Décomposition canonique morphisme de groupe

marc0075
Modifié (30 Mar) dans Algèbre
J'ai du mal à établir la décomposition canonique du morphisme suivant
f : ( Z,+ )   ---->(Z,+)
x--->2x
Le noyau est réduit à {0}

Réponses

  • NicoLeProf
    Modifié (30 Mar)
    Bonjour marc0075, le noyau est effectivement réduit à $\{0\}$, on peut l'écrire aussi : $0 \mathbb{Z}$ pour bien se souvenir que le noyau d'un tel morphisme est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
    Par suite, $Im f$ est l'ensemble des entiers pairs soit $2 \mathbb{Z}$ (qui est aussi un sous-groupe de $\mathbb{Z}$).
    Et on a la décomposition canonique suivante : $f=i \circ \overline{f} \circ p$ où $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/\ker f$ i.e : $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/0 \mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ (abus de notation, on a des groupes isomorphes en fait) donc $p=id_{\mathbb{Z}}$ (abusif aussi).
    De plus, $i$ est l'injection canonique de $Im f=2 \mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ telle que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $i(n)=n$ et enfin $\overline{f}$ est l'isomorphisme de $\mathbb{Z}/\ker f=\mathbb{Z}$ dans $Im f=2\mathbb{Z}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $\overline{f}(n)=2n$.
    On a bien : $f=i \circ \overline{f} \circ p$.
    En effet, soit $n \in \mathbb{Z}$, alors $i \circ \overline{f} \circ p(n)=i \circ \overline{f} (n)=i(2n)=2n$.
    Bien se souvenir que $i$ et $p$ sont canoniques dans cette décomposition justement ! ;)
    Edit : correction de quelques coquilles dans mon message.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • et si on choisit

    f : ( Z,+ )   ---->(Z,+)
    x--->0
    Le noyau est Z
    que devient Z/Z ?



  • NicoLeProf
    Modifié (30 Mar)
    Dans ce cas, $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\{0\}$. En effet, pour le voir, il faut considérer un élément de $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$, il s'agit d'une classe d'équivalence modulo $1$. Or, tout $n \in \mathbb{Z}$ est congru à $0$ modulo $1$. Donc tout entier relatif est dans la classe de $0$.
    Conclusion : $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$ est constitué que d'une classe d'où l'isomorphisme : $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} \simeq \{0\}$.
    Dans ce cas, $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\{0\}$ (où je renote abusivement $\{0\}$ pour $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$) qui à $n \in \mathbb{Z}$ associe $0$. Ensuite, $i$ est l'injection canonique de $Im f=\{0\}$ dans $\mathbb{Z}$ ($i$ envoie seulement $0$ sur lui-même en fait ^^') et $\overline{f}$ est l'isomorphisme de $\{0\}$ dans $Im f=\{0\}$ qui à $0$ associe $0$.
    Par suite, on a bien $f=i \circ \overline{f} \circ p$. En effet, soit $n \in \mathbb{Z}$. Alors $i \circ \overline{f} \circ p(n)=i \circ \overline{f}(0)=i(0)=0$.
    Cela te semble clair? :);)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Très bien merci ! ! !
  • marc0075
    Modifié (31 Mar)
    voir post suivant
  • marc0075
    Modifié (31 Mar)

    Finalement,  je me rends compte qu'on peut décomposer canoniquement n'importe quelle application f de E vers F

    l'idée étant de réunir tous les nombres ayant la même image par une relation d'équivalence

    ( xRy ssi f(x)=f(y)  )

    ce qui rend la fonction injective (car deux nombres différents ne pourront plus avoir des images égales ) en partant de l'ensemble quotient E/R.  De plus en l'envoyant sur Im f , on la rend aussi surjective donc in fine bijective de  E/R vers Imf.

  • marc0075
    Modifié (31 Mar)

    et donc si j'ai bien compris,  je peux par exemple décomposer canoniquement l'application carré de R dans R en posant x R y si et seulement x²=y²    Soit  cl(x) = |x|  

    Mon ensemble quotient R/R est alors R+

    Im(f) = R+

    Dans ce cas, p est la surjection canonique de R dans R+ qui à x ∈ R  associe |x| . Ensuite, i est l'injection canonique de Im f = R+ dans R (i(x)=x )  et  <f> est l'isomorphisme de R+ dans R+ qui à x associe x²
    Par suite, on a bien f = i ∘ <f>∘ p.
    En effet, soit x∈R. Alors i ∘ <f>∘ p (x)= i ∘ <f>(|x|))=i ( |x|²) = i (x²)= x² 

    Merci Nicoleprof de me dire si c'est correct ou non.

  • C'est très bien marc0075 !!! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • raoul.S
    Modifié (31 Mar)
    Il y a quand même une erreur : la classe de $x$ pour ta relation d'équivalence est $cl(x):=\{x,-x\}$ et l'ensemble quotient $\R/R=\{\{x,-x\}\mid x\in \R\}$.
    marc0075 a dit : 
    Finalement,  je me rends compte qu'on peut décomposer canoniquement n'importe quelle application f de E vers F
    l'idée étant de réunir tous les nombres ayant la même image par une relation d'équivalence
    ( xRy ssi f(x)=f(y)  )

    Oui exactement.

  • Oui @raoul.S, j'avais zappé cela en effet, c'est vrai que la notation "cl(x) = |x| " n'est pas correcte.
    Mais je n'ai pas l'impression que ça change fondamentalement le fond, on a toujours $\R/R=\{\{x,-x\}\mid x\in \R\} \simeq \R^+$ non? (considéré comme un isomorphisme d'ensembles).
    Si je définis l'application : $\R/R \rightarrow \R^+$ qui à $\{x,-x\}$ associe $|x|$, j'ai bien une bijection, cela se voit et se prouve facilement : je prends le représentant positif de la classe concernée. Donc $p$ peut être définie  comme Marc l'a fait non?
    Sinon, on peut définir $p$ comme ceci : $p : \R \rightarrow \R/R$ qui à $x$ associe $cl(x)$ et $\overline{f} : \R/R \rightarrow \R^+$ qui à $cl(x)$ associe $x^2$.
    On a bien : $f=i \circ \overline{f} \circ p$. En effet, soit $x \in \R$ alors $i \circ \overline{f} \circ p(x)=i \circ \overline{f}(cl(x))=i(x^2)=x^2$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je m'étais posé la question  et trouvais la valeur absolue adaptée car on peut choisir n'importe lequel de ses représentants pour désigner une classe d'équivalence
  • raoul.S
    Modifié (31 Mar)
    Oui ce que marc a fait fonctionne, on obtient un diagramme commutatif, mais dans ce cas $p$ n'est plus la projection canonique et on ne parle plus de "décomposition canonique" suivant la relation d'équivalence.

    Si $E$ est un ensemble et $R$ une relation d'équivalence sur $E$ alors la projection canonique (ou surjection canonique) est par définition l'application $p:E\to E/R, x\mapsto cl(x)$.
  • Oui en effet, merci pour la précision raoul ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Merci Raoul . Quelle classe ! :)
  • Juste un petit ajout pour culture générale : la propriété citée par marc0075 se généralise (un peu), voir Wikipedia Théorème de factorisation. Ce théorème se décline dans les groupes, anneaux, espaces vectoriels, espaces topologiques etc.
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