A, \mathbb{P})$
$A$ une tribu de $\Omega$, $\mathbb P$ une application de $A$ dans $[0, 1]$ vérifiant $\mathbb P (\Omega) = 1$ et, pour toute suite $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $A$ deux à deux disjoints, $\mathbb P ( \bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n\in \mathbb{N}} \mathbb P (A_n)$.
Mots clés:

Réponses

  • Espace de Banach : Espace métrique complet

    Coquille, c'est plutôt un espace vectoriel normé et complet.

  • Pas d'espèce de structure topologique à l'agrégation ? Pas d'espèce de structure tribale à l'agrégation ? (...)
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Merci @raoul.S, je corrige.
    Tribus à rajouter effectivement. Topologie pas que je sache.
  • J'ai ajouté Tribu, et donc logiquement aussi espace probabilisé.
  • Pour l’agrégation interne : certes la notion de tribu mais peu de choses exigibles, il me semble. Au moins en pratique. 
    En effet c’est pour la partie « probabilités » que l’on a besoin de l’outil mais rappelons qu’il n’y a pas l’intégrale de Lebesgue. 
    C’est un peu flou…
    Idem pour la notion de disque de convergence (dans $\mathbb C$) mais sans aucune théorie de l’analyse complexe (une dérivation « au sens réel »).  
  • Pour la K-algèbre (A,+;×,.), c’est un anneau (A,+,×), un K-espace vectoriel (A,+,.) avec une règle supplémentaire pour gérer les deux multiplications : k.(x×y)=(k.x)×y=x×(k.y) avec k, x et y où il faut.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Je pensais cela aussi mais où place-t-on les algèbres non associatives ?
  • Nulle part dans le programme de l'agrégation (interne ou externe).
  • Salut, tu peux rajouter espace affine non ?
  • Il y a aussi « idéal » qui est sous-jacent dans le cours sur les anneaux et mieux que sous-anneaux.
  • Salut,
    peut-être ajouter dans cet ordre : sous-groupe, sous-groupe distingué, ensemble quotient, groupe quotient.
    +1 pour les espaces affines et les idéaux !!! :)
  • Que dire alors de l'opération d'un groupe sur un ensemble ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Corrigé pour algèbre.
    Ajouté sous-groupe, sous-groupe distingué, idéal et groupe quotient (ensemble quotient c'est juste le groupe quotient sans structure de groupe, non?)
    Pour être cohérent avec sous-groupe, sous-espace vectoriel.
    Ajouté espace affine. (dîtes-moi si c'est bon, je crois que j'ai enfin compris ce que c'était en l'écrivant... D'où l'intérêt de l'exercice ^^')
  • Je pense que le terme « ensembles quotients » inclut les groupes quotients, les anneaux quotients et les espaces vectoriels quotients (donc un groupe quotienté par un sous groupe distingué, un anneau - commutatif il me semble - quotienté par un idéal et un espace vectoriel quotienté par un sous-espace vectoriel)
  • NicoLeProf
    Modifié (3 Apr)
    Hello Matricule,
    pour l'idéal ce n'est pas ça la déf, c'est une notion liée aux anneaux.
    On dit qu'une partie $I$ d'un anneau $(A,+,.)$ est un idéal (bilatère) si $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ et si pour tout $a \in A$ et tout $x \in I$, $a.x \in I$ et $x.a \in I$.
  • Et une remarque de notation : en général on utilise une loi multiplicative pour définir les sous-groupes distingués (par convention les lois additives sont commutatives et tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué)
  • @NicoLeProf Oui effectivement ^^'
    @Etienne91 J'ai tiqué en l'écrivant, mais vu que j'ai mis $+$ partout...
  • Beau boulot. 
    Chouette fil de discussion 😀. Ce sera une référence à conserver 😏
  • Oui bravo j’aurais aimé avoir cette liste quand j’ai commencé ma préparation ! Dernière remarque : dans la définition d’espace probabilisé, il faut préciser que les $A_i$ sont disjoints, sinon on a simplement une inégalité
  • Pouvez-vous donner un lien vers le programme officiel de l'agrégation interne aujourd'hui ? Merci.
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    J'ai demandé le programme parce qu'on a toujours les soucis de définition pour : anneau, corps, algèbre.
    • Si j'ai bien lu, il est bien précisé qu'un anneau a un élément-unité (sinon il n'est qu'un pseudo-anneau). C'est la définition « moderne » depuis pas mal de temps, disons une cinquantaine d'années, mais on a vu dans d'autres fils qu'il existe encore pas mal de publications, en français ou en anglais, où la précision est nécessaire. Ici, le programme est parfaitement clair.
    • Un corps n'est pas nécessairement commutatif, puisque le programme précise plusieurs fois « corps commutatif », c'est donc qu'il pourrait ne pas l'être. On en a discuté aussi sur ce forum, il y a des partisans du concept de corps comprenant la commutativité et des partisans de l'autre option, avec des arguments des deux côtés.
    • Pour algèbre, il est impossible de savoir ce que c'est, $~~$ car si j'ai bien lu, $~~$ le mot n'apparaît que pour désigner telle ou telle algèbre, $~~$ comme $~~$ « algèbre $K[X]$ » ou « algèbre $\mathcal L(E) $ ». 
    Moi je suis partisan d'une définition « minimaliste » de la structure d'algèbre, $~~$ selon le Dictionnaire de Chambadal. Si $K$ est un corps commutatif, une $K$-algèbre est un $K$-espace vectoriel $E$ muni d'une application bilinéaire $(x,y) \mapsto xy$ de $E \times E $ dans $E$, qu'on peut appeler une multiplication interne, et c'est tout. En raison de la bilinéarité, cette multiplication interne est distributive sur l'addition. Elle peut être de plus associative, commutative, unifère (unitaire) ou ne pas l'être, et dans chaque affirmative ce qualificatif sera attribué à l'algèbre. 
    Un exemple d'algèbre dépourvue de ces propriétés supplémentaires est le $\mathbb R$-espace vectoriel $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel. 
    Si l'algèbre est associative, alors l'addition et la multiplication interne lui confèrent une structure de pseudo-anneau, et d'anneau si elle est de plus unitaire. C'est le cas le plus fréquent et sans doute le plus intéressant.
  • C'est à dessein que j'ai donné un lien vers la racine du site et non un lien direct vers un fichier PDF hébergé sur un serveur. C'est ce que suggère la netiquette.
    La page d'accueil https://interne.agreg.org/ permet d'aller sur une page "Textes officiels" où figure un lien vers un PDF avec un programme pour 2023 faisant d'ailleurs référence au programme de 2022, ainsi que, plus loin, une mention du programme de l'écrit expliquant qu'il s'agit du programme du second degré avec un programme complémentaire et un lien vers un PDF avec un programme portant la mention 2021. Pour l'écrit. En ce qui concerne l'oral, il y est écrit d'aller voir sur le site du ministère chargé de l'éducation nationale. Chacun peut donc aller chercher les sites susceptibles de contenir des bribes d'information et se reconstituer le programme.

  • @Chaurien : $\Z[X]$ est-il une algèbre ?
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    Bonne question @gai requin. Moi je n'invente rien, je ne prétends rien imposer, c'est juste une proposition, qui se réfère à : Lucien Chambadal, Dictionnaire de mathématiques, Classiques Hachette, Hachette 1978, p. 12. Il faudrait regarder aussi dans d'autres ouvrages analogues pour voir s'ils adoptent le même point de vue. 
    Avec la définition que j'ai donnée, une algèbre se définit déjà comme un espace vectoriel sur un corps commutatif $K$. Or $\mathbb Z [X]$ n'est déjà pas un tel espace vectoriel : ce n'est donc pas une algèbre.
    On peut bien sûr proposer une autre définition pour une algèbre, mais les définitions habituelles, à ma connaissance, partent toujours d'un espace vectoriel, y compris la définition 11 donnée par @Matricule_63 en tête de ce fil. Il est donc à craindre que $\mathbb Z [X]$ ne soit jamais une algèbre.
  • Sato
    Modifié (4 Apr)
    Je prends au mot le site https://interne.agreg.org et m'en vais consulter le site de ministère chargé de l'éducation nationale.
    https://duckduckgo.com/?q=education+nationale+gouv&ia=web
    Programmes des concours
    Consulter les programmes https://www.devenirenseignant.gouv.fr/les-programmes-des-concours-d-enseignants-du-second-degre-de-la session-2024-1229
    Concours interne de l'agrégation et CAERPA
    Section mathématiques
    Le programme a été publié le 29 mars 2023
    https://www.devenirenseignant.gouv.fr/media/6413/download (qui donne un PDF)
    Jusqu'ici, cela va assez vite. Les pages sont peu accessibles mais avec des recherches textuelles évidentes, on y arrive rapidement à suivre la chaîne de liens.
    Voyons ce programme. Si on prend le contenu au mot, c'est la même chose que le document fourni sur https://interne.agreg.org mais avec un chiffre 3 changé en 4 et un 2 changé en 3 (qui lui-même avait un chiffre changé en etc.)
    Ah mais est-ce celui de l'oral ?
    Il fallait s'arrêter plus haut à l'antépénultìème lien. Reprenons.
    Les épreuves des concours
    Les concours de recrutement se déroulent en deux phases : l'admissibilité et l'admission.
    Consulter le descriptif des épreuves de la session 2024 https://www.devenirenseignant.gouv.fr/les-epreuves-des-concours-de-recrutement-d-enseignants-du-second-degre-de-la-session-2024-1097
    [Contrairement à l'autre, cette page a un sommaire ce qui est plus agréable.]
    Les épreuves de l'agrégation interne et du CAERPA section mathématiques https://www.devenirenseignant.gouv.fr/les-epreuves-de-l-agregation-interne-et-du-caerpa-section-mathematiques-982
    Enfin ! On peut lire le programme officiel de ces oraux.
    devenirenseignant.gouv.fr a dit :
    Les épreuves orales ont pour objectif d'évaluer la capacité de concevoir, de mettre en œuvre et d'analyser l'enseignement d'une question mathématique donnée. Elles portent sur le programme de l'enseignement du second degré et sur une partie du programme complémentaire de l'écrit.
    Il n'est pas dit explicitement ce qu'il y a derrière ce une partie.

  • Sur wikipedia, on part d'un module plutôt que d'un espace vectoriel, ce qui permet d'englober plus d'objets.
  • Merci Dom et Etienne, effectivement (et surprenamment) je n'ai pas réussi à mettre la main sur ce genre de résumé!

    Ok donc corps pas forcément commutatif, corrigé pour la définition de probabilité, ajouté anneaux quotients et espaces vectoriels quotients.

    Pour algèbre je serais d'accord avec Chaurien, une définition minimaliste colle mieux au programme tel qu'il est écrit.

    Quitte à faire une synthèse, j'ai commencé aussi à mettre les principaux qualificatifs (abélien, principal, ...)
  • Superbe et très intéressante initiative @Matricule_63
  • raoul.S
    Modifié (4 Apr)
    Je reviens sur la définition de probabilité qui n'est pas encore bonne. Il faut remplacer $\mathbb P ( \bigcup A_i) = \sum A_i$ pour des $A_i$ de réunion deux à deux vide

    par :  pour toute suite $(A_n)$ d'ensembles mesurables deux à deux disjoints, $\mathbb P ( \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n$.

    Edit : Coquille, il faut évidemment lire $\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb P(A_n)$ à droite de la dernière égalité...
  • Matricule_63
    Modifié (4 Apr)
    Merci Jaymz!

    @raoul.S, la notion d'ensemble mesurable n'est pas au programme de l'interne il me semble?
    Dans le Dantzer, on a 
    $A_1, ... A_n$ évènements deux à deux incompatibles, $\mathbb{P} (\cup_{k=1}^n A_k) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)$
    (et pas $\sum A_k$, évidemment...).

    Avec "évènement" défini uniquement comme un élément de la tribu A.
  • raoul.S
    Modifié (4 Apr)
    Un ensemble mesurable est simplement un élément de ta tribu. Dans le cadre des probabilité on dit événement effectivement. Par contre l'union et la somme ne sont pas finis dans les axiomes, c'est bien $\mathbb P ( \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb P(A_n)$.
  • Effectivement, j'ai recopié un corolaire et pas la définition ^^'
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    Et au fait, qu'est-ce que deux événements $A$ et $B$ incompatibles : est-ce $A\cap B=\varnothing $, ou bien $P(A \cap $ $B ) = 0$ ?
    Ou bien est-ce une question idiote ?
  • Ça veut dire $A\cap B=\varnothing$.
  • Habituellement disjoint, l'autre est une conséquence directe de la définition de probabilité.
    Maintenant, on pourrait aussi faire dans l'autre sens, non? Définir d'abord la probabilité, puis la tribu? (un peu comme en topologie, où on peut définir l'ensemble des ouverts avant la distance)
  • Pour la définition de $\mathbb{K}$-algèbre, j'ai quand-même l'impression que la déf donnée par Matricule dans son premier message qui est celle rappelée par Chaurien est la plus courante. Et c'est celle attendue à l'agrégation interne (ayant eu une question dessus à l'oral $2$, je peux le confirmer).
    Bien sûr, avec cette déf, $\mathbb{Z}[X]$ n'est pas une $\mathbb{K}$-algèbre puisque ce n'est même pas un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
  • Chaurien
    Modifié (4 Apr)
    On pourrait définir des événements quasi-certains par $P(A)=1$, quasi-impossibles par $P(A)=0$, quasi-incompatibles par $P(A \cap $$B)=0$.
     Si des événements $A_1,A_2,...,A_n$ sont deux à deux quasi-incompatibles, alors $ P ( \bigcup_{k=1}^{n} A_k) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)$.

  • J’ai déjà vu une définition de ce genre en théorie de la mesure.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Matricule_63 a dit : 
    Maintenant, on pourrait aussi faire dans l'autre sens, non? Définir d'abord la probabilité, puis la tribu?

    On dirait que oui (voir mesure extérieure).

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    @Chaurien plus généralement, si les événements de la suite $(A_n)$ sont deux à deux quasi-incompatibles alors $P ( \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n) = \sum_{n=0}^{\infty} P(A_n)$

  • Math Coss
    Modifié (6 Apr)
    Je ne crois pas qu'on ait des quotients d'espaces vectoriels à l'interne.
    PS (après avoir regardé le programme après le message ci-dessous) : Ah, si !
  • agregagreg2
    Modifié (4 Apr)
    Y'a bien les ev quotients, avec en l'occurrence "isomorphisme entre Im(u) et E/Ker(u)" et "Dimension du quotient E/F".  

    Par ailleurs, comme certains pensent que ce fil pourrait être particulièrement utile, est-il dans la bonne catégorie ? D'autant plus que mes expériences avec la fonction de recherche du site n'étaient pas top top.
  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    Complément à mon précédent message à propos de la définition d'« algèbre ». Celle qui a ma préférence, et que j'ai rappelée ci-dessus, est aussi présente dans : 
    Encyclopædia Universalis, Dictionnaire des mathématiques, algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel 1997, p. 38.
    Il y a une définition équivalente dans : 
    Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF 1979, p. 24. 
    Mais ici, la bilinéarité de la multiplication interne est détaillée comme suit. Si $K$ est un corps commutatif, une $K$-algèbre $E$ est un $K$-espace vectoriel muni d'une multiplication interne $(x,y) \mapsto xy$ distributive sur l'addition à gauche et à droite, et telle que : $\forall \alpha \in K, \forall \beta \in K, \forall x \in E, \forall y \in E,(\alpha x)(\beta y)=(\alpha \beta)(xy)$. 
    Il est clair que ces conditions équivalent à la bilinéarité de l'application $(x,y) \mapsto xy$, de $E \times E$ dans $E$.
    Dans d'autres éditions du Dictionnaire de Lucien Chambadal, c'est cette rédaction qui a été adoptée.
    Moi je préfère la mention de la bilinéarité, qui résume le tout en une formule resserrée, mais c'est à chacun de faire son choix.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Je ne crois pas qu'il soit obligatoire d'avoir une définition figée pour une telle notion parce qu'elle est trop vaste pour susciter des théorèmes non triviaux. On s'intéresse plutôt à un type d'algèbres -- associative avec unité, de Lie, associative unitaire et commutative, de Leibniz, de Hopf ou je ne sais quoi -- et on est alors obligé de préciser ce qu'on entend par là.
    C'est paradoxal parce que la même remarque vaut pour les groupes alors que je ne propose pas de renoncer à une définition unifiée des groupes. D'où une certaine réserve à propos du paragraphe précédent. 
    Quand même, les algèbres de la vie courante (dans les premières années d'étude, disons jusqu'à l'agrégation incluse) sont presque toutes associatives et unitaires... 
  • raoul.S
    Modifié (7 Apr)
    Parfois on trouve également cette définition : soit $A$ un anneau, une $A$-algèbre est un anneau $B$ muni d'un morphisme $f:A\to B$.

    Sous-entendu : la multiplication de $b\in B$ par un élément de $a\in A$ est définie par $a\cdot b:=f(a)b$.
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