Inégalité olympiade internationale

etanche
Modifié (1 Apr) dans Analyse
Bonjour 
$x,y,z$ des réels différents de $1$ avec $xyz=1$
Montrer que $\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1$
Vu ici https://www.youtube.com/watch?v=bfPN2vqlHCc
Objectif trouver d’autres preuves différentes de celle de la vidéo.
Merci.

Réponses

  • yan2
    Modifié (1 Apr)
    Bonjour,
    je n'ai pas vu la vidéo jusqu'au bout, mais voici une solution très courte et directe : $$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}-1\,\,=\,\,\dfrac{(yz+zx+xy-3)^2}{(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2}\,\,\geq\,\,0.
    $$
  • Chaurien
    Modifié (1 Apr)
    Oui c'est ce qu'on trouve ici par « un calcul très ennuyeux » : https://emis.de/classics/Erdos/problems.htm
  • @ Chaurien le lien que tu as donné, c’est sur les problèmes d’Erdös.
    Peux-tu donner le bon lien qui traite différemment l’inégalité que j’ai posté.Merci. 
  • Chaurien
    Modifié (1 Apr)
    Pardon, je me suis emmêlé les pinceaux, je faisais des recherches sur autre chose, dont je parlerai plus tard.
  • Tonm
    Modifié (6 Apr)
    Bonsoir, merci etanche pour le problème. Cette inégalité est jolie surtout en terme de fonction. Il y a la version suivante à vous:
     Soit $x_1,\ldots,x_n$, $n$ nombres réels différents de $1$ avec $n\ge 3$ et $\prod\limits_{i=1}^n x_i\ge 1$, alors $$\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{x_i}{x_i-1}\right)^2\ge 1,$$ avec égalité possible si et seulement si $n=3$ (infinité de cas) ou $n=4$ (un seul cas).
    Cordialement.
  • Chaurien
    Modifié (6 Apr)
    Voici une autre solution pour trois variables :
    https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_IMO_Problems/Problem_2
    Pour aucune des deux, je ne vois le moyen de généraliser à $n$ variables, pour résoudre l'impressionnante généralisation de @Tonm.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • etanche
    Modifié (6 Apr)
    La version générale qu’a postée Tonm est spectaculaire.
  • Tonm
    Modifié (10 Apr)
    Bonjour, oui bon on commence par $n=3$ et $n=4$ puis un argument combinatoire assure le cas pour tout $n$.
    Par exemple si un $x_i\ge 1$ c'est prouvé, puis sinon de la forme de la fonction $\left(\dfrac{x_i}{x_i-1}\right)^2$ on peut supposer (à un facteur près) que $\prod_{i=1}^n x_i=1$. [Et même voir qu'on aura nécessairement un produit de $4$ variables $\ge 1$ un cas déjà prouvé].

    Donc cas $n>3$ impaire et $\prod_{i=1}^n x_i\ge 1$ on a disons $x_n\ge 1$ et donc $\left(\dfrac{x_n}{x_n-1}\right)^2> 1$, sinon $0<x_n<1$ et $P=\prod_{i=1}^{n-1} x_i\ge 1$
    Ce qui est prouvé de l'inégalité dans le cas où $n$ est pair.

    Cas $n$ pair et $n\ge 4$, en choisissant 4 variables par couple de même signe on est sûr qu'un choix - ici $x, \dfrac{1}{ax}, y, \dfrac{1}{by}$- a le produits $\ge 1$ sinon on aura le produit $P<1$ par symétrie, contradiction.
    On prend les deux fonctions, $f_a(x)=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{1}{(1-ax)^2}$ et $f_b(y)=\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{1}{(1-by)^2}$ avec $ab\le 1$ et $a$, $b$ positifs. 
    Un calcul de dérivée pour $f_a(x)$ assure que le minimum si $x\ge 0$ est soit pour $x=0$ (exclu) soit pour $x=\frac{1}{\sqrt{a}}$; on peut supposer $a\ge 5$ sinon $f_a(x)\ge 1$ pour $x>0$.
    Pour $x<0$ le min. est soit pour $r_1=\frac{-1}{\sqrt{a}}$ (si $a\ge 0.25$) ou pour $r_2=\dfrac{3a-1\pm(1-a)\sqrt{1-4a}}{2a^2}$ si $0<a\le 0.25$.
    Après remplacement $f_a(r_1)=\dfrac{2}{(\sqrt{a}+1)^2}$ et $f_a(r_2)=\dfrac{-2a+1}{(a-1)^2}$.
    Avec $0<ab=m\le 1$.

    Le reste est juste une verification à la main que $f_a(x)+f_b(y)\ge 1$ avec $b=\frac{m}{a}$ selon que $x>0$ et $y<0$ ou bien $x<0$ et $y<0$.
    Le cas $n=3$ on a pour $x_1x_2=\dfrac{1}{a}$ ($0<a\le 0.25$)
    $f_a=\dfrac{-2a+1}{(a-1)^2}$ et $x_3=h.a$ pour $h\ge 1$, si $h=1$ la somme est $\dfrac{-2a+1}{(a-1)^2}+\dfrac{a^2}{(a-1)^2}=1$ d'ou l'infinité de cas d'égalité.

    Edit

    Cordialement.
  • @ Tonm penses-tu que l’inégalité de Jensen avec une fonction adéquate peut faire l’affaire ?
  • Bonjour etanche, je crois qu'on pourrait prouver autrement mais je n'ai pas d'idée.
  • depasse
    Modifié (10 Apr)
    Bonjour
    @Tonm, je ne comprends pas comment tu prouves:
    "si $x_1,x_2,x_3$ sont des nombres réels différents de $1$ tels que $\prod\limits_{i=1}^3 x_i\ge 1$, alors $\sum_{i=1}^3\left(\dfrac{x_i}{x_i-1}\right)^2\ge 1$".
    Désolé si c'est trivial.
    Cordialement
    Paul.
  • Tonm
    Modifié (10 Apr)
    Salut, ce n'est pas trivial;
    Si tous les $x_i$ sont positifs alors un $x_0\ge 1$ nécessairement et $\left(\dfrac{x_0}{x_0-1}\right)^2>1$ (prouvé).
    Dans le cas contraire disons $x_1=x<0$, $x_2=\frac{1}{ax}$ et $x_3=x_0=ma>0$, $m\ge 1$, de même si $x_3\ge 1$ on a l'inégalité, sinon avec $x<0$ et $0<a<1$, on étudie le minimum de $$f_a(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2+\dfrac{1}{(1-ax)^2}$$ sur $x<0$. Après calcul de dérivé le minimum est soit pour $x=r_1$ ou $x=r_2$ (voir le post précédent que j'ai changé).
    Enfin $f_a(r_2)+\left(\dfrac{ma}{1-ma}\right)^2\ge 1$ avec égalité si $m=1$. 
    (Même verification avec $f_a(r_1)+\left(\dfrac{ma}{1-ma}\right)^2\ge 1$).
    Cordialement.
  • Merci beaucoup @Tonm
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