Somme de coefficients binomiaux

tatof
Modifié (31 Mar) dans Analyse
Bonjour
J'aimerais savoir comment calculer cette somme: $C_n^k+C_n^{k+1}+\dots+C_n^{k+L}$ avec $k,L,n \in \mathbb{N}^{\ast}$ et $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Merci.

Réponses

  • Chaurien
    Modifié (31 Mar)
    Il ne semble pas qu'il y ait une formule fermée en général. 
    Et attention à la définition. On peut définir $C_n^k$ de plusieurs façons. Définir $C_n^k:=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ comme tu fais, ce n'est valable que si $n \in \mathbb N, k \in \mathbb N, 0 \le k \le n$. Il faut donc que tu supposes $k+L \le n$. Ou alors, prends une autre définition de  $C_n^k$, valable pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $ k \in \mathbb N$.
  • philou22
    Modifié (31 Mar)
    Peut-être en développant $(1+1)^n$ avec la formule du binôme de Newton.

    NB : la définition classique des coefficients binomiaux est le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
  • Suppose au début k=n
  • Salut,
    A la limite, tu peut regarder ça comme $2^n$ fois la proba qu'une binomiale de paramètre $1/2$ donne un résultat entre $k$ et $k\!+\!L$ puis approximer le résultat par une loi normale.
  • gerard0
    Modifié (31 Mar)
    Bonsoir Ben314159.
    Bonne idée, mais qui ne donne une bonne approximation que si $k$ et $k+L$ sont proches de $\frac n 2$ (et bien évidemment, $n$ "grand"). Loin de l'espérance, l'approximation Normale donne des résultats désastreux.
    Cordialement.
  • Chaurien
    Modifié (1 Apr)
    • Il y a une formule pour les sommes successives de coefficients d'une ligne du triangle de Pascal, mais partant du début et alternées.
    • Pour moi, la meilleure définition des coefficients binomiaux est, et pour  $x\in \mathbb{R}$ ou même, si besoin est, pour $x \in \mathbb{C}$  :   $\binom{x}{0}=1$ et $\binom{x}{k}=\frac{1}{k!}x(x-1)\cdots(x-k+1)$, pour $k\in \mathbb{N}^{\ast }$,
    Lorsque $x \in \mathbb N$, ce nombre $\binom{x}{k}$  est bien le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $x$ éléments, même si $k>x$. Si de plus $0 \le k \le x$, alors $\binom{x}{k}=\frac{x!}{k!(x-k)!}$. Tout ceci est bien connu.
    • Pour tout $x\in \mathbb{R}$ (ou $x\in \mathbb{C}$) et tout $p\in \mathbb{N}$, on a : $\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}(-1)^{k}\binom{x}{k}=(-1)^{p}\binom{x-1}{p}$.
    Bonne journée de ce lundi de Pâques 2024.
    Fr. Ch.
  • tatof
    Modifié (1 Apr)
    J'ai décidé de simplifier le problème. Je pars de l'égalité $\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n$ et j'obtiens : $\sum_{k=1}^L {n \choose k}=2^n-1-\sum_{k=L+1}^n {n \choose k}$.
    Puis j'utilise un logiciel de calcul pour trouver l'égalité de droite. Par exemple, je prends $n=180$ et $L=10$ et je m'aperçois que le calcul est trop important pour le logiciel (résultat faux par exemple avec $n=180$ et $L=1$). Du coup je décide de passer au logarithme et d'utiliser l'approximation de Stirling pour calcul le terme $\sum_{k=L+1}^n {n \choose k}$ en sachant que $\log(n!)=n \log(n)-n$. Mais le résultat est toujours erroné quand j'utilise le logiciel.
    Comment régler le problème ?
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Bonjour.
    Utilise un logiciel de calcul exact. Par exemple Maple donne pour ta somme de coefficients binomiaux de 11 à 180 le nombre
    1532495540865888858358347027150309183610640281478724754
    et pour la somme de 1 à 180 (par addition)
    1532495540865888858358347027150309183618739122183602175
    Qui est bien $2^{180}-1$.
    Cordialement.
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