Décomposition canonique morphisme de groupe

marc0075

J'ai du mal à établir la décomposition canonique du morphisme suivant

f : ( Z,+ )   ---->(Z,+)

x--->2x

Le noyau est réduit à {0}

NicoLeProf

Bonjour marc0075, le noyau est effectivement réduit à $\{0\}$, on peut l'écrire aussi : $0 \mathbb{Z}$ pour bien se souvenir que le noyau d'un tel morphisme est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.

Par suite, $Im f$ est l'ensemble des entiers pairs soit $2 \mathbb{Z}$ (qui est aussi un sous-groupe de $\mathbb{Z}$).

Et on a la décomposition canonique suivante : $f=i \circ \overline{f} \circ p$ où $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/\ker f$ i.e : $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/0 \mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ (abus de notation, on a des groupes isomorphes en fait) donc $p=id_{\mathbb{Z}}$ (abusif aussi).

De plus, $i$ est l'injection canonique de $Im f=2 \mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ telle que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $i(n)=n$ et enfin $\overline{f}$ est l'isomorphisme de $\mathbb{Z}/\ker f=\mathbb{Z}$ dans $Im f=2\mathbb{Z}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $\overline{f}(n)=2n$.

On a bien : $f=i \circ \overline{f} \circ p$.

En effet, soit $n \in \mathbb{Z}$, alors $i \circ \overline{f} \circ p(n)=i \circ \overline{f} (n)=i(2n)=2n$.

Bien se souvenir que $i$ et $p$ sont canoniques dans cette décomposition justement !

Edit : correction de quelques coquilles dans mon message.

marc0075

et si on choisit

f : ( Z,+ )   ---->(Z,+)

x--->0

Le noyau est Z

que devient Z/Z ?

NicoLeProf

Dans ce cas, $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\{0\}$. En effet, pour le voir, il faut considérer un élément de $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$, il s'agit d'une classe d'équivalence modulo $1$. Or, tout $n \in \mathbb{Z}$ est congru à $0$ modulo $1$. Donc tout entier relatif est dans la classe de $0$.

Conclusion : $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$ est constitué que d'une classe d'où l'isomorphisme : $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} \simeq \{0\}$.

Dans ce cas, $p$ est la surjection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\{0\}$ (où je renote abusivement $\{0\}$ pour $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}$) qui à $n \in \mathbb{Z}$ associe $0$. Ensuite, $i$ est l'injection canonique de $Im f=\{0\}$ dans $\mathbb{Z}$ ($i$ envoie seulement $0$ sur lui-même en fait ^^') et $\overline{f}$ est l'isomorphisme de $\{0\}$ dans $Im f=\{0\}$ qui à $0$ associe $0$.

Par suite, on a bien $f=i \circ \overline{f} \circ p$. En effet, soit $n \in \mathbb{Z}$. Alors $i \circ \overline{f} \circ p(n)=i \circ \overline{f}(0)=i(0)=0$.

Cela te semble clair?

marc0075

Très bien merci ! ! !

marc0075

voir post suivant

marc0075

Finalement,  je me rends compte qu'on peut décomposer canoniquement n'importe quelle application f de E vers F

l'idée étant de réunir tous les nombres ayant la même image par une relation d'équivalence

( xRy ssi f(x)=f(y)  )

ce qui rend la fonction injective (car deux nombres différents ne pourront plus avoir des images égales ) en partant de l'ensemble quotient E/R.  De plus en l'envoyant sur Im f , on la rend aussi surjective donc in fine bijective de  E/R vers Imf.

marc0075

et donc si j'ai bien compris,  je peux par exemple décomposer canoniquement l'application carré de R dans R en posant x R y si et seulement x²=y²    Soit  cl(x) = |x|  

Mon ensemble quotient R/R est alors R+

Im(f) = R+

Dans ce cas, p est la surjection canonique de R dans R+ qui à x ∈ R  associe |x| . Ensuite, i est l'injection canonique de Im f = R+ dans R (i(x)=x )  et  <f> est l'isomorphisme de R+ dans R+ qui à x associe x²
Par suite, on a bien f = i ∘ <f>∘ p.
En effet, soit x∈R. Alors i ∘ <f>∘ p (x)= i ∘ <f>(|x|))=i ( |x|²) = i (x²)= x² 

Merci Nicoleprof de me dire si c'est correct ou non.

NicoLeProf

C'est très bien marc0075 !!!

raoul.S

Il y a quand même une erreur : la classe de $x$ pour ta relation d'équivalence est $cl(x):=\{x,-x\}$ et l'ensemble quotient $\R/R=\{\{x,-x\}\mid x\in \R\}$.

marc0075 a dit : 
Finalement,  je me rends compte qu'on peut décomposer canoniquement n'importe quelle application f de E vers F
l'idée étant de réunir tous les nombres ayant la même image par une relation d'équivalence
( xRy ssi f(x)=f(y)  )

Oui exactement.

NicoLeProf

Oui @raoul.S, j'avais zappé cela en effet, c'est vrai que la notation "cl(x) = |x| " n'est pas correcte.

Mais je n'ai pas l'impression que ça change fondamentalement le fond, on a toujours $\R/R=\{\{x,-x\}\mid x\in \R\} \simeq \R^+$ non? (considéré comme un isomorphisme d'ensembles).

Si je définis l'application : $\R/R \rightarrow \R^+$ qui à $\{x,-x\}$ associe $|x|$, j'ai bien une bijection, cela se voit et se prouve facilement : je prends le représentant positif de la classe concernée. Donc $p$ peut être définie  comme Marc l'a fait non?

Sinon, on peut définir $p$ comme ceci : $p : \R \rightarrow \R/R$ qui à $x$ associe $cl(x)$ et $\overline{f} : \R/R \rightarrow \R^+$ qui à $cl(x)$ associe $x^2$.

On a bien : $f=i \circ \overline{f} \circ p$. En effet, soit $x \in \R$ alors $i \circ \overline{f} \circ p(x)=i \circ \overline{f}(cl(x))=i(x^2)=x^2$.

marc0075

Je m'étais posé la question  et trouvais la valeur absolue adaptée car on peut choisir n'importe lequel de ses représentants pour désigner une classe d'équivalence

raoul.S

Oui ce que marc a fait fonctionne, on obtient un diagramme commutatif, mais dans ce cas $p$ n'est plus la projection canonique et on ne parle plus de "décomposition canonique" suivant la relation d'équivalence.

Si $E$ est un ensemble et $R$ une relation d'équivalence sur $E$ alors la projection canonique (ou surjection canonique) est par définition l'application $p:E\to E/R, x\mapsto cl(x)$.

NicoLeProf

Oui en effet, merci pour la précision raoul !

marc0075

Merci Raoul . Quelle classe !

raoul.S

Juste un petit ajout pour culture générale : la propriété citée par marc0075 se généralise (un peu), voir Wikipedia Théorème de factorisation. Ce théorème se décline dans les groupes, anneaux, espaces vectoriels, espaces topologiques etc.