Le théorème des nombres premiers en un clin d’œil

Boécien
Modifié (April 2024) dans Arithmétique
On considère tous les diviseurs $>1$ et $<k$ des entiers $k=3,4,\dots,n$.
On attribue à chacun de ces diviseurs propres une boule blanche.
On attribue à chaque entier $3,..,n$ une boule noire.
On place les boules dans une urne.
On tire une boule. Quelle est la probabilité $p(n)$ de ne pas tomber sur une boule blanche ?
Réponse : c'est la probabilité de tomber sur une noire c.a.d
$$p(n)=\frac{n-2}{n-2+\sum_{k=3}^{n}\tau(k)-2}\sim\frac{n}{n\log n}=\frac{1}{\log n}\ \left(n\rightarrow\infty\right).$$
Mais ne pas tomber sur une boule blanche cela veut dire qu'on n'est pas tombé sur un des diviseurs propres d'un nombre composé entre $3$ et $n$. On est donc tombé sur un nombre premier et cette probabilité $p(n)$ c'est donc aussi $$p(n)=\frac{\pi(n)-1}{n-2}.$$
On a donc montré le TNP à savoir $$\pi(n)\sim\frac{n}{\log n}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$
Pour plus de détails techniques et dissiper les malentendus cliquer sur révéler.
Bon 1er avril.

Réponses

  • Boécien
    Modifié (April 2024)
    Le fait d'avoir enlevé le "Révéler"  ne permet pas de voir qu'il s'agissait d'un poisson d'avril. Une preuve du TNP en 10 lignes!
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