Aide sur un TD

Amadou
Modifié (2 Apr) dans Fondements et Logique
Bonjour ! Comme c'est le même TD que le professeur donne chaque année, j'ai donc décidé de le corriger par moi-même sans aide extérieure en me basant sur mon cours et sur la definition de partie entière que j'ai apprise il y a plus de deux jours. Il y a certaines parties où je me bloque. Pour l'exercice 1, question 1)b), je n'ai rien compris, mais pour le reste ça va. 

En ce qui concerne l'exercice 2, voici ce que j'ai pu faire. A partir de la question 1) jusqu'à la fin, j'aurai besoin d'aide. Pas trop de details superflus, sinon je risque de me noyer.

J'ai une petite question pour mieux comprendre au sujet de l'exercice 2, la question 1) a) et c) si on nous demande de montrer que $A=B$, et que j'ai $A\leqslant B$, est-ce que je peux dire que $A=B$ ou $A<B$ et conclure en disant que $A=B$ ?



1. a)* Montrons que pour tout $x\in \R$ et $p\in \Z$, $[x+p]=[x]+p$.
Soient $x\in \R$ et $p\in \Z$. Par définition de la partie entière de $x$, on a $[x]\leqslant x < [x]+1$. Donc $[x] +p \leqslant x +p < [x] +p+1$. Alors $[x] +p \leqslant [x +p] < [x] +p+1$. Par conséquent $[x]+p \leqslant [x+p]$.

b) Montrons que pour tout $(x, y)\in \R^2$, $[x]+[y] \leqslant [x+y] \leqslant [x]+[y]+1$.
Soient $(x, y)\in \R^2$, on a $[x]\leqslant x < [x]+1$ et $[y]\leqslant y < [y]+1$ donc $[x]+[y] \leqslant x+y < [x]+[y]+2$ alors $[x]+[y] \leqslant x+y \leqslant [x]+[y]+1 < [x]+[y]+2$. Par consequent $[x]+[y] \leqslant [x+y] \leqslant [x]+[y]+1$.

c) Montons que : $\forall x \in \N^*, \forall x \in \R, \left[\dfrac{[nx]}{n}\right]=[x]$.
$\forall x \in \N^*, \forall x \in \R$ on a $[x]\leqslant x < [x]+1$. Donc $n[x]\leqslant nx < n([x]+1)$ alors $[n[x]]\leqslant [nx] < [n([x]+1)]$. Ce qui entraine $n[x]\leqslant [nx] < n([x]+1)$ donc $x\leqslant \dfrac{[nx]}{n} < x+1$. Par conséquent  $[x] \leqslant \left[\dfrac{[nx]}{n}\right]. $

d) Calculons $\left[\sqrt{n^2+n+1}\right]$ pour tout entier naturel $n$.
Soit $n\in \N$. On a $[n^2+n+1] \leqslant n^2+n+1$. Donc $\sqrt{[n^2+n+1]} \leqslant \sqrt{n^2+n+1}$.

.............
* J'ai essayé de raisonner par double implication mais je ne m'y vois pas avancé.
Réciproquement soient $x\in \R$ et $p\in \Z$ on a $[x+p]\leqslant x+p < [x+p]+1$. Donc $[x+p]< [x+p]+1$. 
..............
J'ai essayé de rédiger au mieux de mes capacités pour rendre le travail propre.
«1

Réponses

  • Bonjour,
    Si tu as $A \leqslant B$, tu peux effectivement dire que $A = B$ ou $A < B$ (c'est la définition de $\leqslant$).
    Pour ta conclusion $A = B$, encore faudrait-il montrer que $A < B$ n'arrive pas.
    De manière générale, pour montrer une égalité de réels $A$ et $B$, il est courant de montrer $A \leqslant B$ et $A \geqslant B$ pour conclure.
  • Amadou
    Modifié (2 Apr)

    Oui bonjour @Heuristique ! Oups désole, j'ai dit modifier tout le contenu. 
    De manière générale, pour montrer une égalité de réels $A$ et $B$, il est courant de montrer $A \leqslant B$ et $A \geqslant B$ pour conclure.
    D'accord j'avais aussi pensé à ça mais je suis paumé d'ici.
    Pour ta conclusion $A = B$, encore faudrait-il montrer que $A < B$ n'arrive pas.
    Dans ce cas comment faire pour montrer qu'on y arrive pas ?
  • Chaurien
    Modifié (2 Apr)
    • D'abord, ton exercice 2 fait un choix curieux de notations puisqu'il note la partie entière tantôt $[...]$ tantôt $E(...)$. Dans mes réponses j'utiliserai la notation en vigueur aujourd'hui : $\left\lfloor ...\right\rfloor$, dont j'ai parlé dans mes deux messages dans le fil 
    $~~$ Pour $x \in \mathbb R$, on a : $n=\left\lfloor x\right\rfloor \Leftrightarrow n \in \mathbb Z$ et $n \le x <n+1$. 
    C'est la partie entière la plus utilisée, partie entière inférieure, par défaut, ou « plancher ». C'est celle de ton énoncé, je pense.
    • Question 1. a. Soit $x \in \mathbb R$ et $p \in \mathbb Z$. Alors  $\left\lfloor x\right\rfloor +p \le x+p <\left\lfloor x\right\rfloor +p+1$. Comme $\left\lfloor x\right\rfloor +p \in \mathbb Z$, il en résulte immédiatement :  
    $\left\lfloor x+p\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +p$.
    • Question 1. b. Tu pars de $\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+2$  et $\left\lfloor x+y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x+y\right\rfloor +1 $, d'accord.
    Mais tu ne peux pas en déduire : $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+1$, qui n'est pas toujours vrai pour la seconde inégalité. Prends par exemple $x=y= \frac 23$.
    Regarde les conséquences des deux doubles inégalités précédentes, sans oublier que si $p \in \mathbb Z$, si $q \in \mathbb Z$, si $p<q$, alors $p \le q-1$.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • gerard0
    Modifié (2 Apr)
    Bonjour.
    Vous parlez de l'exercice 1 ?
    Pour l'exercice 2 :
    Attention, la partie entière de $x$ ne se code pas [x] ($[x]$), mais \lfloor x \rfloor ($\lfloor x \rfloor$).
    1-b Justifier pourquoi le +2 est devenu +1. Car il est possible que l'on ait  $x+y >\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ (par exemple 1,7 et 2,8).
    1-c On ne sais pas d'où sortent les "alors", "ce qui entraine". Soit tu as une raison, et il faut la donner, soit c'est seulement l'expression d'une conviction (tu "y crois") et ça n'a rien à faire dans une preuve (*). D'ailleurs, pourquoi écrire $\lfloor n \lfloor x \rfloor \rfloor$ ?
    Ces explications, tu peux les donner en français courant. Tu verras d'ailleurs que tu écris des choses inutiles !!
    J'arrête là, mais tu me donnes l'impression de ne pas avoir pris conscience totalement de la définition de la partie entière : La partie entière du réel $a$ est l'entier $b$ tel que $b\le a<b+1$. tu n'en parles jamais.
    Cordialement.
    (*) Le premier "donc" ne nécessite pas d'explication, c'est clairement la multiplication par l'entier strictement positif n
  • Oui @Chaurien, je me souviens, j'ai vu toutes les notations possibles $\lfloor x \rfloor , E(x), \lceil x \rceil $ et $[x]$ ainsi que leurs definitions. Et vous avez aussi fait mention en disant que celle appelé par le concours general 2024, est la partie entière inférieur. Actuellement $E(x)$ et $[x]$ sont en usage abandon. Mais l'utilisation actuelle est $\lfloor x \rfloor$.

  • Chaurien a dit :
    • Question 1. a. Soit $x \in \mathbb R$ et $p \in \mathbb Z$. Alors  $\left\lfloor x\right\rfloor +p \le x+p <\left\lfloor x\right\rfloor +p+1$. Comme $\left\lfloor x\right\rfloor +p \in \mathbb Z$, il en résulte immédiatement :  $\left\lfloor x+p\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +p$.
    Si je comprend bien le fait que $\left\lfloor x\right\rfloor +p \in \mathbb Z$ il en résulte  l'égalité. Dans un cas ou $p\in \R\setminus \Z$, comment faire alors ?

    Donc pour que mon raisonnement soit il faut et il suffit que j'en déduis que $\left\lfloor x\right\rfloor +p \in \mathbb Z$, je peux remplacer mon inégalité par égalité pour conclure.
  • salut

    dans ce genre de calcul avec les parties entière il peut souvent être bon d'avoir cette définition de la partie entière (que je noterai E(.) car plus rapide)

    E(x) est l'unique entier n tel que x s'écrive $x = n + r$  avec $r \in [0, 1[$

    alors en écrivant $x = m + r_x$  et $ y = n + r_y$ on a : 

    $E(x) + E(y) = m + n$

    $E(x + y) = m + n + E(r_x + r_y)$

    à toi d'évaluer proprement ce dernier terme ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Amadou
    Modifié (2 Apr)
    Pour l'exercice 2 :
    Attention, la partie entière de $x$ ne se code pas [x] ($[x]$), mais \lfloor x \rfloor ($\lfloor x \rfloor$).
    Oui bonjour @gerard0! J'ai bien compris à propos de la notation actuelle. Cependant, dans l'énoncé, je vois qu'il est écrit de cette manière, donc je ne peux pas changer brusquement de notation dans mon raisonnement. Même dans les anciens travaux dirigés de l'année dernière, il était noté de cette façon. Mais personnellement, je suis content d'apprendre la notation actuelle, même si elle n'est pas utilisée dans les anciens travaux dirigés. 
    Vous parlez de l'exercice 1 ?
    Oui tout à fait !
    1-c On ne sais pas d'où sortent les "alors", "ce qui entraine". Soit tu as une raison, et il faut la donner, soit c'est seulement l'expression d'une conviction (tu "y crois") et ça n'a rien à faire dans une preuve (*).

     D'ailleurs, pourquoi écrire $\lfloor n \lfloor x \rfloor \rfloor$ ?

    Ces explications, tu peux les donner en français courant. Tu verras d'ailleurs que tu écris des choses inutiles !!
    J'ai immédiatement pensé à raisonné par une double implication d'où "donc, alors...''.

    Je ne comprends pas en quoi cela changerais qu'il soit écrit ainsi $\lfloor n \lfloor x \rfloor \rfloor$ ou $n \lfloor x \rfloor $ ? J'ai dit écrire ainsi par composition de la fonction partie entière.

    Pour la justification on a toujours $\lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor  \leqslant \lfloor x+y \rfloor < \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor +1 $ et que $ \lfloor x+y \rfloor < \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor +1 < \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor +2$
    J'arrête là, mais tu me donnes l'impression de ne pas avoir pris conscience totalement de la définition de la partie entière : La partie entière du réel $a$ est l'entier $b$ tel que $b\le a<b+1$. tu n'en parles jamais.
    Honnêtement je ne pense pas avoir une totale confusion avec la définition de partie entière. Comme nous avons une inégalité ici donc j'ai dit posé cette question "si on nous demande de montrer que A=B, et que j'ai $A\leqslant B$, est-ce que je peux dire que $A=B$ ou $A<B$ et conclure en disant que $A=B$" d'abord avant de dire n'importe quoi qui n'aurait de sens. 

    ....

    Je sais bien que dans un cas plus général pour $a\in \R$ et $k\in \Z$ on a toujours $\lfloor a+k \rfloor =\lfloor a \rfloor +k$
  • gerard0
    Modifié (2 Apr)
    Il n'y a pas de confusion, seulement un manque de compréhension.
    $n\lfloor x \rfloor$ est un entier, ça ne sert à rien de prendre sa partie entière. Et si un entier est inférieur à $x$ il est évidemment (par définition) inférieur à $\lfloor x \rfloor$.
    Quant à la "justification que tu donnes ci-dessus, c'est exactement ce que je te disais : tu y crois. Et ça on s'en moque, ce qui est demandé c'est une preuve. Pas une affirmation "on a toujours", indication pour le correcteur que tu n'es pas en train de prouver ("prouver" = appliquer strictement les définitions, théorèmes, règles de calcul, ... des maths).
    Et c'est même tellement du non mathématique que tu as écrit $\lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor  \leqslant \lfloor x+y \rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor$ qui est faux !!
    Il te reste à trouver pourquoi tu peux passer de 2 à 1 comme c'est écrit, il y a une raison très simple, liée à ce que tu oubliais, encore faut-il la donner ...
  • Chaurien
    Modifié (2 Apr)
    Sans partir dans tous les sens, revenons à la question 1. a.  Il est clair que $\lfloor x\rfloor +p \le x+p<\lfloor x\rfloor +1+p $. Si $x \in \mathbb R$ et $p \in \mathbb Z$, on a donc : $a \le x+p <a+1$, avec $a=\lfloor x\rfloor +p$, qui est un entier, élément de $\mathbb Z$. De par la définition de $\lfloor...\rfloor$,  ceci signifie exactement : $a=\lfloor x+p\rfloor$,
    Pour 1. b, suis mes indications précédentes et si elles ne sont pas claires, demande un éclaircissement.
    Bon courage.
    Fr. Ch.

  • Amadou
    Modifié (2 Apr)
    @gerard0 Oui, bien sûr ! Tout d'abord, j'ai fait ce que je pense être le meilleur pour mon exercice, en fonction de ce que j'ai compris de mon cours. C'est pourquoi j'ai demandé de l'aide et de la vérification. Je suis convaincu que l'énoncé se base uniquement sur la définition complète de la partie entière.
    Je ne comprends pas pourquoi je ne peux pas écrire $a\leqslant x < (a+1)+1 \Rightarrow a\leqslant x \leqslant a+1$, avec $a=\lfloor x \rfloor$ ? 
  • Je comprends votre solution à l'exercice 1, @Chaurien. Merci.
    Pour la question 2), je vais suivre vos indications et je vous ferai part de mes corrections ou de mes difficultés une fois que j'aurai terminé.
  • Je suis un peu perdu avec la question d) Comment devrais-je m'y prendre ?
  • Teste avec de petites valeurs de $n$ pour conjecturer le résultat. Après tu n'auras plus qu'à établir l'encadrement qui va bien.
  • Amadou
    Modifié (2 Apr)
    Chaurien a dit :
    • Question 1. b. Tu pars de $\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+2$  et $\left\lfloor x+y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x+y\right\rfloor +1 $, d'accord.
    Mais tu ne peux pas en déduire : $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+1$, qui n'est pas toujours vrai pour la seconde inégalité. Prends par exemple $x=y= \frac 23$.
    Regarde les conséquences des deux doubles inégalités précédentes, sans oublier que si $p \in \mathbb Z$, si $q \in \mathbb Z$, si $p<q$, alors $p \le q-1$.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
    Dans ceci je comprends on a $p\leqslant \lfloor x+y \rfloor < q \Rightarrow p\leqslant \lfloor x+y \rfloor \leqslant q-1$. Est-ce que c'est correct ?
  • @JLapin d'accord !
  • "Je ne comprends pas pourquoi je ne peux pas écrire $a\leqslant x < (a+1)+1 \Rightarrow a\leqslant x \leqslant a+1$, avec $a=\lfloor x \rfloor$ ? "
    Je ne t'ai jamais dit ça !! Cette implication où le premier membre est vrai car conséquence du deuxième qui est vrai (définition de la partie entière) est parfaitement vraie et sans intérêt.
    Relis mon message ! J'y parlais d'autre chose.
  • Chaurien
    Modifié (2 Apr)
    @Amadou Pour la question 1. d, je te conseille de calculer numériquement $\left\lfloor \sqrt {n^2+n+1} \right\rfloor $ pour plusieurs valeurs de l'entier naturel $n$, il t'apparaîtra une conjecture pour le résultat demandé, et tu n'auras qu'à démontrer cette conjecture. Bon courage.
  • pour 1d/ il est plus simple de constater que $ \forall n \in \N : n^2 < n^2 + n + 1 \le (n + 1)^2 $

    et l'inégalité large est stricte si et seulement si ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • JLapin
    Modifié (2 Apr)
    pour 1d/ il est plus simple de constater que

    Plus simple que quoi ?
    Et pourquoi l'inégalité stricte à droite ?
    Edit : merci pour la réponse ci-dessous.

  • gerard0
    Modifié (2 Apr)
    Elle est placée pour le cas n=0.
  • Charte  4.11 - ne donnez pas la solution des exercices trop vite, mettez sur la piste, suggérez des indices ;
  • Amadou
    Modifié (5 Apr)
    gerard0 a dit :
    Relis mon message ! J'y parlais d'autre chose.
    Bonjour ! D'accord ! 
    1-b Justifier pourquoi le +2 est devenu +1. Car il est possible que l'on ait  $x+y >\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ (par exemple 1,7 et 2,8).
    Oui d'après les exemples que vous avez données, je vois bien que cette inégalité est possible. Mais je ne comprend pas pourquoi je ne peux pas immédiatement composer la partie entière et dire qu'on a  $\lfloor x+y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1 <  \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+2$ ?
  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    L'inégalité$\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1 <  \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+2$ va de soi, et je n'ai pas l'impression qu'elle soit très utile...
    L'inégalité : $\lfloor x+y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ doit être prouvée, et ce n'est pas très difficile à partir de :
    $\lfloor x+y \rfloor \le x+y <\lfloor x+y \rfloor  +1$, $\lfloor x \rfloor \le x <\lfloor x \rfloor  +1$,$\lfloor y \rfloor \le y <\lfloor y \rfloor  +1$.
    Sans oublier, encore une fois, que si $ p \in \mathbb Z$, si $ q \in \mathbb Z$, si $p<q$, alors $p \le q-1$.
    Je ne comprends pas ce que c'est que « composer » dans le cas présent.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • @Chaurien je vais suivre votre conseil et donner des valeurs numériques à l'entier naturel $n$ pour voir ce qui passe ensuite.
    @zygomatique donc si j'ai bien compris, je dois composer la fonction racine carrée et passer à la partie entière pour conclure en m'appuyant sur votre dernière hypothèse. 
  • Amadou
    Modifié (5 Apr)
    Chaurien a dit :
    Je ne comprends pas ce que c'est que « composer ».
    Je veux dire par composé en utilisant une fois la partie entière.
    Si on a : 

    Puisque la fonction partie entière étant croissante, on a $\lfloor \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \rfloor$ qui est égale à $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ et que $\lfloor \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +2 \rfloor$ est aussi égale à $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +2$.
    Et conclure en disant qu'on a $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x+y \rfloor < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +2$.
  • Amadou
    Modifié (5 Apr)
    Chaurien a dit :
    @Amadou Pour la question 1. d, je te conseille de calculer numériquement $\left\lfloor \sqrt {n^2+n+1} \right\rfloor $...
    Je constate que pour n'importe quel entier naturel $n$ on a $\left\lfloor \sqrt {n^2+n+1} \right\rfloor = n$ excepté pour $n=0$ qui est egale à $1$.
  • Amadou
    Modifié (5 Apr)
    $ \forall n \in \N : n^2 < n^2 + n + 1 \le (n + 1)^2 $ alors $n < \sqrt{n^2+n+1} \leqslant n+1$ donc $n \leqslant \left \lfloor \sqrt{n^2+n+1} \right \rfloor < n+1$.  Comme $n \in \mathbb N$ il en résulte immédiatement :  $\left \lfloor \sqrt {n^2+n+1} \right \rfloor =n $. 

    Je ne comprend pas mais si $n=0$ elle n'est plus vrai ?
  • Philippe Malot
    Modifié (5 Apr)
    @Amadou il y a un problème avec tes inégalités qui passent de $<$ à $\leqslant$ et vice versa (passage à la dernière étape).
    Ce qui t'intéresse, c'est d'avoir $n\leqslant x<n+1$ avec $n$ un nombre entier pour pouvoir affirmer que $\lfloor x\rfloor=n$.
    Ici, tu vas donc partir de $n^2\leqslant n^2+n+1<(n+1)^2$, et l'inégalité de droite est toujours vraie si $n\in\N^\ast$ mais n'est pas vraie pour $n=0$.
  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    Ça part encore dans tous les sens !
    Finissons-en d'abord avec :  $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor \leq \left\lfloor
    x+y\right\rfloor \leq \left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor
    y\right\rfloor +1$.
    .......................................................................
    On part de :  $\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1$ et $\left\lfloor y\right\rfloor \leq y<\left\lfloor y\right\rfloor +1$.
    Par sommation il vient : $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor \leq x+y<\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor +2~~~~~~~~$ (1).
    Par ailleurs, on a : $\left\lfloor x+y\right\rfloor \leq x+y<\left\lfloor x+y\right\rfloor +1~~~~~~~~$ (2).
    En « croisant» ces deux encadrements, il vient, par transitivité :
    $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor <\left\lfloor
    x+y\right\rfloor +1$, $\left\lfloor x+y\right\rfloor <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor +2$
    Et en appliquant le principe : $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{Z}$ et $p<q\Rightarrow p\leq q-1$, on en conclut :
    $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor \leq \left\lfloor
    x+y\right\rfloor \leq \left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor
    y\right\rfloor +1$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    Pour $\left\lfloor \sqrt{n^{2}+n+1}\right\rfloor$, tu as conjecturé que si  $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, alors :  $\left\lfloor \sqrt{n^{2}+n+1}\right\rfloor =n$. 
    Puisque $n \in \mathbb Z$, cette assertion équivaut, par définition, à :  $n\leq \sqrt{n^{2}+n+1}<n+1$.
     Il n'est pas difficile de prouver cette double inégalité, non ?
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • @Amadou il y a un problème avec tes inégalités qui passent de $<$ à $\leqslant$ et vice versa (passage à la dernière étape).
    Je me suis appuyé sur pour 1d/ il est plus simple de constater que $ \forall n \in \N : n^2 < n^2 + n + 1 \le (n + 1)^2 $.
    Peut-être je n'ai pas bien  compris ce qu'il voulait me dire par et l'inégalité large est stricte si et seulement si ...
    Ce qui t'intéresse, c'est d'avoir $n\leqslant x<n+1$ avec $n$ un nombre entier pour pouvoir affirmer que $\lfloor x\rfloor=n$.
    Ici, tu vas donc partir de $n^2\leqslant n^2+n+1<(n+1)^2$, et l'inégalité de droite est toujours vraie si $n\in\N^\ast$ mais n'est pas vraie pour $n=0$.
    Comme l'exercice nous demande de démontrer pour tout $n$ entier naturel. Donc, je me suis dit que ça devrait aussi être vrai pour $n=0$.

  • Et tu as laissé tomber la question  1. (c) ?
  • @Chaurien, je crois avoir tout compris de votre raisonnement. Pour arriver à la même conclusion que vous, j'ai posé une question dans mon précédent message. J'ai demandé :
    Amadou a dit :
    Chaurien a dit :
    • Question 1. b. Tu pars de $\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+2$  et $\left\lfloor x+y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x+y\right\rfloor +1 $, d'accord.
    Mais tu ne peux pas en déduire : $\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor  \le x+y <\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor y\right\rfloor+1$, qui n'est pas toujours vrai pour la seconde inégalité. Prends par exemple $x=y= \frac 23$.
    Regarde les conséquences des deux doubles inégalités précédentes, sans oublier que si $p \in \mathbb Z$, si $q \in \mathbb Z$, si $p<q$, alors $p \le q-1$.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
    Dans ceci je comprends on a $p\leqslant \lfloor x+y \rfloor < q \Rightarrow p\leqslant \lfloor x+y \rfloor \leqslant q-1$. Est-ce que c'est correct ?
    avec "$p=\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ et $q=\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +2$", mais je n'ai pas reçu de réponse. 


    Merci beaucoup !
  • @Amadou Je veux bien que tu partes de la double inégalité $n<\sqrt{n^2+n+1}\leqslant n+1$ valable pour tout $n$ dans $\N$ mais c'est une mauvaise idée vu que tu veux avoir une inégalité large $\leqslant$ à gauche  et une inégalité stricte $<$ à droite !
    Pour le cas $n=0$, eh bien tu le traites à part en disant que tu obtiens $1$.
    Dans certains raisonnements, il faut parfois traiter plusieurs cas pour obtenir une réponse complète.
  • Amadou
    Modifié (5 Apr)
    Chaurien a dit :
    Et tu as laissé tomber la question  1. (c) ?
    Non je n'ai pas laisser tomber. C'est un peu similaire à ce que vous avez fait avec le 1. a). Il suffit de raisonner pareil en faisant attention à l'usage des mots comme "donc", "alors".

    Montons que : $\forall x \in \N^*, \forall x \in \R$,  $\left \lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor }{n}\right\rfloor = \lfloor x \rfloor $.
    Soient $n \in \N^*$ et $x \in \R$. Alors $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor +1$.  Ce qui implique que :
    \begin{align*}
    n \lfloor x\rfloor \leqslant nx < n(\lfloor x \rfloor +1) & \Rightarrow n\lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor nx \rfloor < n(\lfloor x \rfloor +1) \\
    & \Rightarrow \lfloor x \rfloor \leqslant \dfrac{\lfloor nx \rfloor }{n} < \lfloor x \rfloor +1 \\
    & \Rightarrow \lfloor x \rfloor \leqslant \left \lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor }{n}\right\rfloor < \lfloor x \rfloor +1 
    \end{align*}
    Comme $\lfloor x \rfloor \in \Z$. Il en résulte que $\left \lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor }{n}\right\rfloor = \lfloor x \rfloor $.

    ..............
    Je sais très bien d'après mon cours que les mots suivants "donc, alors,.." ne veut pas dire "$\Rightarrow$". Et on m'a aussi mit en garde contre l'usage légère de "$\Rightarrow$". Mais comme on apprend de ses erreurs, je n'ai pas trouvé de mieux que de faire appel à"$\Rightarrow$" pour voir s'il (implication) est permise ici.
  • la partie entière étant idempotente :  $E(E(x)) = E(x)$   et croissante il suffit d'appliquer la partie entière à l'inégalité (1) de @Chaurien

    et on obtient $ E(E(x) + E(y)) \le E(x + y) < E(E(x) + E(y) + 2) \iff E(x) + E(y) \le E(x + y) \le E(x) + E(y) + 1 $

    autrement avec mon premier msg on a directement $ E(x + y) \le m + n + E(r_x + r_y) $ or $0 \le r_x + r_y < 2$ donc $ 0 \le E(r_x + r_y) \le 1$


    sinon pour 4d/ j'ai fait exprès de prendre 0, ce qui impose les inégalités large et stricte du mauvais côté.
    et effectivement en mettant 0 à part elles se retrouvent du bon côté et alors il est aisé de conclure ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Chaurien
    Modifié (5 Apr)
    Ta dernière ligne $\left\lfloor x\right\rfloor \leq \left\lfloor \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\right\rfloor <\left\lfloor x\right\rfloor +1$ est complètement superflue. Puisque $\left\lfloor x\right\rfloor \in \mathbb{Z}$, l'encadrement $\left\lfloor x\right\rfloor \leq \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}<\left\lfloor x\right\rfloor +1$ suffit à établir que $\left\lfloor \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\right\rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor $.
    Mais bon, c'est fait.
    Bon courage pour la suite.
    Fr. Ch.
  • Merci beaucoup @Philippe Malot , je ne savais pas du tout que dans une démonstration de cas général, cela était permis. Je suis content de l'apprendre de votre part.
  • zygomathique a dit :
    la partie entière étant idempotente :  $E(E(x)) = E(x)$   et croissante il suffit d'appliquer la partie entière à l'inégalité (1) de @Chaurien

    et on obtient $ E(E(x) + E(y)) \le E(x + y) < E(E(x) + E(y) + 2) \iff E(x) + E(y) \le E(x + y) \le E(x) + E(y) + 1 $
    Oui, mais est-ce que cela justifie le passage de $+2$ à $+1$ ? Je crois bien dans mon message initial, c'est ce que j'avais fait et on m'a demandé de me justifier, mais je n'arrive pas à le faire.
    autrement avec mon premier msg on a directement $ E(x + y) \le m + n + E(r_x + r_y) $ or $0 \le r_x + r_y < 2$ donc $ 0 \le E(r_x + r_y) \le 1$
    Merci beaucoup ! Je trouve un peu plus difficile de raisonner avec votre premier message car il y a $r\in ]0,1]$ que je ne comprends pas du tout.
    Je pense que pour l'instant la méthode de @Chaurien me convient et j'ai parfaitement bien compris son mode de raisonnement.
    Pourquoi vous utilisez toujours la notation $E(x)$ au lieu de $\lfloor x \rfloor$ ?
  • Je vous remercie énormément, @Chaurien, pour votre encouragement.
  • Amadou
    Modifié (6 Apr)
    1.) e. Démontrons que pour tout $n$ entier on a $\left\lfloor \dfrac{n-1}{2} \right \rfloor+ \left\lfloor \dfrac{n+2}{4} \right \rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+4}{4} \right \rfloor=n$.

    Pour $n=0$ on a $\left\lfloor \dfrac{-1}{2} \right \rfloor+ \left\lfloor \dfrac{1}{2} \right \rfloor + \left\lfloor 1 \right \rfloor= -1+0+1=0$.
    Soit $\mathcal P(n)$ la proposition $\left\lfloor \dfrac{n-1}{2} \right \rfloor+ \left\lfloor \dfrac{n+2}{4} \right \rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+4}{4} \right \rfloor=n$.

    Supposons $\mathcal P(n)$ et montrons que $\mathcal P(n+1)$ est vraie pour tout $n$ entier.
    \begin{align*}
    \left\lfloor \dfrac{(n+1)-1}{2} \right \rfloor+ \left\lfloor \dfrac{(n+1)+2}{4} \right \rfloor + \left\lfloor \dfrac{(n+1)+4}{4} \right \rfloor & = \left\lfloor \dfrac{n-1}{2} +\dfrac{1}{2} \right \rfloor+ \left\lfloor \dfrac{n+2}{4} + \dfrac{1}{4}\right \rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+4}{4} +\dfrac{1}{4} \right \rfloor \\
    \end{align*}
    Dans mon cours, il est dit que $\lfloor x+p \rfloor = \lfloor x \rfloor +p$ si et seulement si $p$ est un entier, mais dans ce cas, mes $p$ sont des nombres réels. Comment puis-je poursuivre mon raisonnement dans ce cas ?

    2) a. Calculons $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ pour tout réel $x$.

    Supposons $x\in \Z$. 
    Pour $x=-1$ on a $\lfloor -1 \rfloor + \lfloor 1 \rfloor = -1+1=0$.
    Pour $x=0$ on a $\lfloor 0 \rfloor + \lfloor 0 \rfloor = 2\lfloor 0 \rfloor =0$.
    Pour $x=5$ on a $\lfloor 5 \rfloor + \lfloor -5 \rfloor = 5-5=0$.
    Donc pour tout $x\in \Z$ on a $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =0$.
    Supposons $x\in \R\setminus \Z$. 
    Pour $x=\pi$ on a $\lfloor \pi \rfloor + \lfloor -\pi \rfloor = 3-4=-1$.
    Pour $x=-\sqrt{3}$ on a $\lfloor -\sqrt{3} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor = -2+1 =-1$.
    Pour $x=e$ on a $\lfloor e \rfloor + \lfloor -e \rfloor = 2-3=-1$.
    Donc pour tout $x\in \R\setminus \Z$ on a $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =-1$.
  • 1e), je traiterais bêtement les quatre cas $n=4k+r$ avec $r$ entre $0$ et $3$.
  • @Jlapin je suis un peu perdu, je ne comprends pas comment les quatre cas. J'ai testé différentes valeurs pour $n$ allant jusqu'à $7$ et dans chaque cas, elle est vraie. Pourriez-vous m'expliquer pourquoi vous avez choisi de définir $n=4k+r$ pour $r$ entre $0$ et $3$ ?
  • A cause de la division par 4 qui apparait deux fois dans le membre de gauche.
  • Amadou
    Modifié (6 Apr)
    @JLapin donc si je comprends bien, on regarde le plus grand nombre entier qui apparaît deux fois pour définir $n$ en fonction de $k$. 
    Supposons que nous ayons deux $3$ au dénominateur et un $2$. Dans ce cas, j'écrirai $n=3k+r$ avec $r$ entre $0$ et $2$. Est-ce correct ?
    Et que se passe-t-il si nous avons des entiers tous différents comme par exemple $3, 4$ et $5$ au dénominateur ?
  • Plutôt le plus petit commun multiple des dénominateurs en fait.
  • zygomathique
    Modifié (6 Apr)
    par définition $ x - E(x)  = r \in [0, 1[$ ce que j'ai bien écrit dans mon premier msg ...
    $E(x + y)$ est un entier et est inférieur strictement à l'entier $E(x) + E(y) + 2$
    il est donc inférieur (ou égal) à l'entier $E(x) + E(y) + 1$
     ;)

    la proposition de @JLapin est du bon sens mathématique (de l'expérience) : 
    1/ on part d'un entier
    2/ on veut diviser par 4 ... et par 2 ...
    3/ et 4 est multiple de 2
    4/ donc ça simplifie bien les choses d'écrire $ n = 4k + r$ ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @JLapin, le PPCM, je comprends. Merci
  • Bonjour @zygomathique ! Peut-être je vais devoir approfondir mes études sur la partie entière. Je ne comprends pas très bien votre définition de la partie entière. Peut-être si vous me redéfinissez le $r$, je pourrais mieux comprendre. Est-ce que le $r$ représente la partie décimale, c'est-à-dire que si $x=2,5$ alors on a $2,5=2+0,5$ ?
    la proposition de @JLapin est du bon sens mathématique (de l'expérience) : 
    1/ on part d'un entier
    2/ on veut diviser par 4 ... et par 2 ...
    3/ et 4 est multiple de 2
    4/ donc ça simplifie bien les choses d'écrire $ n = 4k + r$ ...
    Merci de fournir des informations supplémentaires.
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