Aide sur un TD

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Réponses

  • zygomathique
    Modifié (7 Apr)
    Par définition la partie entière de x est le plus grand entier inférieur (ou égal) à x donc l'unique entier n tel que $n \le x < n + 1$
    donc $ 0 \le x - E(x) < 1$ donc $r = x - E(x) \in [0, 1[$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Amadou
    Modifié (7 Apr)
    JLapin a dit :
    1e), je traiterais bêtement les quatre cas $n=4k+r$ avec $r$ entre $0$ et $3$.
    Supposons $k\in \mathbb{Z}$. Pour $r=0$, on a $n=4k$.
    $\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{4k-1}{2}=2k-\dfrac{1}{2}$. Par passage à la partie entière on a $\left\lfloor \dfrac{n-1}{2} \right\rfloor=\left \lfloor 2k-\dfrac{1}{2} \right \rfloor =\left \lfloor -\dfrac{1}{2} \right \rfloor +2k = 2k-1 $. (1)
    $\dfrac{n+2}{4}=\dfrac{4k+2}{4}=k+\dfrac{1}{2}$. Par passage à la partie entière on a $\left\lfloor \dfrac{n+2}{4} \right \rfloor= k+ \left \lfloor \dfrac{1}{2} \right \rfloor =k$. (2)
    $\dfrac{n+4}{4}=\dfrac{4k+4}{4}=k+1$. Par passage à la partie entière on a $\left\lfloor \dfrac{n+4}{4} \right \rfloor = k+1$. (3)
    Par sommation de (1), (2) et (3) on obtient :
    $\left\lfloor \dfrac{n-1}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+2}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+4}{4} \right\rfloor = 2k-1+k+k+1=4k=n$.

    Je vais étudier les autres cas de $n$. Mais je trouve la méthode assez longue :) . Est-ce qu'il n'y a pas une autre méthode plus courte ? Si oui, pourriez-vous me la proposer s'il vous plaît ? Ne peut-on pas utiliser le principe de raisonnement par récurrence, comme je l'ai voulu faire ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • @zygomathique je comprends, je n'avais pas du tout pensé à ça. Comme c'est simple. Merci, merci.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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