Matrice dans M(2,Z)

etanche
Modifié (2 Apr) dans Algèbre
Bonjour 
Soit $A\in M(2,Z)$, $A^2+5I_2=0$.
Montrer qu'il existe $B \in GL(2,Z)$ telle que $BAB^{-1}=D$ ou $BAB^{-1}=E$,
avec $D=\begin{pmatrix}1&2\\-3&-1\end{pmatrix}$ et $E=\begin{pmatrix}0&1\\-5&0\end{pmatrix}$.
Merci 
Source feuille TD Licence Jussieu.

Réponses

  • bisam
    Modifié (2 Apr)
    Dans la définition de $B\in GL(2,\Z)$, exige-t-on que $B^{-1}$ soit aussi à coefficients entiers (ce qui implique que $\det(B)$ soit égal à $1$ ou à $-1$) ?
  • JLT
    JLT
    Modifié (2 Apr)
    Les matrices $A$ vérifiant $A^2+5I=0$ sont de la forme $\begin{pmatrix} x & z\\ y& -x\end{pmatrix}$ avec $x^2+yz=5$. Quitte à conjuguer par une puissance de $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 1\end{pmatrix}$ on se ramène à $|x|\leqslant |z|/2$, et de même on se ramène à $|x|\leqslant |y|/2$. Quitte à conjuguer avec une matrice de permutation on peut aussi supposer $x\geqslant 0$.
    Comme $x^2=5-yz=|yz-5|\geqslant |yz|-5\geqslant 4x^2-5$ on a $x\in \{0,1\}$ et c'est presque fini.

    Édit : il faut changer tous les 5 en -5.
  • @JLT : c’est $x^2+yz=-5$.
  • gai requin
    Modifié (2 Apr)
    Par ailleurs, il me semble que $D$ et $E$ sont semblables sur $\Z$.
  • Est-il possible d'avoir toutes les solutions entières sous forme paramétriques de l'équation diophantienne $x^2+yz=-5$?
  • gai requin a dit :
    Par ailleurs, il me semble que $D$ et $E$ sont semblables sur $\Z$.
    Tu crois ? J'avais l'impression que non.
  • gai requin
    Modifié (2 Apr)
    Je ne suis pas spécialiste mais il me semble qu’il n’y a qu’une seule possibilité de forme normale de Smith de la matrice caractéristique, à savoir $\mathrm{Diag}(1,X^2+5)$…
    Edit : Après vérification, ce critère n’est valable que sur un corps. Sorry !
  • JLT
    JLT
    Modifié (2 Apr)
    Il existe une base de $\Z^2$ de la forme $(v,Ev)$. Si $D$ et $E$ étaient semblables, il existerait une base de $\Z^2$ de la forme $(v,Dv)$. En écrivant $v=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $Dv=\begin{pmatrix} x+2y\\-3x-y\end{pmatrix}$ on trouve, en prenant le déterminant, $(x+2y)y+(3x+y)x=\pm 1$ qui n'a pas de solution $(x,y)\in\Z^2$.

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