Rayon d'Asperger d'un entier

Sylvain
Modifié (1 Apr) dans Arithmétique
Bonjour,

J'appelle "rayon d'Asperger" d'un entier naturel $n$ un entier naturel $r$ tel que $(n-r,n+r)=(p^a,q^b)$ avec $p$ et $q$ premiers, $a$ et $b$ entiers naturels tels que $ab=r$.

Je cherche à prouver qu'un tel rayon d'Asperger, s'il existe, divise nécessairement une puissance de nombre premier. Pour cela j'ai pensé à montrer que $p, q, a, b$ sont premiers entre eux deux à deux si $p>2$ et que $p$ et $q$ ont même parité, puisque $q^{b}-p^{a}=2r$. 

En outre si $r$ est premier, $\{a,b\}=\{1,r\}$. Et là, je bloque.

Des idées ?

Réponses

  • "Divise une puissance de nombre premier", on sent qu'il y a encore eu beaucoup de réflexions derrière cette énième proposition délirante.
  • Vu que je ne suis pas forcément au fait des conventions en la matière ($1$ est-il ou non considéré comme une puissance de nombre premier ?) , je formule de façon générale. Maintenant si tu préfères l'accusation gratuite...
  • JLT
    JLT
    Modifié (2 Apr)
    Pour $n=2203$, $r=6$, $a=2$, $b=3$, $p=47$ et $q=13$ on a bien $(n-r,n+r)=(p^a,q^b)$ et $r=ab$.
    Par ailleurs, pas sûr que Asperger aurait apprécié cette dénomination.
  • Merci beaucoup JLT !
  • Sylvain
    Modifié (2 Apr)
    Mon objectif serait de montrer qu'une infinité d'entiers admettent un rayon d'Asperger, et que parmi ces entiers ceux dont $1$ est rayon d'Asperger en forment un sous ensemble de densité strictement positive.
  • Comme dit JLT, rendons à César ce qui appartient à César, et parlons de rayon de Sylvain, pas de rayon d'Asperger.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • LEG
    LEG
    Modifié (2 Apr)
    Bonjour
    Pourquoi (s'il existe ) ton "fameux" rayon $r$ ou ta différence par rapport à $n$ entre deux nombres premiers  $(p,q)$ tel que $p+q=2n$ n'existerait pas ? étant donnée que jusqu'à preuve du contraire , la conjecture de Goldbach est vraie ...? 
    Tu cherches  à prouver que ta différence $r$ avec $r > 0$ ; divise nécessairement cette puissance de ces deux nombres premiers $(p,q)$  quelque soit le couple de nombres premiers qui décomposent $2n$ en la somme de deux nombres premiers ... Et alors ?  
     Si $r=4$ est pair et que $p^1$ ou $q^4$ est impair, par exemple $3 + 11=14$ , on fait quoi ?
  • Poirot
    Modifié (2 Apr)
    LEG a dit :
    jusqu'à preuve du contraire , la Conjecture de Goldbach est vraie ...?
    Certaines personnes n'ont visiblement jamais suivi de cours de mathématiques.
  • Poirot
    Modifié (2 Apr)
    Sylvain a dit :
    Mon objectif serait de montrer qu'une infinité d'entiers admettent un rayon d'Asperger, et que parmi ces entiers ceux dont $1$ est rayon d'Asperger en forment un sous ensemble de densité strictement positive.
    C'est très bien, mais sur quoi te bases-tu pour imaginer qu'une telle chose soit vraie ? Tu balances constamment des concepts autour de Goldbach sans rien produire derrière, en sous-entendant "si on parvenait à montrer ce truc aussi compliqué que Goldbach, alors on obtiendrait Goldbach".
  • En l'occurrence, il s'agit plus exactement de la conjecture des nombres premiers jumeaux. ChatGPT compte 77 entiers inférieurs à 2000 admettant un rayon "de Sylvain", pour 61 desquels ce rayon vaut 1. J'attends de recevoir demain un nouveau pc portable pour pousser les calculs plus loin et avec un peu de chance identifier des régularités à partir desquelles construire un raisonnement.
  • Georges Abitbol
    Modifié (2 Apr)
    @Sylvain : Tu devrais essayer de programmer par toi-même ces calculs, tu ne peux pas avoir la garantie formelle que ChatGPT ne se trompe pas...
    A part ça, tu sais que quand tu dis "mon objectif est de montrer $A$", tout ce qu'on entend, c'est "je n'arrive pas à montrer $A$" ? Si jamais on te porte de l'estime, le seul effet qu'a cette phrase est ne nous faire un peu moins croire en $A$. J'ai l'impression que tout ce que j'ai lu de toi, c'est des annonces de "désir de démontrer quelque chose". Je pense que tu devrais plutôt démontrer des choses, peut-être plus faciles, peut-être déjà connues.
    @Poirot : Je te trouve plein de mépris, aujourd'hui. Annoncer des choses à la troisième personne à propos de personnes qui lisent ce que tu écris, je pense que c'est très impoli.
  • Non, je ne sais pas nécessairement qu'on "entend" autre chose que ce qui est dit. Ça tient de l'interprétation personnelle et du jugement à l'aune des normes sociales plutôt que de la logique et de l'écoute.
  • lourrran
    Modifié (2 Apr)
    On voit souvent des messages du genre : Je voudrais démontrer tel résultat sur les nombres premiers.

    Systématiquement, le vrai contenu derrière ces messages, c'est : 
    - j'ai fait des calculs.
    - sur les tests que j'ai faits, ce résultat est toujours vrai.
    - je n'ai pas les compétences informatiques pour tester plus sérieusement.
    - j'imagine que le résultat obtenu est vrai pour tous les nombres entiers et j'aimerais que quelqu'un le démontre à ma place.

    Et souvent, la personne qui prend le relais fait des tests un peu plus sérieux, et trouve un contre-exemple, ce qui prouve en fait que le résultat à prouver est faux.
    Souvent, la personne revient avec un nouveau truc à démontrer ... 

    Exemple de comportement courant : 
    - J'aimerais montrer que tous les nombres qui vérifient telle propriété $A$ sont des nombres premiers ...
    - Non, ton résultat est faux, voici un contre-exemple.
    Puis un mois plus tard (ou quelques heures plus tard !!!!) : 
    - j'aimerais montrer que tous les nombres qui vérifient telle propriété $A$ et qui en plus sont de telle ou telle forme $B$ sont des nombres premiers...
    - Non, ton résultat est faux, voici un contre-exemple.
    Puis encore un mois plus tard :
    - j'aimerais montrer que tous les nombres qui vérifient telle propriété $A$ et qui en plus sont de telle ou telle forme $B$ et qui en plus ne sont pas de telle forme $C$ sont des nombres premiers...
    - Et là, il y a toujours des contre-exemple, mais avec des nombres si grands que personne ne prend la peine de les chercher. 

    Les nombres premiers ont ce pouvoir magique d'envoûter les apprentis-mathématiciens. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @Sylvain : Bon, ok, on n'entend pas que ça, mais on déduit "je ne sais pas démontrer $A$" de l'annonce "je veux démontrer $A$". C'est juste ça. En fait, tu vas avoir du mal à nous intéresser si tu ne dis que ça. Par contre, si $B$ est une conjecture importante, et que tu nous dis "je veux démontrer $A$, parce que je sais que $B$ vous intéresse, et voici une démonstration du fait que si $A$ alors $B$ : blablabla", ça risque de nous intéresser, surtout si la démonstration "blablabla" est intéressante.
  • Pour ceux qui n'auraient pas compris : si il y a une infinité de $(p,q,a,b)$ comme le décrit Sylvain et la densité dans cet ensemble du sous-ensemble des quadruplets $(p,q,1,1)$ est strictement positive, alors la conjecture des nombres premiers jumeaux est vraie car les $(p,q,1,1)$ vérifient $p+2 = q$. Maintenant, en quoi ça nous avance de considérer ce problème ?
  • Merci Bibix pour la reformulation. Je pensais que ma condition serait potentiellement plus facile d'accès que la conjecture des premiers jumeaux dont elle est une version légèrement affaiblie, mais ça semble de plus en plus douteux...tant pis, j'aurai essayé.
  • Sylvain
    Modifié (2 Apr)
    J'ai réfléchi et me suis rendu compte qu'il vaudrait mieux requérir $ab=r^{2}$ pour faire un lien avec un rayon de courbure, la dérivée arithmétique (sauf erreur la dérivée arithmétique de $p^{a}+q^{b}$ vaut $a+b$ soit $2r$ si $a=b$) et la géométrie différentielle. Les physiciens voient la différentielle comme une "différence suffisamment petite" et c'est là que ça devient intéressant : la différence $2=2r$ lorsque $ab=r^2=1$ entre deux premiers jumeaux $p$ et $q$ est constante donc bornée, et donc négligeable quand $p$ et $q$ tendent vers l'infini si toutefois ils le font. Cette constance d'une dérivée évoque une courbure globalement nulle et donc une droite...qui s'étend à l'infini. 
    D'où : 
    Définition
    Un entier n sera appelé "champ arithmétique" s'il admet un "rayon de courbure arithmétique" r défini par $(n-r,n+r)=(p^{a},q^{b})$ avec $p$ et $q$ premiers et $ab=r^{2}$. On appelle "courbure arithmétique" d'un champ arithmétique la quantité $1/r^{2}$.
    La conjecture des nombres premiers jumeaux devient alors : 
    Il existe une infinité de champs arithmétiques de courbure unité.
  • Si des lecteurs avaient encore des doutes sur le sérieux de la proposition, je pense qu'il n'y a rien à ajouter.
  • J'ai édité mon précédent message, j'ai ajouté la partie entre parenthèses (ou quelques heures plus tard)
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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