Nombre d'or - sujet Centrale 198X - nombres de Beatty

Boris78

Bonjour, jadis en prépa j'ai fait un sujet de Centrale de 198X dans lequel il y avait une partition de $\N$ avec $E(n\omega)$ et $E(n\omega^{2})$ qui est un cas particulier des nombres de Beatty. Je recherche ce sujet, j'aimerai le refaire par nostalgie. Si une bonne âme peut le poster... À votre bon cœur !

JLapin

Voici le sujet
https://prepas.org/index.php?module=Sujets&voir=get&file=doc-797bc8833077a876d2c9
Bon courage

JLapin

Cette version est plus propre mais moins "historique"
https://prepas.org/index.php?module=Sujets&voir=get&file=doc-8cf9298296e6db36a5e5

Boris78

Hooo merci beaucoup je vais refaire la version historique, elle est très belle ! Vous avez ensoleillé mon dimanche.

Madec

Bonjour 

A la dernière question de cet intéressant problème ( intéressant  pour moi car il nécessite peu de connaissances post bac de l'époque).
il est demandé de montrer qu'une partition de $N^*$  en deux sous ensemble $ E(n\theta)$ et $E(n\theta^2)$ ou $n$ décrit $N^*$ n'est possible que 
si $\theta=\omega$
il est dit , on montrera dans un premier temps que $\theta$ > $1$

je ne vois pas où ils veulent en venir  avec  ce "premier temps" car  en s'inspirant de la démonstration du théorème de Beatty (wikipedia) , avec des considérations de densité on montre que $\theta$ doit vérifier la même équation du second degré que $\omega$ et donc ces nombres sont égaux (car positifs tous les deux) , on ne suppose pas  $\theta> 1$

Area 51

C'est pour faire cadeau d' 1/4 de point.

Madec

Hum hum 
un petit cadeau à la dernière question 
d’un problème d’une quinzaine de questions serait 
assez bizarre .