Groupe abélien infini

Soit $G$ un groupe abélien sans torsion tel que chaque sous-groupe propre de $G$ est cyclique. Montrer que $G$ est cyclique.

Comment résoudre ce problème ?
Un groupe de torsion est un groupe où tout élément est d’ordre fini. Un groupe est sans torsion si le seul élément d’ordre fini est l’identité. Un groupe sans torsion est donc infini et tous ses sous-groupes propres sont évidemment infinis. Ce qui amène l’inévitable question : comment peut-on être à la fois infini et cyclique ? Pour un groupe, il faut que chacun de ses sous-groupes soit d’indice fini. Autrement dit, pour tout sous-groupe $H$ de $G$, la collection $\{Hg \: \vert \: g \in G \}=[G:H]$ est finie. C’est une caractérisation des groupes infinis cycliques. Mais tout cela reste très théorique. Comment procéder concrètement ? 

En vous remerciant…

Réponses

  • Si on utilise les définitions classiques, le seul groupe cyclique et sans torsion est le groupe trivial…

    Si $G$ contient un élément non trivial $g\in G$, alors le sous-groupe engendré par $g$ n’est pas cyclique.
  • Il faut comprendre « cyclique » comme « monogène », semble-t-il.
  • C’est ça que je ne comprends pas : si $g$ est non trivial, il est d’ordre infini et ne peut engendrer un groupe cyclique.
    Le problème est peut-être mal posé.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (31 Mar)
    Je me suis aussi demandé si ce n’était pas « monogène » qu’il fallait lire, mais ça ne change pas beaucoup la difficulté de l’exercice (en résumé $\Z^2$ est monogène si et seulement si $n=1$).

    Édit : J’ai un peu exagéré, car je m’étais implicitement limité au groupe de rang fini dans mon raisonnement.
  • Donc l'énoncé est le suivant :

    Soit $G$ un groupe abélien infini. On suppose que tous ses sous-groupes propres sont monogènes et infinis.
    Montrer que $G$ est monogène.

    C'est bien ça ?
  • JLapin:: $G$ est un groupe abélien sans torsion. Il existe des groupes infinis qui contiennent des éléments d’ordre fini.
  • Si je suppose que les sous-groupes propres de $G$ sont monogènes et infinis, je peux en déduire facilement que $G$ ne possède pas d'éléments d'ordre fini autre que $e$.
  • raoul.S
    Modifié (1 Apr)
    J'ai une preuve je crois. J'interprète l'énoncé comme JLapin ci-dessus, donc en remplaçant cyclique par monogène infini dans l'énoncé d'origine, car cyclique est réservé aux groupes finis... J'utilise la notation additive.

    On considère le sous-groupe $2G:=\{2g\mid g\in G\}$ : 

    - Si $2G\neq G$ alors il existe $g\in G$ non nul tel que $2G=\langle g\rangle$. Soit $h\in G$ tel que $2h=g$ alors pour tout $g'\in G$, $2g'\in 2G$ et donc il existe $n\in \Z$ tel que $2g'=ng=2nh$. Par suite, $g'=nh$, ce qui prouve que $G=\langle h\rangle$ est monogène.

    - Si $2G=G$ alors... alors on montre que ce cas n'est pas possible. En effet pour $g\in G$ non nul, notons $g/2$ l'unique élément de $G$ vérifiant $2(g/2)=g$ alors on vérifie facilement que le sous-groupe $H:=\{3ng/2^m\mid n,m\in \Z\}$ est un sous-groupe propre de $G$ qui n'est pas engendré par un élément, donc non-monogène.

  • Je vous dois une explication sur la notion de groupe infini cyclique. Dans la littérature anglo-saxonne, on accepte d’étendre la définition de cyclique au cas infini en ne retenant que la condition « monogène ». Par exemple $(\mathbb{Z},+)$ est qualifié de cyclique puisqu’il est engendré par $1$.
    Mais, si j’en crois le deuxième cas de l’exemple donné par Raoul.S, le fait qu’un groupe ne possède que des éléments non-triviaux d’ordre infini ne garantit pas, sauf erreur de ma part, que tous ses sous-groupes propres (forcément infinis) soient cycliques (i.e. monogènes).
  • Un extrait issu de Mathematics Magazine qui m’a aidé à mieux comprendre l’énoncé du problème.

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (1 Apr)
    Le contre-exemple de base est $G=\Q$ : il est sans torsion mais pas monogène.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.