Anneau des polynômes sur un corps, isomorphisme

Barjovrille
Modifié (2 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Je bloque sur la proposition suivante.
Soit $K$ un corps, soit $a \in K$ un élément qui n'est pas un carré de $K$. 
Si je note $K[\sqrt{a}]$ l'image du morphisme (d'anneau) $\phi : K[X] \to B$, tel que $\phi(X)= \sqrt{a}$ et pour tout $y \in K$, $\phi(y)=y$.
Alors $K[X]/(X^2 -a)$ isomorphe à $K[\sqrt{a}]$.
1) Est-ce que l'énoncé est bon ? (ici j'ai pris $B$ une extension de $K$ où $\sqrt{a}$ existe j'espère que ça veut dire quelque chose).
2) Si l'énoncé est bon savez-vous comment on peut le démontrer ? (Ou sinon où est-ce que je peux trouver des informations).
3) Si 1) et 2) sont valides j'imagine qu'il y a un énoncé plus général ? Si oui lequel ?
Ps : je ne suis pas très fort en algèbre les questions sont peut-être faciles ou absurdes.
Merci pour votre attention.

Réponses

  • Oui c'est une construction standard de théorie des corps. Le morphisme d'anneau $\phi$ est surjectif à valeurs dans $K[\sqrt a]$ et de noyau $(X^2-a)$ (par division euclidienne) donc induit l'isomorphisme dont tu parles. Plus généralement, si $P$ est un polynôme irréductible alors un corps de rupture de $P$ sur $K$ (c'est-à-dire une extension de la forme $K(\alpha)$ avec $\alpha$ racine de $P$) est isomorphe à $K[X]/(P)$.
  • Barjovrille
    Modifié (2 Apr)
    Ok, je pense que j'ai trouvé une démonstration grâce à tes indications. Pour le cas plus général je ne connais pas le corps de rupture et la notation $K(\alpha)$ mais maintenant j'ai les mots clés pour faire des recherches merci je vais aller voir ça.
  • $K(\alpha)$, c'est un peu informellement l'extension de $K$ engendrée par $\alpha$. Si on dispose d'une extension $L$ de $K$ contenant $\alpha$, alors $K(\alpha)$ est le plus petit sous-corps de $L$ contenant $\alpha$. Il se trouve que de tels corps existent toujours et sont uniques à isomorphisme près (ils sont tous isomorphes à $K[X]/(P)$ comme je disais plus haut).
  • Je crois que je comprends le cas général !
    Soient $K$ un corps, $P$ un polynôme irréductible à coefficients dans $K$ et $L$ un corps de rupture de $P$. Alors, par définition, $L$ est une extension simple de $K$ par une racine de $P$. Donc il existe une racine $\alpha$ (dans $L$) de $P$ tel que $L=K(\alpha)$ (sous-extension engendrée par $\alpha$). 
    On définit le morphisme d'anneaux $\phi : K[X] \rightarrow L$ tel que $\phi(X)=\alpha$ et pour tout $y \in K$, $\phi(y)=y$.
    Dès lors, $\forall Q \in K[X]$, $\phi(Q)=Q(\alpha)$.
    $K[X]$ est principal donc tous ses idéaux sont principaux. Or, $\ker \phi$ est un idéal de $K[X]$ puisque $\phi$ est un morphisme d'anneaux donc il existe un polynôme $S$ de $K[X]$ tel que $\ker \phi=(S)$.
    Montrons que $\ker \phi=(S)=(P)$.
    Soit $Q \in (P)$ alors il existe $T \in K[X]$ tel que $Q=TP$. Dès lors, $\phi(Q)=\phi(T). \phi(P)=T(\alpha) . P(\alpha)=0$.
    Donc $Q \in \ker \phi$ et on a : $(P) \subseteq \ker \phi$.
    Dès lors $(P) \subseteq (S)$.
    Or, $P$ est irréductible donc $(P)$ est maximal : le seul idéal propre de $K[X]$ contenant $(P)$ est $(P)$ lui-même. Ainsi, $(P)=(S)$. 
    Donc $\ker \phi=(P)$. 
    Par ailleurs, soit $y \in L$. Si $y \in K$ alors on a : $\phi(y)=y$. 
    Supposons maintenant que $y \notin K$. Mais $y \in L=K(\alpha)$ alors (comme $\alpha$ est algébrique), il existe un polynôme $Q$ à coefficients dans $K$ tel que $y=Q(\alpha)=\phi(Q)$. 
    Ce qui prouve que $\phi $ est surjective. 
    Ainsi, par le premier théorème d'isomorphisme, $K[X]/(P) \simeq K(\alpha)$.
    Un expert du forum peut-il me dire si ma preuve est correcte malgré tout? Je sors de ma zone de confort avec ces notions mais c'est tellement intéressant !!!! :D:)<3
  • C'est tout à fait correct.
  • Merci beaucoup Poirot !!! C'est vraiment magnifique l'algèbre !!! :):D<3 Et merci pour ce post super intéressant et pour vos contributions !!! :)
  • Un autre bon exercice est de démontrer, sans parler de corps de rupture ou d'extensions de corps, que $K[X]/(P)$ est un corps de dimension $\deg P$ sur $K$.
  • C'est vrai mais c'est un grand classique bien connu celui-ci ! :);)
  • Je vois que ça a avancé pendant mon absence. Merci  @Poirot pour les explications. Et bravo @NicoLeProf pour ta démo. Content que mes interrogations te plaise :D (les maths c'est encore mieux quand on partage).
  • En fait j'ai peut-être une remarque @NicoLeProf dans ta démonstration pour la surjectivité dans le cas $y \notin K$, tu peux détailler le point comme $\alpha$ est algébrique il existe $Q$ polynôme à coefficient dans $K$ tel que $\phi(Q)=y$ ?
  • Oui je détaille :
    je note $K$ un corps, $L$ (ce n'est pas le même $L$ que mon post ci-dessus) une extension de $K$, $\alpha \in L$. Je note $K[\alpha]$ l'ensemble des éléments de $L$ s'écrivant sous la forme $Q(\alpha)$ où $Q$ est un polynôme à coefficients dans $K$. En fait, $K[\alpha]$ est le sous-anneau engendré par $K$ et $\alpha$ : c'est donc le plus petit sous-anneau de $L$ contenant $K$ et $\alpha$. Or, $K(\alpha)$ est le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et $\alpha$ donc $K(\alpha)$ est un sous-anneau de $L$ contenant $K$ et $\alpha$ . Ainsi, on a l'inclusion : $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$.
    Maintenant, $\alpha$ est algébrique i.e : racine (dans $L$) d'un polynôme à coefficients dans $K$ et en particulier d'un polynôme irréductible $P$ à coefficients dans $K$.
    On montre alors que $K[\alpha]$ est un corps. En effet, si l'on note $Q(\alpha)$ un élément non nul (donc $Q$ est un polynôme non associé à $P$) de $K[\alpha]$ comme $P$ est irréductible, $P$ et $Q$ sont premiers entre eux et l'identité de Bézout donne l'existence de deux polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $K$ tels que $PU+QV=1$. Soit $P(\alpha). U(\alpha)+Q(\alpha) .V(\alpha)=1$ donc $Q(\alpha) .V(\alpha)=1$. Ainsi, $Q(\alpha)$ est inversible.
    Donc $K[\alpha]$ est un corps (un sous-corps de $L$) et il contient $K$ et $\alpha$. Or, $K(\alpha)$ est le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et $\alpha$. Donc $K(\alpha) \subseteq K[\alpha]$.
    Par suite, on a l'égalité : $K(\alpha) = K[\alpha]$.
    Ce qui justifie le fait que lorsque $y \notin K$, $y \in K(\alpha)$ s'écrit bien sous la forme $Q(\alpha)$ où $Q$ est un polynôme à coefficients dans $K$. :);)
  • Merci :). J'avais la preuve suivante  pour $K(\alpha) \subset K[\alpha]$ :
     Je prends $\phi$ le morphisme d'anneau tel que $\phi(X)= \alpha$ ... (c'est comme dans le message de ta première démo). On a $Im \phi=K[\alpha]$. je prends $P$ le polynôme irréductible qui engendre $ker (\phi)$ (voir ta démo).
    $(P)$ est maximal donc $K[X]/(P)$ est un corps et d'après le premier théorème d'isomorphisme $K[X]/(P)$ est isomorphe à $K[\alpha]$. Donc $K[\alpha]$ est isomorphe a un corps donc c'est un corps et il contient $\alpha$ et $K$ donc on a $K(\alpha) \subset K[\alpha]$.
  • Oui tu as raison, c'est peut-être plus logique vu ce que l'on a établi avant ! :)
    Tout dépend après de la façon dont on construit les notions ! :)
    Au plaisir de te lire et de faire de nouveau de l'algèbre Barjovrille ! :)<3
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