Ensemble image d'une fonction

Lazare
Modifié (1 Apr) dans Shtam
Bonjour.
Je cherche à calculer l'ensemble image de cette fonction :
$\lim_{h \to 0}f(x)=\frac{x+h}{x}$, où $x \in \mathbb{R^*}$
graphiquement je trouve que l'ensemble image est défini sur $\mathbb{R}$ excluant $1$.
Mais pour une preuve solide je ne sais pas comment m'y prendre/par où commencer. 

EDIT!!!: je me suis trompé dans l'écriture de la fonction.
La bonne rédaction est :
$f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{x+h}{x}$, dans laquelle $x \in \mathbb{R^*}$
«134

Réponses

  • Lazare a dit :
    cette fonction:
    $\lim_{h \to 0}f(x)=\frac{x+h}{x}$ ou $x \in \mathbb{R*}$

    Pourquoi il y a une limite quand $h$ tend vers $0$ dans ta définition ?

  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JTL
    Parce que eh bah... c'est la définition de la fonction dans mon problème.
    Pourquoi il y a $e$ dans $e^x$ ? Et pourquoi le ciel bleu est bleu ?
    Je ne comprends pas le sens de ta question.
  • JLapin
    Modifié (1 Apr)
    Une limite quand h tend vers 0 ne peut dépendre de h. Ton égalité et donc ta question n’a aucun sens.
  • Lazare
    Modifié (2 Apr)
    @JLapin
    Je ne comprends pas non plus le sens de ta réponse.
    Que veux dire une limite qui dépend de quelque chose ?
  • @Lazare : bonjour. Je vais essayer d'être clair. Ou bien tu te montres plus coopératif, ou bien je ferme cette discussion. Dépose une copie de l'énoncé exact qui te préoccupe (une photo, par exemple).
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Quand on dit « limite de $f(h)$ quand $h$ tend vers zéro », il n’y a plus de « $h$ ». 
    C’est cela qui t’est dit assez poliment. 
    Très grossièrement ça peut dans certains cas (les plus simples et donc les moins intéressants) revenir à remplacer $h$ par zéro. 
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @Thierry Poma
    C'est moi qui ai fait l'énoncé. Je tombe sur ce problème en cherchant une solution a un autre problème. Je veux bien  entendre que j'ai enfreint certaines règles d'énonciation. Mais si on ne m'explique pas où est l'erreur je vais peut-être finir par comprendre tout seul mais avec du temps.
  • Mon pseudo est JLT et non JTL.
    Pour comprendre de quelle fonction tu parles, dis-moi quelle est l'image de 17 par cette fonction.
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Bonjour Lazare.
    Si tu fais un énoncé, il faut qu'il soit clair. Tu parles d'une fonction. Mais tu écris une limite, pas une fonction. Quel est le nom de la fonction ? Quel est l'ensemble de départ ? Pour un $x$ de l'ensemble de départ, quelle est l'image de $x$ ?
    Et il est évident que les règles d'écriture des notations mathématiques sont à respecter. Par exemple $\lim_{h \to 0}f(x)$ n'a pas de sens, puisqu'il n'y a pas de h dans $f(x)$ ; et le = signifie qu'on donne la valeur de la limite, donc qu'il n'y a plus de $h$, il est "passé à la limite".
    Cordialement.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLT
    L'image de 17 par cette fonction est 1.
    (edit)Enfin, quelque chose de très proche de 1.
    1.0000000[0 itéré à l'infini].
  • Pourquoi ???
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    NB : $\lim_{h \to 0}\frac{x+h}{x} = 1$ Pour tout $x\neq 0$.
    Il y a un $h$ dans l'expression dont on cherche la limite et plus dans la valeur de la limite.
  • Si $f(x)$ était définie par $f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x+h}{x}$ alors on aurait $f(x)=1$ pour tout $x$, donc l'image de $f$ serait $\{1\}$.
    Si $f$ est comme dans l'énoncé initial, alors la définition n'a pas de sens.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @gerard0
    Et pour $x=\frac{h}{2}$ ?
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @gerard0 @JLT
    Si je comprends bien mon erreur, c'est que j'ai placé la limite de $h$ avant le $f(x)=$ ?
    $\lim_{h \to 0}f(x)=\frac{x+h}{x}$
    au lieu de :
    $f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{x+h}{x}$  ?
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Désolé, mais je ne comprends pas. De quoi parles-tu ? Tu n'as toujours pas dit quelle est ta fonction. Un peu de sérieux, s'il te plaît !
    À moins que ce sujet soit un poisson d'avril. Mais il n'y a rien de drôle ...
  • Comme j'ai dit, la première "définition" n'a pas de sens. La deuxième a un sens, et donne $f(x)=1$ pour tout $x$.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLT
    meme question que pour @gerard0
    Et pour $x=\frac{h}{2}$ ?
    L'image serait 1 aussi ?
  • Ça commence à me rappeler la célèbre devinette "Quelle est la différence entre un martin-pêcheur ?".
  • @Lazare Dans ce cas ton problème est ce que d'aucuns appellent un problème mal posé car si $x=h/2$ il n'y a stricto sensu aucune variable libre et non  une seule variable libre x. En théorie des ensembles bien rédigée on précise les énoncés avec des $\forall$, $\exists$, $\in$ alors soit tu cultives volontairement l'ambiguité la confusion soit tu n'as rien compris de ce qu'est une fonction et l'ensemble image d'un domaine de définition d'une fonction!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @Lazare : pour la dernière fois, veux-tu prendre une photo de ton énoncé et la déposer ici-même ? Merci !
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • JLT
    JLT
    Modifié (1 Apr)
    Tes messages ressemblent à du charabia parce que tu ne sembles pas avoir compris ce qu'est une variable liée en mathématiques.
    Par exemple dans $S=\sum_{n=1}^{4} n^2$ la variable $n$ est liée. On aurait pu écrire $S=\sum_{w=1}^{4} w^2$ou $S=\sum_{r=1}^{4} r^2$. Il vaut $S=30$.
    De même dans l'expression $\lim_{h\to 0}\frac{x+h}{x}$, la variable $h$ est liée. On aurait pu écrire $\lim_{\alpha\to 0}\frac{x+\alpha}{x}$ ou $\lim_{w\to 0}\frac{x+w}{x}$, le résultat est le même : ça vaut toujours $1$.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @gerard0 @JLT
    J'ai réécrit la fonction en edit dans mon premier message en corrigeant l'erreur.
    @Thierry Poma
    Te t'ai déjà répondu plus haut que j'ai moi même fait l'énoncé de ce problème. Je ne pourai donc pas te montrer une photo d'un livre avec ce problème.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLT
    Ce n'est pas que je n'ai pas compris ce qu'est une variable liée. C'est que je ne suis pas sensé l'avoir compris. J'ai un niveau de formation lycée :D. Je n'en ai jamais entendu parler  :D
  • @Lazare : je viens donc de transférer ton fil dans le dossier Collège/Lycée qui me semble plus approprié.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • AlainLyon
    Modifié (1 Apr)
    @Lazare Dans ce cas si $x\not= 0$ ce n'est pas très compliqué de trouver la limite quand $h$ tend vers $0$ de $\dfrac{x+h}{x}$. Il y a des règles sur les limites des sommes et rapports ! Au final, tu dois pouvoir faire apparaître après $f(x)=$ une expression très simple qui ne dépend pas de $h$ !
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • La réponse t'a été donnée, pour tout $x$ non nul, on a $f(x)=1$.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @AlainLyon
    Je ne comprends pas tout à fait ce que tu dis  $\frac{h}{2}$ n'appartient pas à $\mathbb{R}^*$ ?
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @zeitnot
    Il me reste à comprendre pourquoi $x=\frac{h}{2}$ n'est pas autorisé apres ce sera ok pour moi.
    edit : mon but but ici est de trouver une preuve, pas un argument d'autorité rébarbatif.
  • JLT
    JLT
    Modifié (1 Apr)
    L'expression $f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x+h}{x}$ signifie intuitivement si on se fixe un $x\ne 0$ réel, on calcule le quotient $\frac{x+h}{x}$ pour $h$ de plus en plus petit et on regarde vers quoi ça se rapproche quand $h$ s'approche de $0$. Bref le $x$ "ne bouge pas" tandis que $h$ "bouge et s'approche de $0$". Si tu dis que tu prends $x=\frac{h}{2}$ c'est comme si tu veux faire bouger $x$ en même temps que $h$.
    Bon mes explications ci-dessus sont un peu vaseuses. Le vrai problème c'est ta non-compréhension du statut des variables en mathématiques.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JTL
    Comme je t'ai dit plus haut. J'ai un niveau lycée. Si tu me parles de statut des variables c'est du chinois pour moi. Ce n'est pas ma faute.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JTL

    Si je te poses:

    $\lim_{h \to 0}\frac{2h+h}{h}$

    Tu me diras ça n'as pas de sens parce qu'il n'y a plusieurs h qui bougent en meme temps?

    (édit)Si je te donnes:

    $f(x)=12*3$

    Tu me dirais que cette fonction n'as pas de sens parce qu'il n'y a pas de $x$ dans $12*3$ ?
  • AlainLyon
    Modifié (1 Apr)
    @Lazare Si $x$ est n'importe quel nombre réel et si $h$ tend vers $0$, quelle est la limite de $x+h$? (h "bouge" mais x ne "bouge" pas!)
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • JLT
    JLT
    Modifié (1 Apr)
    Mon pseudo c'est quoi déjà ?
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLT
    Déso.
  • raoul.S
    Modifié (1 Apr)
    JLT a dit : 
    Si tu dis que tu prends $x=\frac{h}{2}$ c'est comme si tu veux faire bouger $x$ en même temps que $h$

    En fait je crois que ce qu'il voulait dire c'est : si on remplace formellement $x$ par $h/2$ dans l'expression $\lim_{h \to 0}\frac{x+h}{x}$.

  • zeitnot
    Modifié (1 Apr)
    Lazare a dit :
    @zeitnot
    Il me reste à comprendre pourquoi $x=\frac{h}{2}$ n'est pas autorisé apres ce sera ok pour moi.
    edit : mon but but ici est de trouver une preuve, pas un argument d'autorité rébarbatif.
    Par ce que ça n'aurait aucun sens, c'est comme si tu écris par exemple :
    $f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+5} {x}$
    Puis tu demandes que vaut $f(3)$, tu réponds quoi ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @AlainLyon
    D'après moi ce serait logiquement $1$ si $x$ est un nombre qui ne se rapproche pas de $h$. Si $x=3h$ par exemple ce serait $0$.
    Après je veux bien que cette logique qui est la mienne ne soit pas la bonne. Cela m'intrigue juste de comprendre pourquoi.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLT
     Je crois que je suis un peu dyslexique et autiste. Si j'inverse des lettres dans un mot ou un nom ce n'est pas intentionnel. Cela m'arrive souvent. Aussi d'écrire un mot à la place d'un autre.
    Je confonds aussi la droite et la gauche.
  • JLT
    JLT
    Modifié (1 Apr)
    Essayons de poser deux questions.
    Soit $g(x)=\lim_{h\to 0} 1+h$.
    a) Si $t$ est un réel quelconque, que vaut $g(t)$ ?
    b) Toto te demande "que vaut $g(h)$ ?". Que répondre à Toto ?
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @zeitnot
    Ce que tu veux dire c'est que c'est juste une erreur d'écriture ?

    Moi je pense que non. il doit y avoir une explication logique ou au moins un axiome qui doit expliquer cela. $h$ est un réel il a logiquement son droit d'exister à un endroit ou tout les réels ont leur place et $h+h$ peut s'écrire $2h$, on peut le manipuler dans une certaine mesure. Bref il me faut plus d'explications.
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Lazare
    Ta question n'est toujours pas bien posée, car tu n'as pas dit qui est $x$ au départ (ce qu'on appelle le statut de $x$). Comme tu n'en disais rien, le $h$ de la limite n'a aucun rapport avec $x$, d'où notre incompréhension, et notre perplexité lorsque tu rajoutes "et si $x=\frac h 2$".
    Je vois un énoncé clair, celui que tu as écrit au départ, où $x$ est un réel non nul, mais n'a pas de lien avec le $h$ de la limite, qui d'ailleurs pourrait s'appeler $t$, ou $u$), et dont la réponse est 1
    $\lim\limits_{h\to 0} \frac{x+h}x= \lim\limits_{t\to 0} 1+\frac{t}x = 1+0 = 1$ (J'ai volontairement changé le nom $h$ en $t$ pour marquer le fait que cette lettre n'a pas de sens en elle-même),
    et un énoncé où tu veux que $x$ et $h$ soient liés, ce qu'on écrit avec une notation fonctionnelle, par exemple $x=x(h)=\frac h 2$. Dans ce deuxième cas, on calcule
    $\lim\limits_{h\to 0} \frac{x+h}x=\lim\limits_{h\to 0} \frac{x(h)+h}{x(h}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{\frac h 2+h}{\frac h 2}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{ \frac {3h} 2}{\frac h 2}=\lim\limits_{h\to 0} 3=3$.
    Mais les deux exercices n'ont rien à voir.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @zeitnot
    Je pense que si on pouvait créer des paradoxes à partir de l'utilisation du $h$ que je fais ce serait une raison logique d'en interdire l'emploi. Et ce serait une explication qui me satisferait entièrement. Interdire juste pour interdire ça me semble plus être un truc politique.
    J'attends vos paradoxes.
  • Réponds d'abord à ma question, dans mon exemple que vaut $f(3)$ est-ce qu'il y a quelque chose qui t'embête ou non ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • @Lazare Je vais donner essayer une analogie : $x$ est le poids d'un verre, $h$ est le poids de l'eau qu'on a versé, on pèse le verre que lit-on sur la balance?
    On met le verre le verre au soleil et l'eau s'évapore (C.a.d $h$ tend vers $0$), on pèse le verre : que lit-on sur la balance?
    Et maintenant j'appelle limite de $x+h$ quand $x$ tend vers $0$ ce qu'on lit sur la balance après évaporation de l'eau? Que vaut cette limite?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @zeitnot
    f(3) est une erreur d'ecriture parcequ'il il y a une explication logique à ca.
  • zeitnot
    Modifié (1 Apr)
    Peux-tu préciser quelle est cette erreur ? Pourquoi je n'aurais pas le droit de calculer l'image de $3$ par $f$ ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @AlainLyon
    Question numéro :
    1)  On lit $x+h$. Tu n'as pas précisé si $h$ tend vers 0 au autre.
    2) $x$
    3) $0$
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @zeitnot
    Parce que cela rentre en conflit avec la définition d'une fonction il manque une variable.
  • Dom
    Dom
    Modifié (1 Apr)
    Dans le message original désormais corrigé (édité), on a encore des expressions étranges comme « ensemble image défini sur… ». 
    Mais la fonction n’est rien d’autre que la fonction constante égale à 1 définie sur l’ensemble des réels non nuls. Ainsi l’ensemble cherché est $\{ 1\}$ comme cela a déjà été dit. 
    PS : honnêtement c’est presque du Shtam…
Cette discussion a été fermée.