Une seule valeur propre par disque de Gerschgorin

Matricule_63

Bonjour à tous.

Pour rappel, si $A$ est une matrice de taille $n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$, on appelle $D_i$ le $i-ème $ disque de Gerschgorin la boule fermée de centre $a_{i,i}$ de rayon $\sum_{j\neq i} |a_{i,j}|$.

Il se trouve que toute valeur propre de $A$ appartient à l'un des $D_i$, ça pas de problème.
Mais dans une démonstration, je vois apparaître l'affirmation que si $D_i$ est un disque isolé (son intersection avec les autres est réduite à l'ensemble vide), il contient une et une seule valeur propre.

Une idée de comment démontrer cela ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Une idée est de définir la matrice $A(t)$ par $A(t)_{i,j}=a_{i,j}$ si $j=i$ et $ta_{i,j}$ sinon, de sorte que $A(0)$ est la matrice diagonale qui a même diagonale que $A$ et $A(1)=A$. On regarde ce qui se passe pour les valeurs propres de $A(t)$ quand $t$ va de 0 à 1 en utilisant le théorème de Gerschgorin et la continuité des valeurs propres.

Matricule_63

Merci je vois!

JLapin

Merci pour la preuve. Avec la même idée, on peut montrer que si $A$ est une matrice réelle vérifiant $a_{i,i}> \sum_{j\neq i} a_{i,j}$ pour tout $i$, alors $\det A>0$.